Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Hậu Lộc (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẬU LỘC
Số báo danh
...............
.
........................
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2013-2014
Môn thi: Toán 
Lớp 7 THCS
Ngày thi: 07 tháng 4 năm 2014
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang
Câu 1(5 điểm): 
a) Cho biểu thức: P = x - 4xy + y. Tính giá trị của P với y = -0,75
b) Rút gọn biểu thức: 
Câu 2 (4điểm): 
Tìm x, y, z, biết:
 2x = 3y; 4y = 5z và x + y + z = 11
Tìm x, biết: 
Câu 3(3 điểm). Cho hàm số: y = f(x) = -4x3 + x
Tính f(0), f(-0,5)
Chứng minh: f(-a) = -f(a).
Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên (x;y) biết: x + y = x.y 
Câu 5(6 điểm):Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN.
Chứng minh rằng: AMC = ABN;
Chứng minh: BN CM;
Kẻ AH BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. 
Câu 6 (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c.
 Hết
Chú ý: - Giám thị không giải thích gì thêm.
- Học sinh không được dùng máy tính.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO 
 HUYỆN HẬU LỘC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
NĂM HỌC 2013-2014
Câu
Nội dung
B.Điểm
Câu 1
(5điểm)
a) Ta có: hoặc x = -1,5
+) Với x = 1,5 và y = -0,75 thì 
P = 1,5 -4.1,5(-0,75) -0,75 = 1,5(1 + 3) = 6 -0,75 = 5,25
+) Với x = -1,5 và y = - 0,75 thì
P = -1,5 -4(-1,5).(-0,75) - 0,75 = -1,5(1+3) - 0,75 = -6,75
1,5
1,5
b) = 
2
Câu 2
(4 điểm)
a) 2x = 3y; 4y = 5z 
 x = 5; y = ; z = 
1
1
b) (1)
Vì VT 0 hay x 0, do đó:
(1) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x x = 6
1
1
Câu 3
(3điểm)
f(0) = 0
f(-0,5) = -4.(-)3 - = 
1
1
f(-a) = -4(-a)3 - a = 4a3 - a
- f(a) = - = 4a3 - a
 f(-a) = -f(a)
0,5
0,5
Câu 4
(1 điểm)
x + y = x.y 
vì , 
do đó y - 1 = 1 hoặc y = 0 
Nếu y = 2 thì x = 2
Nếu y = 0 thì x = 0
Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2)
0,5
0,5
Câu 5
(6 điểm)
a) Xét AMC và ABN, có:
 AM = AB (AMB vuông cân)
AC = AN (ACN vuông cân)
 MAC = NAC ( = 900 + BAC)
Suy ra AMC = ABN (c - g - c)
1,0
1,0
0,5
b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC.
 Xét KIC và AIN, có:
 ANI = KCI (AMC = ABN)
 AIN = KIC (đối đỉnh)
 IKC = NAI = 900, do đó: MC BN
1
1
0,5
c) Kẻ ME AH tại E, NF AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH.
- Ta có: BAH + MAE = 900(vì MAB = 900)
Lại có MAE + AME = 900, nên AME = BAH
 Xét MAE và ABH , vuông tại E và H, có:
 AME = BAH (chứng minh trên)
 MA = AB
Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn) 
 ME = AH 
- Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA 
 FN = AH
Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có:
 ME = NF (= AH)
 EMD = FND(phụ với MDE và FDN, mà MDE =FDN)
 MED = NFD BD = ND.
Vậy AH đi qua trung điểm của MN.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 6
(1 điểm)
Vì: nên 0 
(vì a + b + c = 1)
Hay 3c .
Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: - khi đó a + b = 
0,5
0,5
Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
 	 - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình.