Đề HSG Toán 9 huyện Giồng Trôm 2011-2012

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIÔNG TRÔM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học 2011-2012
ĐỀ THI MÔN TOÁN
Bài 1 (4 điểm): 
1. Tính : 
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : 
Bài 2 (4 điểm):
1. Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc.
2. Áp dụng: Tính giá trị của biểu thức 
 biết 
Bài 3 (4 điểm):
1. Chứng minh rằng: với a >0, b>0
2. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:
Bài 4 (4 điểm): 
Cho tứ giác ABCD. Trên tia AB lấy điểm M sao cho AB = BM, trên tia BC lấy điểm N sao cho BC = CN, trên tia CD lấy điểm P sao cho CD = DP, trên tia DA lấy điểm Q sao cho DA = AQ. Hãy tính diện tích tứ giác MNPQ theo diện tích tứ giác ABCD
Bài 5 (4 điểm):
Cho tam giác AOB vuông cân tại O có OA = OB = a. M là điểm nằm trên cạnh huyền AB. P, Q lần lược là hình chiếu của M trên OA, OB. 
a. Gọi I là trung điểm của AB. Tam giác IPQ là tam giác gì ? chứng minh ? 
b. Khi M di chuyển trên canh AB. Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác IPQ lớn nhất, nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác IPQ theo a lúc đó.
------- Hết -------
Bài 
Tóm tắt cách giải
Điểm
1.
1./ Điều kiện:
Vậy A= khi A2; và A = 2 khi 
(Học sinh có thể bình phương 2 vế để tính)
0,25
1
0,25
0,25
0,25
2./ Ta có : 
Dấu bằng xảy ra khi x = . 
Vậy B lớn nhất là khi x = . 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
2
1./
Học sinh có thể sử dụng cách khai triển và thu gọn theo thừa số thích hợp của (a +b + c)3 để chứng minh 
2
2./ vì : nên theo câu 1./ 
1
0,5
0,5
3
1./ Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :
Dấu bằng xảy ra khi a = b
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
2./ Chuyển hết về vế trái và đưa về dạng :
 =>
1
1
4
Từ C và N kẻ CH và NK vuông góc với BM. Trong tam giác BNK ; CH là đường trung bình nên CH = ½ NK
=> SABC = ½ SBMN (AB = BM ; CH = ½ NK)
Tương tự SADC = ½ SPQD
 SABD = ½ SAQM 
SBDC = ½ SPCN
=> SMNPQ = SBMN + SPQD + SAQM + SPCN + SABCD
= 2 SABC + 2 SADC +2 SABD +2 SBDC + SABCD
= 2 SABCD +2 SABCD + SABCD
= 5 SABCD
0,5
0,5
1
1
1