Chuyên đề Thể tích khối đa diện

CHỦ ĐỀ 1
ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VẤN ĐỀ 1
ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG
1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
A
B
C
H
M
2/ Các hệ thức lượng trong tam giác bất kỳ
A
B
C
b
c
a
a) Định lí hàm số cosin
b) Định lí hàm số sin
A
C
B
R
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC)
b
c
a
c) Công thức tính diện tích của tam giác
A
B
C
b
c
a
 – nửa chu vi
 – bán kính đường tròn nội tiếp
R – bk đường ngoại nội tiếp
d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
A
B
C
N
K
M
	.	.
	.
A
B
C
N
M
(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)
3/ Định lí Talet
4/ Diện tích của đa giác
a/ Diện tích tam giác vuông
Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc vuông.
A
C
B
b/ Diện tích tam giác đều
(cạnh)2
đều
+ Diện tích tam giác đều: 
(cạnh)
đều
+ Chiều cao tam giác đều: 
A
B
C
c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật
+ Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.
+ Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân .
+ Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.
A
B
C
D
O
A
B
H
C
D
d/ Diện tích hình thang
Diện tích hình thang: 
SHình Thang .(đáy lớn + đáy bé) . chiều cao
A
B
D
C
e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
+ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
+ Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác.
VẤN ĐỀ 2
ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
1/ Chứng minh đường thẳng 
a. Phương pháp 1: Chứng minh 
b. Phương pháp 2: Chứng minh 
c. Phương pháp 3: Chứng minh và cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng.
2/ Chứng minh 
a. Phương pháp 1: Chứng minh chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với .
b. Phương pháp 2: Chứng minh và cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng.
3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: 
a. Phương pháp 1: Hai có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song thì .
b. Phương pháp 2: Chứng minh .
c. Phương pháp 3: Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
d. Phương pháp 4: Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song.
e. Phương pháp 5: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
f. Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, 
4/ Chứng minh đường thẳng 
a. Phương pháp 1: Chứng minh: 
b. Phương pháp 2: Chứng minh: 
c. Phương pháp 3: Chứng minh: 
d. Phương pháp 4: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ 3: 
e. Phương pháp 5: Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng, cũng vuông góc với mặt phẳng kia: 
5/ Chứng minh đường thẳng 
a. Phương pháp 1: Đường thẳng thì tất cả các đường thẳng nằm trong .
b. Phương pháp 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
c. Phương pháp 3: Chứng tỏ góc giữa và bằng.
d. Phương pháp 4: Sử dụng hình học phẳng.
6/ Chứng minh 
a. Phương pháp 1: Chứng minh (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia)
b. Phương pháp 2: Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng.
PHƯƠNG PHÁP 
XÁC ĐỊNH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
(Phần này cần nắm cho thật vững)
I. TÍNH GÓC 
	1. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau 
Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau: 
f
	a. Cách 1: (theo phương pháp hình học) 
+ Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0
+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc tạo bởi hai đường 
thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó:
(chú ý: Góc giữa hai đường thẳng chỉ lấy góc nhọn không lấy góc tù)
	b. Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ): .
	2. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 Phương pháp xác định : 
	+ 
+ Trên đường thẳng a lấy điểm M bất kỳ. 
+ Tìm điểm H là hình chiếu của M trên mp 
+ 
Chú ý: đường thẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng thì góc bằng 0
	3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng và 
Phương pháp : 
	+ Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng và 
	+ Tìm 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng và 
đồng thời 2 đường thẳng này cùng vuông góc với giao tuyến chung
của 2 mặt phẳng và 
	+ Góc của 2 mặt phẳng và là góc của 2 đường thẳng
cùng vuông góc với giao tuyến chung của 2 mặt phẳng và 
Chú ý: 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc bằng 0
II. TÍNH KHOẢNG CÁCH 
	1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng 
	Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :
	Cách 1 : 
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .
+ Xác định .
	+ Dựng , 
 Suy ra MH là đoạn cần tìm . 
	Cách 2: Dựng 
Chú ý : 
	+ Nếu .
+ Nếu 
	2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng: 
	+ Khi với .
+ Khi đường thẳng hoặc thì khoảng cách bằng 0
3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
	+ Khi với .
	+ Khi 
	4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
	a. Khi .
	b. Khi với .
	c. Khi hai đường thẳng chéo nhau :
+ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
 và là đường thẳng cắt ở và cắt ở 
đồng thời vuông góc với cả và .
+ Đoạn được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường 
thẳng chéo nhau và . 
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn 
vuông góc chung của hai đường thẳng đó .
Phương pháp : 
	+ Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P) .
	+ Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm . 
	+ Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó . 
* Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau : 
+ Dựng .
+ Dựng , bằng cách lấy 
+ Dựng đoạn , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N 
và song song a .
+ Gọi , dựng 
là đoạn vuông góc chung cần tìm 
( Hay MN là đoạn vuông góc chung cần tìm) .
	* Nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì:
	 + Dựng một tại H .
+ Trong (P) dựng tại K .
 + Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b .
VẤN ĐỀ 3
TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT 
I. HÌNH CHÓP ĐỀU
1/ Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
+ Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. 
+ Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
+ Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
+ Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông ...)
2/ Hai hình chóp đều thường gặp
	a/ Hình chóp tam giác đều: 
Cho hình chóp tam giác đều. Khi đó:
+ Đáylà tam giác đều.
+ Các mặt bên là các tam giác cân tại.
+ Chiều cao: .( O là tâm của đáy)
+ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: .
+ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: .
+ Tính chất: .
Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều:
+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.
b/ Hình chóp tứ giác đều: 
Cho hình chóp tam giác đều.
+ Đáylà hình vuông.
+ Các mặt bên là các tam giác cân tại.
+ Chiều cao: .
+ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
.
+ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: .
II. TỨ DIỆN ĐỀU: 
+ Tứ diện đều có 4 mặt là các tam giác đều
+ Khi hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy thì đó là tứ diện đều. Do đó tứ diện đều có tính chất như hình chóp tam giác.
III. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
HÌNH LĂNG TRỤ
HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình hành
+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy
Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành
+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2 mặt đáy
+ Chiều cao là cạnh bên
Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình chữ nhật
Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là hình vuông.
IV. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT
1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ: Hình chópcó cạnh bên thì chiều cao là .
2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chópcó mặt bên vuông góc với mặt đáythì chiều cao của hình chóp là chiều cao của .
3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chópcó hai mặt bên vàcùng vuông góc với mặt đáythì chiều cao là .
4/ Hình chóp đều và tứ diện đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy.
Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềucó tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuông thì có đường cao là .
CHỦ ĐỀ 2
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
VẤN ĐỀ 1
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
DIỆN TÍCH XUNG QUANH
DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN
Thể tích
Diện tích xung quanh
Diện tích toàn phần
KHỐI CHÓP
+ B là diện tích đáy 
+ h đường cao hình chóp
Sxq = Tổng diện tích các mặt bên
Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy
KHỐI LĂNG TRỤ
+ B là diện tích đáy
+ h là đường cao lăng trụ
Sxq = Tổng diện tích các mặt bên
Stp = Sxq + Diện tích 2 mặt đáy
KHỐI CHÓP CỤT
+Với là diện tích hai đáy 
+ h đường cao hình chóp
Sxq = Tổng diện tích các mặt bên
Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy
Chú ý: 
I. Thể tích hình hộp chữ nhật: Thể tích khối lập phương: 
a
a
b
a
a
c
 Hình hộp chữ nhật 	 Hình lập phương
II. 4 phương pháp thường dùng tính thể tích
1.Tính thể tích bằng công thức.
	+ Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,.
	+ Sử dụng công thức tính thể tích.
	+ Cần năm vững các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, ....
2. Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng. Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm.
3. Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích.
4. Tính thể tích bằng tỉ số thể tích.
	* Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện có thể gặp khó khăn vì hai lí do:
	+ Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao.
	+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng.
	* Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:
	+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn.
	+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích.
* Trong dạng này, ta thường hay sử dụng phương pháp tỉ số, lấy kết quả của bài toán sau: 
Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó: .
Chứng minh: 
S
A’
B’
C’
A
B
C
H
H’
Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng.
Ta có:
.	
Trong đó: .
Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm .
Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,
III. Sử dụng phương pháp thể tích khối đa diện để tính khoảng cách 
	* Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách này dựa vào công thức hiển nhiên: , ở đâylần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của một hình chóp nào đó (hoặc đối với hình lăng trụ).
	* Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách về bài toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó. Dĩ nhiên, các chiều cao này thường là không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí Pitago, công thức lượng giác, Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy. Như vậy, chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên.
	* Phương pháp: Sử dụng các định lí của hình học trong không gian sau đây:
	+ Nếu trong đóchứathì.
	+ Nếu trong đó lần lượt chứa và thì: .
	+ Từ đó, qui bài toán tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán về việc tìm chiều cao của khối chóp (hoặc một khối lăng trụ) nào đó.
	+ Giả sử bài toán đã được qui về tìm chiều cao kẻ từ đỉnhcủa một hình chóp (hoặc một lăng trụ). Ta tìm thể tích của hình chóp (lăng trụ) này theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh này, chẳng hạn như quan niệm hình chóp ấy có đỉnh. Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnh. Như thế, ta suy ra được chiều cao kẻ từcần tìm.
VẤN ĐỀ 2
CÁC DẠNG TOÁN KHỐI CHÓP
DẠNG 1
 HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
BÀI TẬP CƠ BẢN
Cho hình chóp có đáy là vuông cân ở.
	a. Tính thể tích khối chóp .	ĐS: .
	b. Gọi là trọng tâm của , đi quavà song song với cắt lần lượt tại . Tính thể tích khối chóp .	ĐS: .
Cho hình chóp có đáy là đều cạnh và ,. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lần lượt lên cạnh . 
	a. Tính thể tích khối chóp theo .	ĐS: .
	b. Tính thể tích khối theo .	ĐS: .
	c. Tính khoảng cách từđến.	ĐS: .
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2002)
Cho tứ diện có cạnh vuông góc với , , . Tính khoảng cách từ đến .	ĐS: 
Cho hình chópcó đáylà hình vuông tâm , . Cạnh bên hợp với một góc . Gọi lần lượt là hình chiếu của của lên . 
	a. Chứng minh rằng: 
	b. Tính thể tích khối chóp .	ĐS: .
	c. Tính thể tích khối chóp .	ĐS:	
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , . hợp với một góc . Gọi lần lượt là hình chiếu của của lên . 
	a. Mặt phẳng chia khối chóp thành hai khối đa diện . Tính tỉ số hai khối đa diện đó.
	b. Gọi là điểm di động trên cạnh . Chứng minh thể tích khối chóp có thể tích không đổi. Tính thể tích đó.
Cho tứ diện có . 
	a. Tính thể tích khối tứ diện . 	ĐS: .
	b. Tính khoảng cách từ điểm đến . 	ĐS: 
Cho hình chóp có đáylà tam giác có , . Gọi là hình chiếu của trên biết và . Cạnh bên hợp với đáy một góc . 
	a. Tính thể tích khối chóp 	
	b. Tính khoảng cách từ đến .
Cho hình chóp có đáy là vuông tại và . Biết , hợp với một góc .
	a. Chứng minh rằng: . 
	b. Tính thể tích khối chóp .	ĐS: .
	c. Trên cạnh lấy điểm sao cho . Tính thể tích khối chóp. 
	ĐS: .
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và với , . Gọi là trung điểm của cạnh .
	a. Chứng minh rằng: .
	b. Tính thể tích khối chóp .	ĐS: .
	c. Tính thể tích khối tứ diện.	ĐS: .
	d. Tính khoảng cách từ điểm đến . 	ĐS: 
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Biết . Cho, ,. Một mặt phẳng qua vuông góc với tại và cắt tại . 
	a. Tính diện tích xung quanh hình chóp . 
	b. Tính thể tích khối chóp theo .	ĐS: .
	c. Thể tích khối đa diện theo .	ĐS: .
Cho hình chóp tam giác có đáylà tam giác đều cạnh và . Mặt bên hợp với đáy một góc .
	a. Tính thể tích khối chóp theo .	ĐS: .
	b. Gọi vàlần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các đường thẳng và . Tính thể tích của khối chóp đa diện .
Cho hình chópcó đáylà tam giác đều cạnh , đường cao . Mặt phẳng qua điểm và vuông góc với tại và cắt tại. 
	a. Tính diện tích toàn phần hình chóp .
	b. Tính thể tích hình chóp . 	ĐS: .
Cho hình chóp có đáylà hình vuông cạnh ,, . Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình vuông .
	a. Tính thể tích khối chóp theo .	ĐS: .
	b. Tính thể tích khối chóp theo .	ĐS: .
	c. Tính khoảng cách từ điểm đến . 	ĐS: 
	d. Tính khoảng cách từ điểm đến . 	ĐS: 
Cho hình chóp có đáylà hình vuông cạnh . Gọivàlần lượt là trung điểm của các cạnh và là giao điểm của và. Biết và . 
	a. Tính thể tích khối chóp 	ĐS: .
	b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngvà theo . 	ĐS: 
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên , hình chiếu vuông góc của đỉnh lên là điểm thuộc đoạn . Gọi là đường cao của tam giác . 
	a. Chứng minhlà trung điểm của. 	
	b. Tính thể tích khối tứ diện theo .
Cho hình chóp có đáylà hình vuông cạnh ,. Cạnh tạo với mặt phẳng đáy một góc .
	a. Tính thể tích khối chóp theo .	ĐS: .
	b. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và . 	ĐS: 
	c. Một mặt phẳng đi quavà vuông góc với cắt lần lượt tại . Mặt phẳng chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số hai khối đa diện ấy.
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , chiều cao . Gọi là trung điểm của . 
	a. Tính diện tích toàn phần hình chóp .
	b. Tính thể tích khối chóp theo .	ĐS: .
	c. Mặt phẳng chứa và song song với lần lượt cắt tại . Tính thể tích khối chóp theo .	ĐS: .
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ,, góc tạo bởi và bằng . 
	a. Tính thể tích của khối chóp. 	ĐS: .
	b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và.	ĐS: 
	c. Gọi là trung điểm của . Mặt phẳng chứa và song song với chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số hai khối đa diện đó .	
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm . Biết , góc . Mặt bên hợp với đáy một góc .
	a. Tính thể tích khối chóp theo .	ĐS: .
	b. Tính thể tích khối chóp .	ĐS: .
	c. Tính khoảng cách từ điểm đến.	ĐS: 
	d. Gọi là trọng tâm . Mặt phẳng đi qua song song , chia khối chóp thành hai khối đa diện . Tính tỉ số hai khối đa diện đó.
Cho hình chữ nhật có . Lấy điểmtrên cạnhsao cho và là trung điểm của . Trên đường thẳng vuông góc với tại lấy điểm sao cho . 
	a. Chứng minh: 
	b. Tính góc giữa đường thẳng và .
Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật. Biết rằng hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc và. 
	a. Tính thể tích khối chóp . 	ĐS: .	
	b. Tính thể tích khối chóp .	ĐS: .
	c. Gọi là giao điểm của và . Tính khoảng cách từ điểm đến . 
	 ĐS: 
Cho hình chóp có đáy là hình thang có: ,. Cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . 
	a. Chứng minh rằng vuông.
	b. Tính diện tích xung quanh hình chóp .
	c. Tính khoảng cách từ đến . 	ĐS: .
Cho hình chópcó đáylà hình thang, ,, , . Gọi lần lượt là trung điểm của .