Đề HSG Toán 9 Tp Quy Nhơn 2007-2008

 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................1 
PHÒNG GIÁO DỤC TP. QUY NHƠN 
=== === 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ QUY NHƠN 
 MÔN TOÁN LỚP 9 – NĂM HỌC 2007 – 2008 
 Ngày 17 – 01 – 2008 – Thời gian 150 phút (không thể thời gian phát đề) 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Câu 1. Rút gọn: 
A = 3 5 3 5+ − − 
B = 4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − + 
Câu 2. Tính tổng: 
a) P = 1 1 1
1.2 2.3 2007.2008
+ + +⋯ 
b) Chứng minh : 
2 2 2
1 1 1
1
2 3 2008
+ + + <⋯ 
Câu 3. Cho các biểu thức: 
M = 
2
1
9x 4x 1+ +
, N = 
2
2x 2
x 2x 1
−
− +
Tìm giá trị nguyên của x để P = 
2M N
Z
3
+
∈ 
Câu 4. a) Cho x, y, z thỏa điều kiên xyz = 1. 
Chứng minh: 
1 1 1
1
1 x xy 1 y yz 1 z zx
+ + =
+ + + + + +
b) Chứng minh: 3 2− là số vô tỉ. 
c) Chứng minh: số ( )20073 2− viết trong hệ thập phân có ít nhất 669 chữ số 0 liên tiếp 
ngay sau dấu phẩy. 
Câu 5. Cho hai đường thẳng d1, d2: 
y = a1x + b1 (a1 ≠ 0) 
y = a2x + b2 (a2 ≠ 0) 
Tìm quan hệ giữa a1, b1, a2, b2 để: 
a) d1 // d2 
b) d1 cắt d2 ở trục tung 
c) d1 cắt d2 ở trục hoành 
Câu 6. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Gọi M là trung điểm của BC, H; G là trực tâm, trọng 
tâm của tam giác ABC. Đường kÍnh qua A cắt đường tròn (O) tại D. 
a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành 
b) Chứng minh AH = 2OM 
c) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng 
Câu 7. Xác định tam giác có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các tam giác có cùng diện tích và có 
chung một cạnh. 
 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................2 
GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TP. QUY NHƠN 
MÔN TOÁN 9 – NĂM HỌC 2007 – 2008 
Ngày 17 – 01 – 2008 – Thời gian 150 phút 
Câu 1 
Rút gọn 
A = 6 2 5 6 2 5 5 1 5 1 23 5 3 5 2
2 2 2 2 2
+ − + −
+ − − = − = − = = 
B = 4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − + > 0 
Ta có: B2 = 
2
4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5
 
+ + + − + = + + + − + 
 
+ 
+2 4 10 2 5 4 10 2 5   + + − +   
   
= ( ) ( )8 2 16 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2 5 1+ − + = + − = + − = 
= ( )26 2 5 5 1+ = + 
Do đó: B = 5 1+ 
Câu 2 
Tính tổng: 
a) P = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2007
1.2 2.3 2007.2008 1 2 2 3 2007 2008 1 2008 2008
+ + + = − + − + + − = − =⋯ ⋯ 
b) Chứng minh 
2 2 2
1 1 1 1
2 3 2008
+ + + <⋯ 
Ta có: 
2
1 1 1 1
k.(k 1) k 1 kk
< = −
− −
 (1) (k > 1) 
Cho k lấy các giá trị từ 2 đến 2008, thay vao bất đẳng thức (1), rồi cộng vế theo vế ta có: 
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 2007 2008 1 20082 3 2008
+ + + < − + − + + − = − <⋯ ⋯ (đpcm) 
Câu 3 
Tìm x ∈ Z để P = 2M N
3
+
∈ Z 
Ta có N = 
2
2x 2 2(x 1)
x 1x 2x 1
− −
=
−
− +
, M = 
2
1
9x 4x 1+ +
= 
2
1 1 3
2
5 52 53x 93 9
< = <
 
+ + 
 
+) Xét trường hợp x > 1, ta có N = 2 
Khi đó P = 
2M N 2(M 1)
3 3
+ +
= ∈ Z ⇒ M + 1 ⋮ 3 ⇒ M không có giá trị vì 0 < M < 2. 
+) Xét trường hợp x < 1, ta có N = - 2 
Khi đó P = 
2M N 2(M 1)
3 3
+ −
= ∈ Z ⇒ M – 1 ⋮ 3 ⇒ M = 1 (vì 0 < M < 2) 
Ta có: 
 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................3 
M = 1 ⇔ 
2
1
9x 4x 1+ +
 ⇔ 29x 4x 1+ + = 1 ⇔ 9x2 + 4x + 1 = 1 ⇔ x(9x + 4) = 0 ⇔ x = 0: 
thỏa (x∈ z) 
Vậy với x = 0 thì P = 0. 
Câu 4 
a) Cho xyz = 1. 
Chứng minh 
1 1 1
1
1 x xy 1 y yz 1 z zx
+ + =
+ + + + + +
Thay 1 = xyz vào mẫu thức của phân thức đầu và thực hiện các phép biến đổi: 
1 1 1 1 1 1
xyz x xy 1 y yz 1 z zx x(yz 1 y) 1 y yz 1 z zx
+ + = + +
+ + + + + + + + + + + +
= 
= 
1 x 1 1 x 1
x(1 y yz) 1 z zx x(xyz y yz) 1 z zx
+ +
+ = +
+ + + + + + + +
= 
1 x 1 1 x xy 1 x xy 1 x xy
1
xy(xz 1 z) 1 z xz xy(xz 1 z) xy(xz xyz z) xyz(x xy 1)
+ + + + + + +
+ = = = =
+ + + + + + + + + +
 (đpcm) 
b) Chứng minh 3 2− là số vô tỉ 
Giả sử 3 2− = x là số hữu tỉ (1) (x ∈ Q) 
Biến đổi: 
(1) ⇔ ( ) 22 2 2 2 x 53 2 x 5 2 6 x 2 6 x 5 6 2−− = ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = : điều này mâu thuẫn 
Vì 6 là số vô tỉ, còn 
2x 5
2
− là số hữu tỉ. 
Vậy 3 2− là số vô tỉ. 
c) Chứng minh số x = ( )20073 2− biểu diễn trong hệ thập phân có ít nhất 669 chữ số 0 
ngay sau dấu phẩy. 
Ta có x = ( )20073 2− = ( ) ( )6693 6693 2 9 3 11 2 − = − 
 
> 0 
Xét số y = ( ) ( ) ( )6692007 3 6693 2 3 2 9 3 11 2 + = + = + 
 
Nhận xét ( )669 669
1 1 1 1
9 3 11 2 10
10 109 3 11 2 9 3 11 2
+ > ⇒ < ⇒ <
+ +
Suy ra: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
669 669 669
669
669 669 669669 669 2 2
9 3 11 2 9 3 11 2 9 3 11 2 1
9 3 11 2
10243 2429 3 11 2 9 3 11 2 9 3 11 2
− − −
= = = − <
   
−
− +  −    
⇔ 0 < x < 
669
1
10
. 
 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................4 
Vậy số x = ( )20073 2− có ít nhất 669 chữ số 0 ở ngay sau dấu phẩy. 
Câu 5 
Cho hai đường thẳng d1, d2: 
d1: y = a1x + b1 (a1 ≠ 0) 
d2: y = a2x + b2 (a2 ≠ 0) 
a) d1 // d2 ⇔ a1 = a2 ≠ 0, b1≠ b2. 
b) d1 cắt d2 ở trục Oy ⇔ a1 ≠ a2 và b1 = b2. 
c) d1 cắt d2 ở trục Ox ⇔ 1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2
b b b b
a a và a a và
a a a a
− −
≠ = ⇔ ≠ = . 
Câu 6 
a) Chứng minh BHCD là hình bình hành 
Ta có: DC ⊥ AC (góc nội tiếp ACD chắn nửa đường tròn ) 
DB ⊥ AB (góc nội tiếp ABD chắn nửa đường tròn ) 
Mặt khác, H là trực tâm của ∆ABC nên: BH ⊥ AC, CH ⊥ AB. 
Suy ra BH // CD, CH // BD nên tứ giác BHCD là hình bình hành. 
b) Chứng minh AH = 2OM 
Ta có M là trung điểm của BC nên cũng là trung điểm của HD. 
Xét ∆AHD có OM là đường trung bình nên AH = 2OM. 
c) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng 
Ta có G là trọng tâm ∆ABC nên GM 1
GA 2
= (1) 
Theo câu b) ta có OM 1
AH 2
= (2) 
Hơn nữa, OM // AH (cùng ⊥ BC) nên  OMG HAG= (so le trong) 
Do đó ∆OMG ∆HAG (c.g.c) ⇒  AGH MGO= ⇒ H, G, O thẳng hàng. 
S
A
B C
OH
D
M
G
 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................5 
Câu 7 
Chứng minh trong các tam giác có cùng một cạnh và cùng diện tích, tam giác cân 
có chu vi nhỏ nhất. 
Ta có: SABC = SDBC ⇒ AD // BC ⇒ A, D ∈ d // BC, trong đó AB = AC. 
Gọi K là điểm đối xứng của C qua d. 
Ta có: AC = AK, CD = DK. 
Kẻ AI ⊥ BC, ta có AI là phân giác của BAC , mặt khác AH là phân giác của CAK , và AH 
⊥ AI nên ba điểm B, A, K thẳng hàng. 
Ta có: AB + AC = AB + AK = BK 
Mặt khác, BK < BD + DK (bất đẳng thức ∆BDK) 
Nên AB + AC < BD + DK ⇒ AB + AC + BC < BD + DC + BC 
Hay chu vi ∆ABC nhỏ hơn chu vi ∆BCD. 
Vậy trong các tam giác có cùng một cạnh và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi 
nhỏ nhất. 
A
B CI
H d
K
D