Chuyên đề về Đồ thị hàm số y = ax - Nguyễn Thị Thủy

PARABOL
Parabol (P) : y = ax2. ( a≠0) 
Vẽ (P) 
x
-2
-1
0
1
2
y
4a
a
0
a
4a
Nhận xét : 
a> 0 Đồ thị hàm số nằm phía trên Ox.
a<0 Đồ thị hàm số nằm phía dưới Ox.
Hai nhánh của đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. 
Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y = x2. 
Tương giao giữa đường thẳng (d) và Parabol (P)
Cho (P) : y = ax2 và (d) : y = Ax+B.
Giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình : y=a x2y=Ax+B.
Ta có phương trình : ax2-Ax-B=0 ( Phương trình hoành độ giao điểm ) (1).
Nếu (d) không cắt (P) thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (1) có nghiệm kép.
Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Lưu ý : 
Hoành độ các giao điểm thỏa mãn định lý Vi - et áp dụng cho phương trình (1).
Tìm tung độ bằng cách thay hoành độ giao điểm vào phương trình (d).
Ví dụ 1 : Cho Parabol (P) : y = -x2 và đường thẳng (d) : y = 2x -3.
Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
Xác định giao điểm của (P) và (d).
Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x +3.
Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
Gọi A và B là hai điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ.
Đ/s: 6 ( Đvdt)
Ví dụ 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2mx-2m +3 (m là tham số). Chứng minh rằng (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. Gọi y1,y2 là tung độ các giao điểm của (P) và (d). Tìm m để y1 + y2 < 9.
Đ/s : -
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d) đi qua điểm M (1;2) có hệ số góc k ≠ 0.
Chứng minh rằng với mọi giá trị k ≠ 0, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B.
Gọi xA, xB là hoành độ hai điểm A và B. Tìm k để xA2+xB2-xAxB= 10.
Đ/s : k = -1 và k = 4.
BÀI TẬP
Bài 1 : Cho đường thẳng (d) : y = x+1và Parabol (P) : y = ax2 . Tìm a để (P) đi qua điểm M(1;2). 
Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P).
Đ/s: a =2 ; (1;2) và 
Bài 2 : Cho các hàm số y = x2 có đồ thi là (P) và y = -x+m có đồ thị là (d), với m là tham số. 
Với m = 2,vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Đ/s : a) (1;1) và (-2;4) b) m>0.
Bài 3 : Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = (m+2)x - m+6. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Đ/s : m > 6.
Bài 4 : Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + a
Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung.
Đ/s: 
Bài 5 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y=ax + 3 ( a là tham số ) . Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi là hoành độ giao điểm của (P) và (d), tìm a để x1 +2x2 = 3
Đ/s : 9-334 và 9+334
Bài 6 : Cho Parabol y = x2 (P), và đường thẳng : y = 2(1 – m)x + 3 (d), với m là tham số.
Chứng minh với mọi giá trị của m, Parabol (P) và đường thẳng (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
 Tìm các giá trị của m, để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ y = 1.
Đ/s : m = 0 và m = 2.
Bài 7 : Cho Parabol y = x2 (P), và đường thẳng : y = (d)
 Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
Gọi A, B là các giao điểm của (P) và (d); H, K lần lượt là hình chiếu của A , B trên trục Ox. Xác định tọa độ các điểm A, B và tính diện tích tứ giác AHKB.
Đ/s : 9 ( đvdt)
Bài 8 : Cho Parabol y = x2 (P) và điểm I(0;2). Đường thẳng (d) qua I với hệ số góc m.
Chứng tỏ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
Tìm m để độ dài AB nhỏ nhất.
Đ/s : GTNN của AB = 42 khi m = 0.
Bài 9 : Cho hàm số y = x2 (P).
Tìm trên (P) hai điểm A,B sao cho tam giác OAB là tam giác đều.
Tìm trên (P) hai điểm M, N sao cho tam giác OMN là tam giác cân tại O và có diện tích bằng 8.
Đ/s : a) A ( 3;3) ; B (-3;3). b) M( 2; 4) ; N (-2; 4).
Bài 10 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) : y = mx+1 và Parabol (P) : y = x2.
Chứng minh với mọi giá trị của m, (d) luôn đi qua một điểm cố định I và luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó chứng minh : |xA-xB| ≥ 2.
Tính độ dài AB theo m, từ đó tìm m để độ dài đoạn thẳng AB = 210.
Tìm giá trị của tham số m để diện tích tam giác OAB bằng 2.
Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I.