Công thức và phương trình lượng giác Lớp 11

Xuctu.com-CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC(ĐẦY ĐỦ NHẤT 2017) 
A. Đường tròn lượng giác và bảng giá trị lượng giác thường dùng 
7π
4
5π
4
3π
4
π
4
2π
3π
2
π
2
0
π
-1
-1
1
1O
sin
cos
Công thức lượng giác cơ bản 
 
2 2 2
2
2
2
1
sin os 1 1 tan , ( )
os 2
1
tan .cot 1, ( ) 1 cot ,
2 sin
a c a a a k k
c a
a a a k k a a k k
a



 
      
       

 
Cung  00 0 030
6
 
 
 
 045
4
 
 
 
 060
3
 
 
 
 090
2
 
 
 
 0
2
120
3
 
 
 
 0
3
135
4
 
 
 
 0
5
150
6
 
 
 
  0180  
sin 0 
1
2
 2
2
3
2
 1 
3
2
2
2
1
2
 0 
cos 1 
3
2
2
2
1
2
 0 
1
2
 
2
2
 
3
2
 1 
tan 0 
1
3
 1 3 ║ 3 1 
1
3
 0 
cot ║ 3 1 
1
3
 0 
1
3
 1 3 ║ 
B. Các công thức thường gặp 
1. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 
 a. Cung đối: àv  
   
   
os os tan tan
sin sin cot cot
c c   
   
    
     
 c. Cung phụ: à
2
v

  
sin os tan cot
2 2
os sin cot tan
2 2
c
c
 
   
 
   
   
      
   
   
      
   
 b. Cung bù: àv   
   
   
sin sin ; tan tan
os os ;cot cotc c
     
     
    
     
 d. Cung hơn kém  : àv    
   
   
sin sin tan tan
os os cot cotc c
     
     
    
    
Cách nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot 
2. Công thức cộng 
 
 
 
sin sin .cos cos .sin
os cos .cos sin .sin
tan tan
tan
1 tan .tan
a b a b a b
c a b a b a b
a b
a b
a b
  
 

 


3. Công thức nhân đôi 
2 2
2 2
2
sin 2 2sin .cos
os2 os sin
2cos 1 1 2sin
2 tan
tan 2
1 tan
a a a
c a c a a
a a
a
a
a

 
   


4. Công thức hạ bậc: 2 2 2
1 os2 1 os2 1 os2
sin os tan
2 2 1 os2
c a c a c a
a c a a
c a
  
  

5. Công thức tính theo tan
2
t

 
2
2 2 2
2 1 2
sin cos tan ,
1 1 1 2 2
t t t a
a a a k k
t t t


  
      
    
 
6. Công thức nhân ba 
3
3 3
2
3 tan tan
sin 3 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan 3
1 3tan
a a
a a a c a a a a
a

    

 7. Công thức biến đổi tổng thành tích 
   
cos cos 2cos os cos cos 2sin sin
2 2 2 2
sin sin 2sin os sin sin 2 os sin
2 2 2 2
sin sin
tan tan , , tan tan , ,
cos .cos 2 cos .cos 2
a b a b a b a b
a b c a b
a b a b a b a b
a b c a b c
a b a b
a b a b k k a b a b k k
a b a b
 
 
   
    
   
   
    
            
   
 
 8. Công thức biến đổi tích thành tổng 
       
   
1 1
cos .cos os os sin .sin os os
2 2
1
sin .cos sin sin
2
a b c a b c a b a b c a b c a b
a b a b a b
               
     
C. Các phương trình lượng giác cơ bản và cách giải 
.1. Phương trình sin x a 
 1a  : Phương trình vô nghiệm 
 1a  : Phương trình trở thành  
2
sin sin
2
x k
x k
x k
 

  
 
     
 
  
0 0
0
0 0 0
360
sin sin
180 360
x k
x k
x k



  
  
  
 
  
sin 2
sin
sin 2
x arc a k
x a k
x arc a k

 
 
     
 
 Tổng quát:    
   
   
 
2
sin sin
2
f x g x k
f x g x k
f x g x k

 
 
  
  
 
* Các trường hợp đặc biệt 
 
 
 
sin 1 2
2
sin 1 2
2
sin 0
x x k k
x x k k
x x k k





     
       
    



2. Phương trình cos x a 
 1a  : Phương trình vô nghiệm 
 1a  
  os os 2c x c x k k        
  0 0 0os os 360c x c x k k       
  os os 2c x a x arcc a k k      
 Tổng quát:          os os 2c f x c g x f x g x k k      
* Các trường hợp đặc biệt 
   
 
os 1 2 os 1 2
os 0
2
c x x k k c x x k k
c x x k k
  


           
     
 

3. Phương trình tan x a 
 
 
 
0 0 0
tan t an =
tan t an = 180
tan = arctan
x x k k
x x k k
x a x a k k
  
 

    
    
    



 Tổng quát:          tan tanf x g x f x g x k k     
4. Phương trình cot x a 
 
 
 
0 0 0
cot cot x = + k
cot cot x = + k180
cot x = arccot + k
x k
x k
x a a k
  
 

   
   
   



 Tổng quát:          ot otc f x c g x f x g x k k     
D. Các phương trình lượng giác thường gặp 
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: 
Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng 0at b  t trong đó a,b 
là các hằng số  0a  và t là một trong các hàm số lượng giác. 
Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: 
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng 2 0at bt c   , trong đó 
a, b, c là các hằng số  0a  và t là một trong các hàm số lượng giác. 
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai theo t giải tìm t, đưa 
về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện 1 1t   nếu đặt t bằng sin hoặc cos). 
3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: 
Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng 
 2 2.sin .sin cos . os , , 0a x b x x c c x d a b c    
Phương pháp:  Kiểm tra cos 0x  có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này. 
  cos 0x  chia cả hai vế cho 2cos xđưa về phương trình bậc hai theo tan x : 
   2tan tan 0a d x b x c d     
4. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x : 
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng sin cosa x b x c  trong đó 
, ,a b c và 2 2 0a b  
Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho 2 2a b ta được: 
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
 
  
 Nếu 
2 2
1
c
a b


: Phương trình vô nghiệm. 
 Nếu 
2 2
1
c
a b


 thì đặt 
2 2 2 2
os sin
a b
c
a b a b
   
 
(hoặc 
2 2 2 2
sin os
a b
c
a b a b
   
 
) 
 Đưa phương trình về dạng:  
2 2
sin
c
x
a b
 

(hoặc  
2 2
os
c
c x
a b
 

 ) sau đó giải phương trình 
lượng giác cơ bản. 
Chú ý: Phương trình sin cosa x b x c  trong đó , ,a b c và 2 2 0a b  có nghiệm khi 2 2 2c a b  . 
Trên đây chúng tôi đã trích lọc được những phần kiến thức căn bản nhất có thể. Các em học sinh có thể in ra 
thành hai tờ công thức để vận dụng những lúc cần thiết. Cảm ơn bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng 
ghi rõ nguồn gốc khi chia sẽ và ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi. 
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT 
Bộ phận bán hàng: 
0918.972.605 
Đặt mua tại: 
https://goo.gl/FajWu1 
Xem thêm nhiều sách tại: 
Hổ trợ giải đáp: 
sach.toan.online@gmail.com