Đề HSG Toán 9 huyện Phù Ninh 2012-2013 (dự tuyển)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09/01/2013
Câu 1. (3,0 điểm) 
(1,5 điểm) Cho , 
Chứng minh rằng: là một số chính phương.
b. (1,5 điểm): 
1. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng p = , với m là số tự nhiên.
2. Tìm số nguyên tố p sao cho là số nguyên tố.
Câu 2 (3,0 điểm): 
Cho biểu thức: 
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Câu 3 (6,0 điểm): 
	a) (2,0 điểm) Giải phương trình: 
	b) (2,0 điểm) Cho trước số hữu tỉ m sao cho là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: 
 c) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O ; R), trên đó lấy một điểm cố định A và vẽ đường tròn (A ; R). Lấy điểm H di động trên (A ; R), cát tuyến của (O) đi qua A và H cắt (O) tại điểm thứ hai K. Dựng trung trực của đoạn HK cắt (O) tại B và C.
Chứng tỏ rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
Tính số đo góc A của tam giác ABC.
Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: 
--------------- Hết --------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013
Câu I. (3,0 điểm)
a. (1,5 điểm) Cho , Chứng minh rằng: là một số chính phương.
0,75 đ
. 
Vậy P là số chính phương. 
0,75 đ
b. (1,5 điểm): 1. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng p = , với m là số tự nhiên.
2. Tìm số nguyên tố p sao cho là số nguyên tố.
- Mọi p nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 2 và 3 nên , từ đó hay p =
- Xét p>3 thay p = vào biểu thức A= thấy (loại)
thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận)
p=2, A=33 (loại).
0,75
0,75
2. Câu 2 (3,0 điểm): 
Cho biểu thức: 
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
a
1,0
b
1,0
c
ĐK: : 
Học sinh lập luận để tìm ra hoặc 
1,0
Câu 3 (6,0 điểm): Đại số 
	a) (2,0 điểm) Giải phương trình: 
1)
2,0đ
Đk: Phương trình tương đương với 
Đặt ta được phương trình hoặc
Với ta được (vô nghiệm)
Với ta được suy ra 
b) (2,0 điểm) Cho trước số hữu tỉ m sao cho là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: 
 (1)
Giả sử có (1) 
Từ (1), (2) 
 0.5
Nếu là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!
 0.5
. Nếu b0 thìlà số hữu tỉ. Trái với giả thiết! . Từ đó ta tìm được c = 0.
 0.5
Ngược lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0
 0.5
b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: 
2)
2,0đ
Đk: Hệ tương đương với 
Đặt ta được hệ 
Với ta được (thoả mãn điều kiện) 
4. Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O ; R), trên đó lấy một điểm cố định A và vẽ đường tròn (A ; R). Lấy điểm H di động trên (A ; R), cát tuyến của (O) đi qua A và H cắt (O) tại điểm thứ hai K. Dựng trung trực của đoạn HK cắt (O) tại B và C.
Chứng tỏ rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
Tính số đo góc A của tam giác ABC.
(6,0 điểm)
4.1
(2 đ)
+ Ta có: Hai tam giác BHC và BKC đối xứng với nhau qua BC, nên chúng bằng nhau, suy ra:
.
Vẽ tia CH cắt AB tại E và tia BH cắt AC tại D.
Ta có: (góc nội tiếp cùng chắn cung ) và (CI là đường cao của tam giác cân HCK, vừa là phân giác góc C).
Suy ra: 
Mà nên 
Do đó: , nên CE là đường cao thứ hai của tam giác ABC.
H là giao điểm của hai đường cao AI và CE của tam giác ABC, vậy H là trực tâm của tam giác ABC.
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
4.2
(4 đ)
(2 đ)
+ Trường hợp H ở trong đường tròn (O):
Kẻ đường kính FG của (O) vuông góc với dây BC tại M, thì M là trung điểm của BC.
Trong đường tròn (O) hai dây AK và FG song song nên chắn hai cung (1).
Tứ giác OHAG có OG // = AH = R nên OHAG là hình bình hành, suy ra: AG = OH (2). 
Từ (1) và (2) suy ra KF = HO, nên HKFO là hình thang cân.
Mà BC là trung trực của HK nên cũng là trung trực của OF, nên 
Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
(1 đ)
+ Trường hợp H ở ngoài (O) nhưng vẫn ở trên nửa đường tròn (A)chứa điểm O, đường kính PQ là tiếp tuyến của (O) tại A. 
Khi đó tam giác ABC có 2 góc nhọn và một góc tù (góc C tù chẳng hạn). 
Ta có: (đối xứng nhau qua BI), (góc nội tiếp cùng chắn cung KC), nên , suy ra: BH AC tại D. Vậy H là trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh tương tự trên, ta có M là trung điểm của OF và 
0,25
0,25
0,5
(1 đ)
+ Trường hợp H ở trên nửa đường tròn (A) đường kính PQ và không chứa O:
Khi đó A là góc tù. Ta cũng chứng minh tương tự H là trực tâm tam giác ABC và M là trung điểm của bán kính OF.
Suy ra 
Mà (2 góc đối xứng nhau qua BC).
Nhưng (góc nội tiếp cùng chắn cung BKC.
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
Bài 5
(2,5đ)
Áp dung Côsi : =
Suy ra : ( dấu " = " khi a = b + c)
Tương tự : ( dấu " = " khi b = c + a)
 ( dấu " = " khi c = a + b)
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên , ta được : 
dấu " =" không xảy ra 
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5