Công thức Toán học THPT

Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
1 
 CĂN BẬC HAI 
 1. AA 2 2. BAAB . (A0, B0) 3.
B
A
B
A
 (A0, B>0) 
 4. BABA 2 (B0) 5. BABA 2 (A0, B0) 6. BABA 2 (A<0, B0) 
7.
B
BA
B
A
 (B>0) 8. AB
BB
A 1
 (AB0, B≠0) 9) 2
)(
BA
BAC
BA
C




(A0, A≠B2) 
 10)
( )C C A B
A BA B



(A0, B0, A≠B) 11)0  A < B  BA  
BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 
 2 2 2( ) 2A B A AB B    2 2 2( ) 2A B A AB B    
   2 2A B A B A B    
  3 3 2 2 33 3A B A A B AB B      3 3 2 2 33 3A B A A B AB B     
  33 3 2 2( )( ) 3 ( )A B A B A AB B A B AB A B         
   3 3 2 2A B A B A AB B     
  22 2 2A B A B AB    
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT 
 Ax B 
 A  0 : phương trình có nghiệm duy nhất : 
A
Bx  . 
 A = 0 và B  0 : phương trình vô nghiệm. 
 A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm.( x R  ) 
 Ax B 
 A > 0 : 
A
Bx  0 BA x
A
    
 A = 0 và B  0 : vô nghiệm A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm. ( )x R  
NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ 
1/. Dạng : 





/// cybxa
cbyax
2/. Cách giải : baab
ba
ba
D //
//
 ; bccb
bc
bcDx
//
//
 ; caac
ca
ca
Dy
//
//
 
 D  0 : hệ có nghiệm duy nhất 








D
D
y y
D
D
x x
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
2 
 D = 0 và Dx  0 
 Hệ vô nghiệm. 
 D = 0 và Dy  0 
 D = Dx = Dy = 0 : Hệ vô số nghiệm tùy thuộc a, b, c, a/, b/, c/ 
NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN 
 ax2 + bx + c = 0 ( a  0) 
  = b2 – 4ac 
 > 0 
a
bx
21

 , 
a
bx
22

 
 = 0 Nghiệm kép 
a
bxx
221
 
 < 0 Vô nghiệm 
 / = b/ 2 – ac 
/ > 0 
a
bx
//
1

 , 
a
bx
//
2

 
/ = 0 
Nghiệm kép 
a
bxx
/
21  
/ < 0 Vô nghiệm 
Chú ý:  a + b + c = 0 : Nghiệm x1 = 1, x2 = a
c
 a – b + c = 0 : Nghiệm x1 = –1, x2 = a
c
 . 
Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c ( 0)a  cĩ 2 4b ac   
 f(x) = 0 cĩ hai nghiệm 0  ;f(x) = 0 cĩ nghiệm kép 0  ; f(x) = 0 vơ nghiệm 0  
 f(x) = 0 cĩ hai nghiệm trái dấu
0
0
a
P
 
 

 f(x) = 0 cĩ hai nghiệm cùng dấu 
0
0
a
P
 
 

f(x) = 0 cĩ hai nghiệm âm 
0
0
0
0
a
S
P

 
 
 

 
 f(x) = 0 cĩ hai nghiệm dương 
0
0
0
0
a
S
P

 
 
 

 
f(x) > 0
0
0
a
x

 
  

 f(x)  0
0
0
a
x

 
  

f(x) < 0
0
0
a
x

 
  

 f(x)  0
0
0
a
x

 
  

f(x) > 0 vơ nghiệm  f(x) 0 x 
0
0
a

 
 

 f(x)  0 vơ nghiệm  f(x) 0 x 
0
0
a

 
 

f(x) < 0 vơ nghiệm  f(x) 0 x 
0
0
a

 
 

 f(x)  0 vơ nghiệm  f(x) 0 x 
0
0
a

 
 

Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
3 
NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC 
 f(x) = ax + b ( a  0) 
x –  
a
b
 + 
f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a 
NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC 
 f(x) = ax2 + bx + c ( a  0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG) 
Nếu Thì 





0
0
a





0
0
a
f(x) > 0, x 
f(x) < 0, x 





0
0
a





0
0
a
f(x) > 0, x  
a
b
2
 
f(x) < 0, x  
a
b
2
 
  > 0 x –  x1 x2 + 
f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a 
Hoặc : 
 f(x) = ax bx c2   (a  0) 
 0, x  R 
 = 0 a.f(x) > 0, x  
bR
a
\
2
 
 
 
 > 0 
a.f(x) > 0, x  (–∞ ; x1)  (x2 ∞; + ) 
a.f(x) < 0, x  (x1; x2) 
NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ 
 Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a  0) và ,  là hai số thực(  ) 
1/. x1 x1 >  










0
2
0)(
0


S
af 3/. x1 < x2 <  










0
2
0)(
0


S
af 
 4/. x1<  <  < x2 





0)(
0)(


af
af
 5/. x1<  < x2 < 





0)(
0)(


af
af
 6/. 




21
21
xx
xx


 0)()(  ff 7/.  < x1 < x2 < 















2
0)(
0)(
0
S
af
af
 Chú ý: 
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
4 
1/. x1 x1 > 0 








0
0
0
S
P 3/. x1 < x2 < 0 








0
0
0
S
P 
NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 
1/. 





 K
K
BA
B
BA
2
2
0
 2/. 






)0(0
22
hayBA
BA
BA KK 
 
g x
f x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
 
  
 
f x hoặc g xf x g x
f x g x
( ) 0 ( ( ) 0)( ) ( )
( ) ( )
      
NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 
1/. 









K
K
BA
B
A
BA
2
2 0
0
 2/. 


















K
K
BA
B
A
B
BA
2
2
0
0
0
 3/. 1212   KK BABA 
 
f x
f x g x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
 
  
  
 
g x
f x
f x g x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
 
    
  
NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
1/. 


















0
0
B
BA
B
BA
BA 2/. 





BA
BA
BA Chú ý: 


















0
)()(
0
)()(
)()(
x
xgxf
x
xgxf
xgxf 
 NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
1/. 






0B
BAB
BA 2/. 
0
0
0
B
A B
A B
B
A B
B



 
  

   
 3/. 22 BABA  
 
 
 
nếu 0
nếu 0
A A
A
A A
;  
2 2 ,A A A 
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
5 
NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 
1/. ĐỊNH NGHĨA : 
Dạng : A > B, A  B , A < B, A  B 
2/. TÍNH CHẤT : 
a) abba  ; b) ca
cb
ba






; c) cbcaba  ;d) 





0,
0,
cbcac
cbcac
ba 
e) dbca
dc
ba






;f) bdac
dc
ba






0
0
;g) 









0;11
0;11
abkhi
ba
abkhi
baba 
3/. BĐT Cô Si : 
Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3,......, an 
n
n
n aaaa
n
aaaa
.......
.......
321
321 

Hay 
n
n
n n
aaaaaaaa 




 

.......
....... 321321 
Dấu đẳng thức xảy ra  a1 = a2 = a3 = ......... = an. 
Cơ si cho 2 số khơng âm: , 0a b  : 2a b ab  .Dấu “=” xảy ra khi a b . 
Tính chất: Cho 2 số khơng âm ,a b . 
 Nếu a b  hằng số thì .a b đạt giá trị lớn nhất khi a b . 
 Nếu .a b hằng số thì ( )a b đạt giá trị nhỏ nhất khi a b . 
4/. BĐT Bunhia Côp ski : 
Cho a1, a2, a3,......, an, b1, b2, b3,......, bn là những số tực khi đó: 
)....)(....().....( 222
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn bbbaaabababa  
Dấu đẳng thức xảy ra  ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3,......, n 
5/. BĐT BecnuLi : 
Cho : a > –1, n  N.Ta có : (1 + a)n  1 + na Đẳng thức xảy ra 





1
0
n
a
6/. BĐT tam giác : 
 BABA  .Đẳng thức xảy ra  AB  0. 
NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức ) 
1/. 2 2 1sin x cos x  2/. sinxtanx
cosx
 3/. cosxcotx
sinx
 
4/. . 1tanx cotx  5/. 2 2
11 tan x
cos x
  6/. 2 2
11 cot x
sin x
  
Điều kiện tồn tại : 
 tanx là(x  / 2 + k , k  Z)  cotx là (x  k , k  Z) 
 sinx là – 1  Sinx  1  cosx là – 1  Cosx  1 
Chú ý : 
 a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab  a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b) 
B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ): 
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
6 
7/. ( ) cos . sin .cos a b a cosb a sinb   8/. ( ) cos . sin .cos a b a cosb a sinb   
9/. ( ) sin . cos .sin a b a cosb a sinb   10/. ( ) sin . .sin a b a cosb cosa sinb   
11/. ( )
1 tan .
tana tanbtan a b
a tanb

 

 12/. ( )
1 .
tana tanbtan a b
tana tanb

 

13/. cot . 1( ) a cotbcot a b
cota cotb

 

 14/. cot 1( ) acotbcot a b
cota cotb

 

C. CÔNG THỨC NHÂN: 
I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức) 
15/. 2 2sin .sin a a cosa 16/. 2 2 2 22 2 1 1 2cos a cos a sin a cos a sin a      
17/. 2
22
1
tanatan a
tan a


II. NHÂN BA : ( 3 công thức) 
18/. CosaaCosaCos 343 3  19/. aSinSinaaSin 3433  20/. 
aTan
aTanTanaaTan 2
3
31
33


 
III. HẠ BẬC : ( 4 công thức) 
21/. 
2
212 aCosaSin   aSinaCos 2221  
22/. 
2
212 aCosaCos   aCosaCos 2221  
23/. 
4
333 aSinSinaaSin  24/. 
4
333 aCosCosaaCos  
IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức) với 
2
xTant  
25/. 21
2
t
tSinx

 26/. 2
2
1
1
t
tCosx


 , 27/. 21
2
t
tTanx

 
D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức) 
28/. 
22
2 baCosbaCosCosbCosa  29/. 
22
2 baSinbaSinCosbCosa  
30/. 
22
2 baCosbaSinSinbSina  31/. 
22
2 baSinbaCosSinbSina  
32/. 
CosaCosb
baSinTanbTana )(  33/. 
CosaCosb
baSinTanbTana )(  
34/. 
SinaSinb
baSinCotbCota )(  35/. 
SinaSinb
baSinCotbCota )(  
E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức) 
36/.   )(
2
1 baCosbaCosCosaCosb  37/.  )()(
2
1 baCosbaCosSinaSinb  
38/.  )()(
2
1 baSinbaSinSinaCosb  
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
7 
CHÚ Ý: 
 
2
2 2 21 sin 2 sin cos ;1 sin 2 (sin cos ) ;1 sin (sin cos ) ;1 sin sin cos
2 2 2 2
x x x xx x x x x x x x              
 
2 2 2 21 cos 2 2sin ;1 cos 2 2cos ;1 cos 2cos ;1 cos 2sin
2 2
x xx x x x x x        
sin cos 2 sin 2 cos ;sin cos 2 sin ;cos sin 2 cos
4 4 4 4
x x x x x x x x x x                           
       
sin 3 cos 2cos 2sin ; 3 sin cos 2sin 2cos
6 3 6 3
x x x x x x x x                          
       
4 4 2 6 6 21 3sin cos 1 sin 2 . sin cos 1 sin 2
2 4
x x x x x x      
F. CUNG LIÊN KẾT : 
Gĩc hơn kém  Gĩc hơn kém 
2
 
sin( ) sin     sin cos
2

 
 
  
 
cos( ) cos     cos sin
2

 
 
   
 
tan( ) tan    tan cot
2

 
 
   
 
cot( ) cot    cot tan
2

 
 
   
 
Gĩc đối nhau Gĩc bù nhau Gĩc phụ nhau 
cos( ) cos   sin( ) sin    sin cos
2

 
 
  
 
sin( ) sin    cos( ) cos     cos sin
2

 
 
  
 
tan( ) tan    tan( ) tan     tan cot
2

 
 
  
 
cot( ) cot    cot( ) cot     cot tan
2

 
 
  
 
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
8 
G. Giá trị lượng giác của các gĩc cĩ liên quan đặc biệt: 
NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
A. CƠ BẢN : 
Sinu = Sinv 







2
2
kvu
kvu
 k  Z 
Cosu = Cosv 2kvu  
Tanu = Tanv kvu  
Cotu = Cotv kvu  
Sinu = 0 ku  
Sinu = 1  22/ ku  
Sinu = –1  22/ ku  
Cosu = 0  ku  2/ 
Cosu = 1 2ku  
Cosu = – 1  2ku  
B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos 
Dạng: aSinx + bCosx = c (1) ( a2 + b2  0 ). Phương pháp : 
Cách 1: Chia hai vế cho 22 ba  .Đặt :  Sin
ba
bCos
ba
a



 2222
;
. 
(1)
22
)(
ba
cxSin

 (*). (*) Có nghiệm khi : 1
22

 ba
c 222 cba  . 
 (*) Vô nghiệm khi 222 cba  
 0 
6
 
4
 
3
 
2
 2
3
 3
4
  32
 2 
 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 
sin 0 
1
2
 2
2
 3
2
 1 3
2
 2
2
 0 –1 0 
cos 1 3
2
 2
2
1
2
 0 
1
2
 2
2
 –1 0 1 
tan 0 3
3
 1 3 3 –1 0 0 
cot 3 1 
3
3
 0 3
3
 –1 0 
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
9 
Cách 2: Kiểm chứng x = (2k + 1) có phải là nghiệm của phương trình hay không? 
Xét x  (2k + 1) .Đặt : 
2
xTant  . Thế 2
2
2 1
1;
1
2
t
tCosx
t
tSinx




 . 
Vào phương trình (1)  t ?  x ? 
C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 
1/. Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a 0 
 02  cbSinxxaSin ( đặt 1,  tSinxt )  02  cbCosxxaCos (đặt 1,  tCosxt ) 
  02  cbTanxxaTan ( đặt  kxTanxt 
2
, ) 
  02  cbCotxxaCot ( đặt kxCotxt  , ) 
 2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx 
 Dạng:  022  xcCosbSinxCosxxaSin (1) 
  03223  xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin (2) 
 Phương pháp : 
 Cách 1: 
 Kiểm x = / 2 + k có phải là nghiệm của phương trình ? 
 Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho 
về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx. 
Cách 2: 
Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và 
2
2xSinSinxCosx  thế vào 
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx: 
Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) 
Phương pháp: Đặt : 2),
4
(2  txSinCosxSinxt  
 0
2
1(*)
2


 ctbat t ( nếu có) x 
 Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự : 
 Đặt : 2),
4
(2  txSinCosxSinxt  
 0
2
1(*)
2


 ctbat  t ? ( nếu có)  x ? 
D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 
1/. Tổng bình phương : 
 A2 + B2 + ........+ Z2 = 0  A = B = ......= Z = 0 
 A  0, B  0,......, Z  0 
Ta có : A + B + .... + Z = 0  A = B = .....= Z = 0 
 2/. Đối lập : 
 Giả sử giải phương trình A = B(*). Nếu ta chứng minh 





KB
KA






KB
KA
(*) 
 3/. 








klBA
kB
lA






kB
lA
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
10 
H
B C
A
 4/. 1,1  BA 






1
1
1
B
A
AB hay 





1
1
B
A
NHỚ 14: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIAC 
 1.TAM GIÁC THƯỜNG ( các định lý) 
Hàm số Cosin 
 bcCosAcba 2222  
 
bc
acbCosA
2
222 
 
Hàm số Sin 
 R
SinC
c
SinB
b
SinA
a 2 
 
R
aSinARSinAa
2
,2  
Hàm số Tan  ba
ba
BATan
BATan





2
2 
Các chiếu 
 cCosBbCosCa  
Trung tuyến  
4
)(2 2222 acbma

 
Phân giác  
2 .
2
a
Abc Cos
l
b c


Diện tích 
 cba chbhahS 2
1
2
1
2
1
 
 abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
 
 prS  
 
R
abcS
4
 
 ))()(( cpbpappS  
Chú ý: 
 
2
)(
2
)(
2
)( CTancpBTanbpATanap
p
Sr  
 
SinC
c
SinB
b
SinA
a
S
abcR
2224
 
 a, b, c : cạnh tam giác. 
 A, B, C: góc tam giác. 
 ha: Đường cao tương ứng với cạnh a. 
 ma: Đường trung tuyến vẽ từ A. 
 R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác. 
 
2
cbap  Nữa chu vi tam giác. 
2.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: 
 
ACABBCAH
CHBHAH
..
.2

 
 222
111
ACABAH

Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
11 
 BCBHAB .2  
 CBCHAC .2  
 222 ACABBC  
NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ 
 CHO TAM GIÁC ABC : 
 1/. 
222
4 CCosBCosACosSinCSinBSinA  
 2/. 
222
41 CSinBSinASinCosCCosBCosA  
 3/. TanCTanBTanATanCTanBTanA .. ( tam giác ABC không vuông) 
 4/. 
2
.
2
.
2222
CCotBCotACotCCotBCotACot  
 5/. 1
2
.
22
.
22
.
2

ATanCTanCTanBTanBTanATan 
 6/. CosCCosBCosACSinBSinASin ..22222  
 7/. CosCCosBCosACCosBCosACos ..21222  
 8/. SinCBASin  )( ; CosCBACos  )( ; 
22
CCosBASin  ; 
22
CSinBACos  
22
CCotBATan  
 9/. 
8
33.. SinCSinBSinA 10/. 
8
1.. CosCCosBCosA 11/. 
8
33
2
.
2
.
2

CCosBCosACos 
 12/. 
8
1
2
.
2
.
2

CSinBSinASin 13/. 
4
3222  CCosBCosACos 
 14/. 
9
4222  CSinBSinASin 15/. 9222  CTanBTanATan 
 16/. 1
2224
3 222  CSinBSinASin 17/. 
4
9
222
2 222  CCosBCosACos 
 18/. 1
222
222 
CTanBTanATan 19/. 9
222
222 
CCotBCotACot 
 20/. 
2
33222  CSinBSinASin 21/. 
2
3222  CCosBCosACos 
NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC 
1.a)ĐỊNH NGHĨA 1: Hàm số )(xfy  gọi là liên tục tại điểm x = a nếu : 
 1/. )(xf xác định tại điểm x = a. 2/. )()(lim afxf
ax


 b)ĐỊNH NGHĨA 2: )(xf liên tục tại điểm x = a )()(lim)(lim afxfxf
axax

 
2. ĐỊNH LÝù : Nếu )(xf liên tục trên [a, b] và 0)().( bfaf thì tồn tại ít nhất một điểm c (a, b) 
sao cho 0)( cf . 
NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ 
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
12 
1/. ĐỊNH NGHĨA : Cho a > 0, a  1 ( cố định). Hàm số mũ là hàm số xác định bởi công thức : 
 y = ax ( x  R) 
2/. TÍNH CHẤT : 
a) Hàm số mũ liên tục trên R. b) y = ax > 0 mọi x  R 
c) a > 1 : Hàm số đồng biến : 
21
21 xxaa xx  
d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến: 2121 xxaa
xx  
3/. ĐỒ THỊ : 
 (a> 1) y ( 0 < a < 1) y 
 1 1 
 4.CÔNG THỨC: 
 .1) . ; 2) ; 3)( ) ; 4)( ) . ; 5)a a aa a a a a a ab a b
a b b
 
            
 
        
 
 6) . . ;7)
n
n n n n
n
a aa b a b
bb
    . .8) ;m n n k nm m k mn a a a a  .,9) ;10),
n n n m n m
a
a a a
a
 

 11) 0 1a  1na na
  12) (**)( )nn
m
n mna a a b b a    
5.PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 
 ( ) ( )0 1 : ( ) ( )f x g xa a a f x g x     
6.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 
 ( ) ( )1 : ( ) ( )f x g xa a a f x g x    
 ( ) ( )0 1 : ( ) ( )f x g xa a a f x g x     
 NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT 
1/. Định nghĩa : 
 a Với số 0,10  ba . baba 
log . 
 b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a  1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công 
thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a  1) 
2/. TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ logarit : 
1) log 1 0 ; log 1a a a  2) cbcb aaa loglog).(log  3) cbc
b
aaa logloglog 




 ; 
4) bb aa log.log 
  5) 1log logaa b b 
 6) log logaa b b
 

 
6) 1 1log log ;log logna a a ab b bb n
   7) ccb
b
cc aba
a
a
b loglog.loglog
log
log  ; 
8) 1log
loga b
b
a
 9) loga ba b ; 10) log logb bc aa c 
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 
________________________________________________________________________________ 
13 
11) 
cbcba
cbcba
aa
aa


0loglog:10
0loglog:1
3. GIỚI HẠN: 1)1ln(lim;11lim
00




 x
x
x
e
x
x
x
4/. ĐỒ THỊ : 
 (a> 1) y ( 0 < a < 1) y 
 1 1 
 0 x 0 x 
4/. PHƯƠNG TRÌNH Logarit : 
 )()()(log)(log xgxfxgxf aa  
 ( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a  1 ) 
5/. BẤT PHƯƠNG TRÌNH Logarit : 
 (*))(log)(log xgxf aa  





 
)()(
0)(
(*) 1
xgxf
xfa 





  
)()(
0)(
(*) 10
xgxf
xga 
NHỚ 19 : ĐẠO HÀM 
I/. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM : 
 Cho hàm số y = f(x) , xác định trên ( a, b) , x0  ( a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm tại x0 nếu 
giới hạn 0

 xkhi
x
y tồn tại. 
x
xfxxf
x
yxf
xx 






)()(
limlim)( 00
000
' 
 Đạo hàm bên trái :
x
yxf
x 




00
' lim)( ( tồn tại ) 
 Đạo hàm bên phải : 
x
yxf
x 




0
0
' lim)( ( tồn tại ) 
 Cho y = f(x) xác định trên (a, b).y = f(x) có đạo hàm tại x0  (a, b)  f ‘(x0+) = f ’(x0–) 
II/. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM : 
 Giả sử u = u(x), v = v(x), w =