Chuyên đề Số Học - Phần I

Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 1 
Lời nĩi đầu 
 Số học là một phần rất quan trọng trong chương trình Tốn phổ thơng. Trong hầu 
hết các đề thi học sinh giỏi thì bài Số học thường xuyên xuất hiện và luơn là một thách 
thức lớn đối với học sinh. 
 Hiện nay, khơng cịn hệ chuyên cấp Trung học cơ sở nên các em học sinh chuyên 
Tốn cũng khơng được học nhiều về phần này nên thường gặp rất nhiều khĩ khăn khi giải 
các bài tốn đĩ. Vì vậy, tơi biên soạn tài liệu này nhằm giải quyết phần nào những khĩ 
khăn đĩ cho các em học sinh chuyên Tốn. 
 Chuyên đề gồm ba chương: 
 -Chương I. Các bài tốn chia hết 
 -Chương II. Các bài tốn đồng dư 
 -Chương III. Các bài tốn khác. 
 Ở mỗi bài đều được trình bày ba phần: Hệ thống lí thuyết; hệ thống các ví dụ và 
cuối cùng là hệ thống các bài tập tự giải. Các ví dụ và bài tập luơn được sắp xếp với độ 
khĩ tăng dần - theo quan điểm của tác giả. 
 Tuy nhiên, do trình độ cĩ hạn nên khơng thể tránh khỏi nhiều thiếu sĩt, rất mong 
được các thầy cơ đĩng gĩp để hồn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! 
NGUYỄN VĂN THẢO 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 2 
Chương I 
CÁC BÀI TỐN VỀ CHIA HẾT 
I.1 Chia hết 
 I.1.1 Lí thuyết 
 I.1.1.1 ðịnh nghĩa 
 Cho m và n là hai số nguyên , n ≠ 0. Ta nĩi rằng m chia hết cho n (hay n chia hết 
m) nếu tồn tại một số nguyên k sao cho m = kn. 
 Kí hiệu: m ⋮ n, (đọc là m chia hết cho n) hay n | m, (đọc là n chia hết m). 
 I.1.1.2 Các tính chất cơ bản 
 Cho các số nguyên x, y, z. Ta cĩ: 
 a) x ⋮ x, x ≠ 0. 
 b) Nếu x ⋮ y và x ≠ 0 thì |x| ≥ |y|. 
 c) Nếu x ⋮ z, y ⋮ z thì ax + by ⋮ z với mọi số nguyên a, b. 
 d) Nếu x ⋮ z và x ∓ y ⋮ z thì y ⋮ z 
 e) Nếu x ⋮ y và y ⋮ x thì |x| = |y|. 
 f) Nếu x ⋮ y và y ⋮ z thì x ⋮ z. 
 g) Nếu x | y và y ≠ 0 thì |
y
y
x
. 
 Chứng minh 
a) x = 1.x nên x ⋮ x với mọi x ≠ 0. 
b) Nếu x ⋮ y , x ≠ 0 thì tồn tại k ∈ Z sao cho x = ky, k ≠ 0 
 ⇒ |x| = |k||y| ≥ |y| do |k| ≥ 1. 
Các phần cịn lại cũng khá đơn giản, việc chứng minh xin nhường lại cho bạn đọc. 
 I.1.2 Các ví dụ 
Ví dụ 1. Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng 
a) 2n là tổng của hai số lẻ liên tiếp. 
b) 3n là tổng của ba số tự nhiên liên tiếp. 
Lời giải 
a) Ta cĩ 2n = (2n-1 - 1) + (2n-1 +1) suy ra đpcm. 
b) Ta cĩ 3n = (3n-1 - 1) + (3n-1) + (3n-1 + 1) suy ra đpcm. 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 3 
a) nếu m – n chia hết mp + nq thì m – n cũng chia hết mq + np. 
b) nếu m – n chia hết mp thì m – n cũng chia hết np. 
Lời giải 
Nhận xét: Hai biểu thức (mp + nq) và (mq + np) là hai biểu thức cĩ hình thức giống như 
“đối xứng loại hai” vì vậy khi xét các biểu thức loại này thường người ta kiểm tra hiệu 
của chúng. 
a) Ta cĩ (mp + nq) – (mq + np) = (m - n)(p - q) ⋮ (m - n) 
Nên nếu (mp + nq) ⋮ (m - n) thì hiển nhiên (mq + np) ⋮ (m - n). 
 b) Chứng minh tương tự. 
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 chia hết cho 9 thì một trong ba số a, b, c 
phải chia hết cho 3. 
Lời giải 
Nhận xét: Với những bài tốn chứng minh a chia hết cho một số cụ thể luơn khá đơn 
giản! Ta cĩ thể xét hết các trường hợp xảy ra của số dư khi a chia cho số đĩ. ( Cơng viêc 
đĩ chính là xét về hệ thặng dư đầy đủ - đây là tập hữu hạn nên cĩ thể thử trực tiếp) 
Giả sử khơng cĩ số nào trong ba số a, b, c chia hết cho 3. Khi đĩ 
a = 3m ± 1; b = 3n ± 1; c = 3p ± 1 
Do đĩ a3 + b3 + c3 = (3m ± 1)3 + (3n ± 1)3 + (3p ± 1)3 
 = 
9 3
9 1
9 3
9 1
A
a
a
A
+
 +
 −

−
 khơng thể chia hết cho 9. 
Từ đĩ suy ra đpcm. 
Ví dụ 4. 
 Chứng minh rằng nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì cả a và b đều chia hết cho 3. 
Lời giải 
TH1: cĩ 1 số khơng chia hết cho 3, giả sử là a 
Khi đĩ a = 3k ± 1; b = 3q suy ra a2 + b2 = (3k ± 1)2 + (3q)2 
 = 3(3k2 ± 2k + 3q2) + 1 khơng chia hết cho 3. 
TH2: cả hai số khơng chia hết cho 3. 
Khi đĩ a = 3k ± 1; b = 3q ± 1 suy ra a2 + b2 = 3A +2 
Do đĩ cả a và b phải chia hết cho 3. 
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên chẵn n và mọi số tự nhiên lẻ k thì 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 4 
 S = 1k + 2k +  + nk luơn chia hết cho n + 1. 
Lời giải 
 Ta cĩ 2S = (1k + nk) + (2k + (n - 1)k) +  ⋮ n + 1 
Mà n chẵn nên n + 1 lẻ nên (2, n+ 1) = 1 
Do đĩ S ⋮ n + 1. 
Ví dụ 6. Cho p là s ố nguyên tố, p > 3 v à 
3
122 −
=
p
n .Chứng minh rằng 
n 22 ⋮−n . 
Lời giải 
Vì p là số nguyên tố và p>3 ⇒ )3(mod12 1 ≡−p 
Mặt khác (2, p) = 1 nên theo định lí Fermat ta cĩ 
)(mod12 1 pp ≡− 
Do đĩ pp 312 1 ⋮−− 
Ta cĩ 
n. 22 n 12n 12 
3
12
 n Vi
12 12 2p 1-n rasuy 
3
)12)(12(4
3
44
1
3
12
1
n1-n2p
2p
2p1-n
112
⋮⋮⋮
⋮⋮
−⇒−⇒−⇒
−
=
−−⇒
−+
=
−
=−
−
=−
−− pppp
n
Từ đĩ suy ra điều phải chứng minh. 
Ví dụ 7. Cho x, y là hai số nguyên khác -1 sao cho 
1
1
1
1 33
+
+
+
+
+
x
y
y
x
 là một số nguyên 
Chứng minh rằng 12004 −x chia hết cho y+1. 
Lời giải 
Trước hết ta đặt 
d
c
xb
a
y
x
=
+
+
=
+
+
1
1y
 ; 
1
1 33
 với a, b, c, d nguyên và b > 0, d > 0, (a,b) = 1, (c,d) = 1. 
Ta cĩ 
bd
bcad
d
c
b
a +
=+ nguyên 
Do đĩ 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 5 
bd b ad b bcad bd ⋮⋮⋮⋮ ⇒⇒+⇒+ bcad vì (a,b)=1 (1) 
Mặt khác 
 (2) da dac bd ac 
)1)(1(
1
1
.
1
1
. 22
33
⋮⋮⋮ ⇒⇒⇒
∈+−+−=
+
+
+
+
= Zyyxx
x
y
y
x
d
c
b
a
Vì (c,d)=1 nên từ (1) và (2) suy ra 
a⋮b suy ra b = 1 vì (a,b) = 1 
Vì 
(3) 1y 1 x )1(1 x 
1
1 33
3
++⇒+=+⇒=
+
+
⋮ya
b
a
y
x
Mà 1 x 1-)(x 1 366432004 +=− ⋮x 
Kết hợp với (3) suy ra điều phải chứng minh. 
Ví dụ 8. Cho n 5≥ là số tự nhiên .Chứng minh rằng 
 


 −
n
n )!1(
 ⋮ n-1 . 
Lời giải 
 a) Trường hợp 1. n là số nguyên tố 
Theo định lý Winson (n-1)!≡ -1(mod n) suy ra ((n-1)!+1 ⋮n 
Ta cĩ 
 1
1)!1(11)!1()!1(
−
+−
=


 −
+−
=


 −
n
n
nn
n
n
n
 (vì 1
1
0 <<
n
) 
 = 1)-(n 
)1()!1(
⋮
n
nn −−−
 vì (n, n - 1) = 1 
 b) Trường hợp 2. n là hợp số 
 +) n khơng là bình phương của một số nguyên tố. 
Khi đĩ n = rs với 1< r < s < n. 
Do (n,n-1)=1 suy ra s < n-1 ⇒ (n-1)! = kn(n-1) 
suy ra 
)1()1(
)!1(
−−=


 −
nnk
n
n
⋮ . 
 +) n = p 2 với p là một số nguyên tố. 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 6 
Do p =2 n, n 5≥ suy ra p 123p 3 2 +>≥⇒≥ pp 
 12 2 −<⇒ pp hay 2p < n-1. 
Nên 1 < p < 2p < n-1 
Suy ra (n-1)! ⋮ p.2p.(n-1) = 2n(n-1). 
Từ đo suy ra 1)-(n 
)!1(
⋮


 −
n
n
. 
Vậy ta cĩ điều phải chứng minh. 
Ví dụ 9 
Tồn tại hay khơng một số nguyên x sao cho 2003 12 ⋮++ xx ? 
Lời giải 
Ta cĩ 2003 là số nguyên tố cĩ dạng 3k + 2. 
Giả sử tồn tại x nguyên thỏa mãn x2 + x + 1 ⋮ 2003 
Từ đĩ suy ra tồn tại { }2002,....,2,1∈a thỏa mãn ++ aa 2 1 ⋮ 2003 (∗ ) 
Ta cĩ 
2003 )1)(1(1 23 ⋮++−=− aaaa 
 ) ( hay a a 2003mod120031 20012001 ≡−⇒ ⋮ 
) a ( a 2003mod2002 ≡⇒ (1) 
Theo định lí Fermat ta cĩ 
 2003) (mod 12002 ≡a (2) 
Từ (1) và (2) ta cĩ 2003) (mod 1≡a suy ra a = 1 (vơ lí) 
Vậy khơng tồn tại x nguyên sao thỏa mãn đầu bài. 
Ví dụ 10. (30 - 4 - 2006) Chứng minh rằng với mọi m, tồng tại một số nguyên n sao cho 
n3 - 11n2 - 87n + m 
Chia hết cho 191. 
Lời giải 
ðặt P(x) = x3 - 11x2 - 87x + m. 
Ta chứng, tồn tại a, b nguyên để P(x) ≡ (x +a)3 + b (mod 191) 
 ⇔ x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 + b ≡ x3 - 11x2 - 87x + m (mod 191) 
Chọn a nguyên sao cho 3a ≡ -11 (mod 191) 
 ⇔ 3a ≡ 180 (mod 191) 
 ⇔ a ≡ 60 (mod 191), do (3, 191) = 1, 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 7 
 ⇒ 3a2 ≡ 3.602 (mod 191) ≡ -87 (mod 191) 
Vậy với mọi m, chỉ cần chon b ≡ m - a3 (mod 191) 
 là được P(x) ≡ (x + a)3 + b (mod 191). 
Ta cĩ, với mọi i, j nguyên thì P(i) ≡ P(j) (mod 191) 
 ⇔ (i + a)3 ≡ (j + a)3 (mod 191) 
 ⇒ (i + a)3.63(j + a)2 ≡ (j + a)3.63 + 2 (mod 191) 
 ≡ (j + a) (mod 191) 
 ⇒ (j + a)2 ≡ (i + a)189(j + a)3 (mod 191) 
 ≡ (i + a)192 (mod 191) 
 ≡ (i + a)2 (mod 191) 
 ⇒ (i + a)3.63(j + a)2 ≡ (i + a)189.(i + a)2 (mod 191) 
 ≡ i + a (mod 191) 
Từ đĩ suy ra 
P(i) ≡ P(j) (mod 191) ⇔ i = j (mod 191) 
Từ đĩ suy ra tập {P(1), P(2), ..., P(191)} cĩ 191 số dư khác nhau khi chia cho 191 
Do đĩ phải tồn tại một số nguyên n ∈ {1, 2, ..., n} sao cho P(n) ⋮ 191 
Vậy ta cĩ điều phải chứng minh. 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 8 
 I.1.3 Bài tập 
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n ta cĩ: 
1) n3 + 11n ⋮ 6 
2) mn(m2 – n2) ⋮ 3 
3) n(n + 1)(2n + 1) ⋮ 6. 
4) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ⋮ 9. 
5) n2(n2 - 12) ⋮ 12 
6) mn(m4 – n4) ⋮ 30 
7) n5 – n ⋮ 30 
8) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n ⋮ 24 
9) n4 – 4n3 – 4n2 + 16n ⋮ 384 ( n chẵn và n > 4) 
10) n2 + 4n + 3 ⋮ 8 
11) n3 + 3n2 – n – 3 ⋮ 48 
12) n 12 – n8 – n4 + 1 ⋮ 512 
13) n8 – n 6 – n4 + n2 ⋮ 1152. 
14) n3 – 4n ⋮ 48 ( n chẵn) 
15) n2 – 3n + 5 khơng chia hết cho 121. 
16) (n + 1)(n + 2)(2n) ⋮ 2n 
17) n6 – n4 – n2 + 1 ⋮ 128 ( n lẻ) 
Bài 2. Chứng minh rằng tích của n số nguyên lien tiếp luơn chia hết cho n! 
Bài 3. Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng với mọi k ∈ N, ta luơn cĩ 
 S = 12k + 1 + 22k + 1 +  + (p - 1)2k + 1 chia hết cho p. 
Bài 4. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 chia hết cho 9 thì một trong ba số a, b, c phải 
chia hết cho 9. 
Bài 5. Cho a, b nguyên. Chứng minh rằng nếu an ⋮ bn thì a ⋮ b. 
Bài 6. Tìm số nguyên dương n sao cho n chia hết cho mọi số nguyên dương khơng vượt 
quá n . 
Bài 7. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 khơng thể đồng dư với 7 modulo 8. 
Bài 8. Tổng n số nguyên liên tiếp cĩ chia hết cho n hay khơng? tại sao? 
Bài 9. Chứng minh rằng khơng tồn tại cặp số nguyên (x, y) nào thỏa mãn một trong 
những đẳng thức sau: 
 a) x2 +1 = 3y 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 9 
 b) x2 + 2 = 5y. 
Bài 10. Chứng minh rằng với n ≥ 1 thì 
(n + 1)(n + 2) ... (n + n) 
chia hết cho 2n. 
Bài 11. Tìm chữ số tận cùng của số Fermat Fn = 12
2 +
n
, n ≥ 2. 
Bài 12. Tìm các số nguyên dương p, q, r sao cho 
pqr - 1 ⋮ (p - 1)(q - 1)(r - 1). 
Bài 13. Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên cĩ 1997 chữ số gồm tồn chữ số 1 và 2 
sao cho số đĩ chia hết cho 21997. 
Bài 14. Cho a là một số nguyên dương và a > 2. Chứng minh rằng tồn tại vơ số số 
nguyên dương n thỏa mãn 
an - 1 ⋮ n. 
Bài 15. Chứng minh rằng tồn tại vơ số số nguyên dương n sao cho 
2n + 1 ⋮ n. 
Bài 16. Chứng minh rằng trong 12 số nguyên tố phân biệt bất kì luơn chon ra được 6 số 
a1, a2, ..., a6 sao cho 
(a1 - a2)(a3 - a4)(a5 + a6) ⋮ 1800. 
Bài 17. Cho a, b, c, d nguyên bất kì. Chứng minh rằng 
(a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) ⋮ 12. 
Bài 18. Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7. Chứng minh rằng với mọi số tự 
nhiên n thì 2n + 1 khơng thể chia hết cho 7. 
Bài 19. Tìm số tự nhiên n sao cho n5 - n chia hết cho 120. 
Bai 20. Tìm tất cả các cặp số nguyên x > 1, y > 1 sao cho 



+
+
.13
13
xy
yx
⋮
⋮
Bài 21. Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x
2 - mx + 1 = 0 với m là số nguyên lớn 
hơn 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì Sn =
nn xx 21 + là một số nguyên và 
khơng chia hết cho m - 1. 
Bài 22. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho 
2
22
+
−
ab
a
là một số nguyên. 
Bài 23. (30.4.2003) Tìm ba số nguyên dương đơi một phân biệt sao cho tích của hai số 
bất kì đều chia hết cho số thứ 3. 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 10 
B ài 24. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì giữa n2 và (n + 1)2 luơn tồn tại ba số 
tự nhiên phân biệt a, b, c sao cho a2 + b2 ⋮ c2. 
Bài 25. Cho số tự nhiên An = 19981998...1998 (gồm n số 1998 viết liền nhau) 
 a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n < 1998 sao cho An ⋮ 1999. 
 b) Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho Ak ⋮ 1999. Chứng minh rằng 
1998 ⋮ 2k. 
Bài 26. Cho hai số nguyên dương m và n sao cho n + 2 ⋮ m. Hãy tính số các bộ ba số 
nguyên dương (x, y, z) sao cho x + y + z ⋮ m trong đĩ mỗi số x, y, z đều khơng lớn hơn n. 
Bài 27. (APMO 98) Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho n chia hết cho mọi số 
nguyên dương nhỏ hơn 3 n . 
Bài 28. Tìm tất cả các số nguyên dương m, n sao cho n3 + 1 chia hết cho mn - 1. 
Bài 29. Tìm tất cả các cạp số nguyên dương a, b sao cho 
12
2
−
+
ab
ba
là một số nguyên. 
Bài 30. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho 
72
2
++
++
bab
baba
là một số nguyên. 
Bài 31. Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. p là một ước nguyên tố của số Fermat Fn. 
Chứng minh rằng p - 1 chia hết cho 2n+2. 
Bài 32. Cho x, y , p là các số nguyên và p > 1 sao cho x2002 và y2002 đều chia hết cho p. 
Chứng minh rằng 1 + x + y khơng chia hết cho p. 
Bài 33. (USA - 98) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ≥ 2, tồn tại một tập hợp 
n số nguyên sao cho với hai số a, b bất kì (a ≠ b) thuộc tập đĩ thì (a - b)2 chia hết ab. 
Bài 34. Giả sử tập S = {1, 2, 3, ..., 1998} được phân thành các cặp rời nhau 
 {ai, bi| 1 ≤ i ≤ 1998} sao cho |ai - bi| bằng 1 hoặc bằng 6. Chứng minh rằng 
∑
=
−
999
1
||
i
ii ba = 10k + 9. 
Bài 35. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho 
2
22
+
−
ab
a
là một số nguyên. 
Bài 36. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* luơn tồn tại số tự nhiên a sao cho 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 11 
64a2 + 21a + 7 ⋮ 2n. 
Bài 37. (Nga - 1999) Cho tập A là tập con của tập các số tự nhiên n sao cho trong 1999 số 
tự nhiên liên tiếp bất kì luơn cĩ ít nhất một số thuộc A. 
Chứng minh rằng tồn tại hai số m, n thuộc A sao cho m ⋮ n. 
Bài 38. Tìm x, y, z nguyên dương và x < y < z sao cho 
2x + 2y + 2z = 2336. 
Bài 39. Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn 
(x - y)(y - z)(z - x) = x + y + z. 
Chứng minh rằng x + y + z chia hết cho 27. 
Bài 40. Cho m, n là các số nguyên dương sao cho 
4
2n
m ≤ và mọi ước số nguyên tố của m 
đều nhỏ hơn hoặc bằng n. Chứng minh rằng 
n! ⋮ m. 
Bài 41. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho 
ba
ab
ab
ba
−
+
−
+
2
2
2
2
; 
là các số nguyên. 
Bài 42. Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho x2 + y2 + 1 chia hết cho xy. 
Chứng minh rằng 
.3
122
=
++
xy
yx
Bài 43. Cho hàm số f(x) = x3 + 17. Chứng minh rằng mỗi số nguyên dương n luơn tồn tại 
một số nguyên dương x sao cho f(x) chia hết cho 3n nhưng khơng chia hết cho 3n + 1. 
Bài 44. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 2 và p - 2 chia hết cho 3. Chứng minh rằng trong 
tập hợp các số cĩ dạng x3 - y2 + 1, với x, y là các số nguyên khơng âm nhỏ hơn p cĩ nhiều 
nhất p - 1 số chia hết cho p. 
Bài 45. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương luơn tồn tại một số tự nhiên cĩ n chữ 
số chia hết cho 2n và số này chỉ gồm các chữ số 1 và 2. 
Bài 46. Cho số nguyên dương n > 1, thỏa mãn 3n - 1 chia hết cho n. Chứng minh rằng n 
là số chẵn. 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 12 
I.2 Ước số chung lớn nhất - Bội số chung nhỏ nhất 
 I.2.1. Lí thuyết 
 I.2.1.1. Ước số chung lớn nhất 
 I.2.1.1.1 ðịnh nghĩa 1 
 Cho a, b là hai số nguyên. Số nguyên dương d lớn nhất chia hết cả a và b được gọi 
là ước chung lớn nhất của a và b. 
 Kí hiệu: d = (a, b) hoặc d = gcd(a, b) 
 Nếu d = 1 thì ta nĩi a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. 
 I.2.1.1.2. Các tính chất của ước chung lớn nhất 
 a) Nếu p là một số nguyên tố thì (p,m) = p hoặc (p, m) = 1. 
 b) Nếu (a, b) = d thì a = dm, b = dn và (m, n) = 1. 
 c) Nếu (a, b) = d, a = d’m, b = d’n và (m, n) = 1 thì d = d’. 
 d) Nếu m là một ước chung của a và b thì m | (a,b). 
 e) Nếu px || m và py || n thì pmin(x,y) || (m, n). 
 f) Nếu a = bq + r thì (a, b) = (r, b). 
 g) Nếu c | ab và (a,c) = 1 thì c | b. 
 h) Nếu (a, c) = 1 thì (ab, c) = (b, c). 
 I.2.1.2 Bội số chung nhỏ nhất. 
 I.2.1.2.1 ðịnh nghĩa. 
 Cho a, b là hai số nguyên. Số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b được 
gọi là bội số chung nhỏ nhất của a và b. 
 Kí hiệu: [a,b] hay lcm(a,b). 
 I.2.1.2.2. Các tính chất của bội chung nhỏ nhất. 
 a) Nếu [a, b] = m và m = a.a’ = b.b’ thì (a’, b’) = 1. 
 b) Nếu m’ = a.a’ = b.b’ và (a’, b’) = 1 thì [a, b] = m. 
 c) Nếu m = [a, b] và m’ là một bội chung của a và b thì m | m’. 
 d) Nếu a | m và b | m thì [a, b] | m. 
 e) Cho n là một số nguyên dương, ta luơn cĩ n[a, b] = [na, nb]. 
 f) Nếu a = 1 2 1 21 2 1 2. ... ; . ...
k kn mn n m m
k kp p p b p p p= 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 13 
 Thì [a, b] = min( , )
1
i i
k
n m
i
i
p
=
∏ . 
 I.2.1.3 ðịnh lí Bézout 
 Phương trình mx + ny = (m,n) luơn cĩ vơ số nghiệm nguyên. 
 Nhận xét: Phương trình ax + by = c cĩ nghiệm nguyên khi và chỉ khi c là 
 bội của (a, b). 
 Phương trình ax + by = 1 cĩ nghiệm nguyên khi và chỉ khi 
 (a, b) = 1. 
 I.2.1.4 Mối quan hệ giữa ước số chung lớn nhất và bội số chung 
 nhỏ nhất 
 Cho a và b là các số nguyên khác 0, ta cĩ 
[a,b]
( , )
ab
a b
= 
 I.2.2 Các ví dụ 
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b ta luơn cĩ 
(3a + 5b, 8a + 13b) = (a, b). 
Lời giải 
Ta cĩ (3a + 5b, 8a + 13b) = (3a + 5b, 8a + 13b – 2(3a + 5b)) 
 = (3a + 5b, 2a + 3b) = (a + 2b, 2a + 3b) 
 = (a + 2b, b) = (a, b). 
ðpcm. 
Ví dụ 2. Nếu (a, b) = d thì (a +b, a - b) cĩ thể nhận nhũng giá trị nào? 
Lời giải 
Ta cĩ m = (a + b, a - b) = (a + b, 2a) = (a + b, 2b). 
 Do đĩ m là ước chung của 2a và 2b và a + b. 
Nếu a + b lẻ thì (a + b, a - b) = d 
Nếu a + b chẵn thì (a + b, a - b) = 2d. 
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phân số sau tối giản 
21 4
14 3
n
n
+
+
Lời giải 
Ta cĩ (21n + 4, 14n + 3) = (7n + 1, 14n + 3) 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 14 
 = (7n + 1, 14n + 3 – 2(7n + 1)) 
 = (7n +1, 1) = 1 
Từ đĩ suy ra điều phải chứng minh. 
Ví dụ 4. Cho a, b là các số nguyên dương phân biệt sao cho ab(a + b) chia hết cho a2 + 
ab + b2. Chứng minh rằng 
3| |a b ab− > 
Lời gải 
ðặt g = (a, b) ⇒ a = xg và b = yg với (x, y) = 1. 
Khi đĩ 
2 2 2 2
( ) ( )ab a b gxy x y
a ab b x xy y
+ +
=
+ + + +
là một số nguyên. 
Ta cĩ (x2 + xy + y2, x) = (y2, x) = 1 
 (x2 + xy + y2, y) = 1. 
Vì (x + y, y) = 1 nên ta cĩ 
 (x2 + xy + y2, x + y) = (y2, x + y) = 1 
Do đĩ x2 + xy + y2 | g 
Suy ra g ≥ x2 + xy + y2 
Mặt khác |a - b|3 = g3|x - y|3 
 = g2|x - y|3g 
 ≥ g2.1. (x2 + xy + y2) = ab. 
Từ đĩ ta cĩ điều phải chứng minh. 
Ví dụ 5. Cho n là một số nguyên dương, d = (2n + 3, n + 7). 
 Tìm giá trị lớn nhất của d. 
Lời giải 
Ta cĩ 
(2n + 3, n + 7) = (2(n + 7) – 2n -3, n + 7) 
 = (11, n + 7) ≤ 11. 
Mặt khác khi n = 11k + 4 thì n + 7 = 11(k + 1) 
 ⇒ (11, n + 4) = 11. 
Do đĩ giá trị lớn nhất của d là 11. 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 15 
Ví dụ 6. (India 1998) Tìm tất cả các bộ (x, y, n) nguyên dương sao cho 
(x, n+1) = 1 (1) 
và xn + 1 = yn+1. (2) 
Lời giải 
Từ (2) ta cĩ 
xn = yn+1 – 1 
= (y - 1)(yn + yn-1 + + 1) (*) 
ðặt m = yn + yn-1 +  + 1 
Suy ra xn ⋮ m 
Mà (x, n+1) = 1 nên ta phải cĩ (m, n +1) = 1 
Ta lại cĩ 
 m = yn – yn-1 + 2(yn-1 – yn-2) + + n(y - 1) +n + 1 
 = (y – 1)(yn-1 + 2yn-2 +  + n) + n + 1 
 ⇒ n + 1 ⋮ (m, y - 1) 
Mà (m, n + 1) = 1 ⇒ (m, y - 1) = 1 (**) 
Từ (*) và (**) suy ra m phải là luỹ thừa n của một số nguyên dương. 
Tức là m = qn với q là một số nguyên dương nào đĩ 
Vì y > 0 nên ta cĩ yn < yn + yn-1 +  + 1 < yn + 1 1 ...n nn nC y C
− + + với mọi n > 1 
 hay yn 1 (vơ lí) 
Vậy n = 1 ⇒ x = y2 – 1 
 Vì (x, n +1) = (x, 2) = 1 nên x = 2k + 1 ⇒ y chẵn 
Do đĩ (x, y, n ) = (4a2- 1, 2a, 1) với a nguyên dương. 
Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu một số nguyên dương cĩ số ước số là lẻ thì đĩ phải là số 
chính phương. 
Lời giải 
Gọi n là số tự nhiên như vậy. 
Nhận thấy, nếu d là một ước số của n thì 
n
d
 cũng là một ước số của n. 
Do vậy nếu với mọi d mà d ≠
n
d
 thì số ước của n phải là chẵn. 
Nên tồn tại d là ước của n sao cho d = 
n
d
 ⇔ n = d2 (đpcm). 
Nguyễn Văn Thảo Chuyên đề Số Học - Phần I 
 16 
Ví dụ 8. (APMO - 1999) Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho n chia hết cho mọi số 
tự nhiên nhỏ hơn 3 n . 
Lời giải 
Câu trả lời là 420. 
Thật vậy, ta cĩ 
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] = 420. 7 < .84203 < 
Giả sử n > 420 và thỏa mãn điều kiện đầu bài ⇒ 73 >n ⇒ n ⋮ 420. 
Do đĩ n ≥ 2.420 = 480 ⇒ 93 ≥n . 
Ta cĩ 
[1, 2, ..., 9] = 2520 ⇒ n ⋮ 2520 ⇒ 133 >n . 
Gọi m là số nguyên dương lớn nhất nhỏ hơn 3 n ⇒ n ≥ 13 và m3 <