Đề & ĐA HSG Toán 7 năm 2006-2007

Phòng gd & đt 
Đề thi khảo sát hsg lớp 7
Môn : Toán
Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (1,5 điểm) 
 	So sánh các số sau: 2300 và 3200 
Câu 2 (3,5 điểm)
	Tìm các số a1, a2, a3,,a100, biết: 
	===....= và a1+ a2 + a3+ ...+ a100 = 10100
Câu 3 (3,0 điểm)
	Tính giá trị của đa thức sau, biết x + y – 2 = 0
	M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006
Câu 4 (2,0 điểm)
	Cho hai hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m +1 )x + m2
	Tìm m, biết P(1) = Q(- 1)
Câu 5 (8 điểm)
	Cho tam giác giác nhọn ABC, AH là đường cao. Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF, vuông ở B và C. Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh:
a) ABI = BEC
b) BI = CE và BI vuông góc với CE
c) Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm.
Câu 6 (2 điểm)
	Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương. 
đáp án – biểu điểm
Câu
Đáp án
Điểm
1
2300 = (23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100. Do đó 2300 <3200
0,5
0,5
0,5
2
===....= 
áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có: 
= - 1
 = - 1 = 2 – 1 = 1 
 a1 = a2 =...= a100 = 101
1,5
1
1
3
Từ P(1) = Q(-1), suy ra 1+2m +m2 =1 – (2m +1) +m2 m =
2,0
4
Biến đổi mỗi đa thức theo hướng làm xuất hiện thừa số x + y – 2 
M = (x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y) + (x+y -2) + 1 
 = x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008
 =x2.0 – y.0 + 0 + 2008 = 2008
0,5
1,0
1,0
0,5
5
I
B
E
F
C
A
H
M
- Vẽ hình,ghi giả thiết kết luận đúng được 
a) Ta có IAB = 1800 - BAH =1800 – (900 - ABC) 
=900 + ABC =EBC
ABI =BEC (c – g – c)
b) ABI =BEC (câu a) nên BI = EC (hai cạnh tương ứng).
ECB =BIA hay ECB = BIH.
Gọi M là giao điểm của CE với AB, ta có :
MCB + MBC =BIH + IBH = 900, do đó CEBI.
c) Trong tam giác BIC: AH, CF, BE là ba đường cao. Vậy AH, CF, BE đồng quy tại một điểm.
1,0
2,5
3,5 
1 
6
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n - 2, n- 1, n, n + 1,n +2, trong đó n N và n 2
Ta có A = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n +1)2 + (n+2)2 = 5(n2 + 2) 
Vì n2 không thể có chữ số tận cùng bởi 3 hoặc 8, do đó (n2 + 2) không chia hết cho 5, vì thế 5(n2 + 2) không là số chính phương, hay A không phải là số chính phương.
2
*) Ghi chú: Cách làm đúng khác vẫn cho điểm.
Phòng gd & đt hạ hoà
Đề lần 2 cho Đội tuyển 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày /11/2010
Bài 1:
 	a, Cho a là số chính phương. Chứng minh rằng: a(a-2005) chia hết cho 12.
 	b, Tìm 2 số hữu tỷ a, b biết rằng: a-b = 2(a+b) = 3.
Bài 2: 
	Một con cá voi: 	Đầu dài 3m.
 	 	Mình dài bằng ba đầu và nửa đuôi.
 	Đuôi dài bằng một đầu và nửa mình.	
	Tìm chiều dài con cá voi đó.
Bài 3:
	Trong một hình vuông cạnh 1 mét người ta gieo vào đó một cách tuỳ ý 51 điểm. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 3 điểm trong số 51 điểm đã cho nằm trong hình vuông có cạnh dài 0,2 mét.
Bài 4:
 	Tìm số nguyên dương x thoả mãn:
 + + ... + = 
Bài 5: