Chuyên đề: Phương trình bậc hai – Hệ thức Viet phương trình quy về phương trình bậc hai

CHUYấN Đấ̀: 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – Hậ́ THỨC VIET
PHƯƠNG TRÌNH QUY Vấ̀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Nệ̃I DUNG CHUYấN Đấ̀
TT
Nụ̣i dung
Ghi chú
Phõ̀n 1
Phương trình bọ̃c hai – Hợ̀ thức Viet
I
Kiờ́n thức cơ bản
II
Các dạng bài tọ̃p cơ bản
III
Phương trình có chứa tham sụ́
III.1
Các dạng cõu hỏi thường gặp
III.2
Mụ̣t sụ́ ví dụ áp dụng
III.3
Bài tọ̃p tự luyợ̀n
Phõ̀n 2
Phương trình quy vờ̀ bọ̃c hai
1
Phương trình tích
2
Phương trình đa thức bọ̃c cao
3
Phương trình chứa õ̉n ở mõ̃u thức
4
Phương trình vụ tỷ
5
Phương trình chứa dṍu giá trị tuyợ̀t đụ́i
Phõ̀n 1 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – Hậ́ THỨC VIET
I Kiờ́n thức cơ bản
1. Cụng thức nghiệm: 
 Phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú D = b2- 4ac
+Nếu D < 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm 
+Nếu D = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp: x1 = x2 = 
+Nếu D > 0 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt:
x1 = ; x2 = 
2. Cụng thức nghiệm thu gọn: 
 Phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú D’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu D’ < 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm 
+Nếu D’= 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp: x1 = x2 = 
+Nếu D’> 0 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt:
 x1 = ; x2 = 
3. Hệ thức Vi-ột
a) Định lớ Vi-ột: 
 Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (aạ0)
 thỡ : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 = 
b) Ứng dụng: 
+Hệ quả 1: 
 Nếu phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú: a + b + c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm:
x1 = 1; x2 = 
+Hệ quả 2: 
 Nếu phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú: a- b+c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm: x1 = -1; x2 = 
c) Định lớ: (đảo Vi-ột)
 Nếu hai số x1; x2 cú x1+x2= S ; x1.x2 = P thỡ x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh : x2- S x+P = 0
(x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P ³ 0)
Chỳ ý: 
 + Định lớ Vi-ột chỉ ỏp dụng được khi phương trỡnh cú nghiệm (tức là D ≥ 0)
 + Nếu a và c trỏi dấu thỡ phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm trỏi dấu
 	II. Các dạng bài tọ̃p cơ bản
Bài 1: Giải phương trỡnh
 a) x2 - 49x - 50 = 0 
 b) (2-)x2 + 2x – 2 – = 0
Giải:
 a) Giải phương trỡnh x2 - 49x - 50 = 0
 + Lời giải 1: Dựng cụng thức nghiệm
 (a = 1; b = - 49; c = 50)
 D = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51
 Do D > 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt: 
 ; 
 + Lời giải 2: Ứng dụng của định lớ Viet
 Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 
 Nờn phương trỡnh cú nghiệm: x1 = - 1; x2 = 
 + Lời giải 3: D = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
 Theo định lớ Viet ta cú : 
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm: x1 = - 1; x2 = 
 b) Giải phương trỡnh (2-)x2 + 2x – 2 – = 0
Giải:
 + Lời giải 1: Dựng cụng thức nghiệm
 (a = 2-; b = 2; c = – 2 –)
 D = (2)2- 4(2-)(– 2 –) = 16; = 4
 Do D > 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt: 
 ; 
 + Lời giải 2: Dựng cụng thức nghiệm thu gọn 
 (a = 2-; b’ = ; c = – 2 –)
 D’ = ()2 - (2 - )(– 2 –) = 4; = 2
 Do D’ > 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt: 
 ; 
 + Lời giải 3: Ứng dụng của định lớ Viet
 Do a + b + c = 2- + 2+ (- 2 - ) = 0 
 Nờn phương trỡnh cú nghiệm: x1 = 1; x1 = 
*Yờu cầu:
 + Học sinh xỏc định đỳng hệ số a, b, c và ỏp dụng đỳng cụng thức
 + Áp dụng đỳng cụng thức (khụng nhẩm tắt vỡ dễ dẫn đến sai sút)
 + Gv: cần chỳ ý rốn tớnh cẩn thận khi ỏp dụng cụng thức và tớnh toỏn
* Bài tương tự: Giải cỏc phương trỡnh sau:
1. 3x2 – 7x - 10 = 0 
2. x2 – 3x + 2 = 0 
3. x2 – 4x – 5 = 0 
4. 3x2 – 2x – 3 = 0
5. x2 – (1+)x + = 0
6.x2 – (1-)x – 1 = 0
7.(2+)x2 - 2x – 2 + = 0
Bài 2: Tỡm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nờn u và v là nghiệm của phương trỡnh
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta cú: D’ = (- 21)2- 441 = 0
Phương trỡnh (*) cú nghiệm x1 = x2 = 21
 Vậy u = v = 21
*Bài tương tự: 
1. Tỡm hai số u và v biết: 
 a) u + v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 
 c) u + v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 
2. Tỡm kớch thước mảnh vườn hỡnh chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tớch bằng 30m2
Bài 4: Cho phương trỡnh x2 + x - = 0 cú 2 nghiệm là x1 và x2 . 
 Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức sau:
 A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23
Giải
 Do phương trỡnh cú 2 nghiệm là x1 và x2 nờn theo định lớ Viet ta cú:
 x1 + x2 =; x1.x2 = 
 A = ; 
 B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= 
 C = ; 
 D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = 
* Bài tương tự: 
 Cho phương trỡnh x2 + 2x - 3 = 0 cú 2 nghiệm là x1 và x2 . 
 Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức sau:
 A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23
 E = ; F = 
III. Phương trình có chứa tham sụ́
Các dạng cõu hỏi thường gặp :
 Tỡm điều kiện tổng quỏt để phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú: 
 1. Cú nghiệm (cú hai nghiệm) Û D ³ 0
 2. Vụ nghiệm Û D < 0
 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kộp, hai nghiệm bằng nhau) Û D = 0
 4. Cú hai nghiệm phõn biệt (khỏc nhau) Û D > 0
 5. Hai nghiệm cựng dấu Û D³ 0 và P > 0
 6. Hai nghiệm trỏi dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0
 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) Û D³ 0; S > 0 và P > 0
 8. Hai nghiệm õm(nhỏ hơn 0) Û D³ 0; S 0
 9. Có nghiợ̀m dương ( Nghiợ̀m õm)
 9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0
 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1
 11. Hai nghiệm trỏi dấu và nghiệm õm cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c < 0 và S < 0
 12. Hai nghiệm trỏi dấu và nghiệm dương cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn 
 Û a.c 0
(ở đú: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )
 13. Có 2 nghiợ̀m x1 ; x2 thoả mãn các điờ̀u kiợ̀n nào đó.
 14. Tìm hợ̀ thức liờn hợ̀ giữa các nghiợ̀m khụng phụ thuụ̣c vào tham sụ́.
 15. Lọ̃p phương trình bọ̃c hai ( õ̉n mới ) theo biờ̉u diờ̃n của nghiợ̀m phương trình đã cho.
* Giỏo viờn cần cho học sinh tự suy luận tỡm ra điều kiện tổng quỏt, giỳp học sinh chủ động khi giải loại toỏn này
Bài 2: Giải phương trỡnh (giải và biện luận): x2 - 2x + k = 0 ( tham số k)
Giải
	D’ = (-1)2- 1.k = 1 – k 
 Nếu D’ 1 ị phương trỡnh vụ nghiệm
 Nếu D’= 0 Û 1- k = 0 Û k = 1 ị phương trỡnh cú nghiệm kộp x1= x2=1
 Nếu D’> 0 Û 1- k > 0 Û k < 1 ị phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt
 x1 = 1- ; x2 = 1+
 Kết luận: 
 Nếu k > 1 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm
 Nếu k = 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x=1
 Nếu k < 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x1 = 1- ; x2 = 1+ 
Bài 3: Cho phương trỡnh (m - 1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
 a) Tỡm m để (1) cú nghiệm
 b) Tỡm m để (1) cú nghiệm duy nhất? tỡm nghiệm duy nhất đú?
 c) Tỡm m để (1) cú 1 nghiệm bằng 2? khi đú hóy tỡm nghiệm cũn lại(nếu cú)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thỡ (1) cú dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm) 
 + Nếu m ≠ 1. Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai cú: D’=12 - ( -3)(m - 1) = 3m - 2
 (1) cú nghiệm Û D’ = 3m-2 ³ 0 Û m ³ 
 + Kết hợp hai trường hợp trờn ta cú: Với m ³ thỡ phương trỡnh cú nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thỡ (1) cú dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm)
 + Nếu m ≠ 1. Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai cú: D’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
 (1) cú nghiệm duy nhất Û D’ = 3m-2 = 0 Û m = (thoả món m ≠ 1)
 Khi đú x = 
 +Vậy với m = 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 
 Với m = thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trỡnh cú nghiệm x1 = 2 nờn ta cú:
 (m - 1)22 + 2.2 - 3 = 0 Û 4m – 3 = 0 Û m = 
 Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0)
 Theo đinh lớ Vi - et ta cú: x1.x2 = 
 Vậy m = và nghiệm cũn lại là x2 = 6
* Giỏo viờn cần khắc sõu trường hợp hệ số a cú chứa tham số (khi đú bài toỏn trở nờn phức tạp và học sinh thường hay sai sút)
Bài 4: Cho phương trỡnh: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
 a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú nghiệm x1, x2 với mọi m
 b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu
 c) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng õm
 d) Tỡm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trỡnh thoả món x12+x22 10.
 e) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa x1 và x2 khụng phụ thuộc vào m
 f) Hóy biểu thị x1 qua x2
Giải
a) Ta cú: D’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = 
 Do với mọi m; ị D > 0 với mọi m
 ị Phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt 
 Hay phương trỡnh luụn cú hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu Û a.c -3 
 Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm
 Khi đú theo định lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
 Khi đú phương trỡnh cú hai nghiệm õm Û S 0
 Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm
 Theo định lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
 Khi đú A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =2 -2= 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 
 Theo bài A ³ 10 Û 4m2 – 6m ³ 0 Û 2m(2m-3) ³ 0 
 Vậy m ³ hoặc m Ê 0
e) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm
 Theo định lớ Viet ta cú: 
 ị x1 + x2+2x1x2 = - 8 
 Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 là hệ thức liờn hệ giữa x1 và x2 khụng phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta cú: x1 + x2+2x1x2 = - 8 Û x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) Û 
 Vậy ()
Bài 5: Cho phương trỡnh: x2 + 2x + m -1= 0 ( m là tham số)
 a) Phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
 b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 thoả món 3x1 + 2x2 = 1
 c) Lập phương trỡnh ẩn y thoả món ; với x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh ở trờn
Giải
a) Ta cú D’ = 12 – (m-1) = 2 – m
 Phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
 Vậy m = 2
b) Ta cú D’ = 12 – (m-1) = 2 – m
 Phương trỡnh cú nghiệm Û D ³ 0 Û 2 – m ³ 0 Û m Ê 2 (*)
 Khi đú theo định lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
 Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
 Từ (1) và (3) ta cú: 
 Thế vào (2) ta cú: 5(-7) = m -1 Û m = - 34 (thoả món (*))
 Vậy m = -34 là giỏ trị cần tỡm
d) Với m Ê 2 thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm 
 Theo định lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
 Khi đú: (m≠1)
 (m≠1)
 ị y1; y2 là nghiệm của phương trỡnh: y2 - .y + = 0 (m≠1)
 Phương trỡnh ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yờu cầu: 
 + HS nắm vững phương phỏp
 + HS cẩn thận trong tớnh toỏn và biến đổi
 + Gv: cần chỳ ý sửa chữa những thiếu sút của học sinh, cỏch trỡnh bày bài và khai thỏc nhiều cỏch giải khỏc
* Bài tương tự: 
1) Cho phương trỡnh: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
 a) Định m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp này
 b) Định m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt đều õm.
2) Cho phương trỡnh : x2 – 4x + m + 1 = 0
 a) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm.
 b) Tỡm m sao cho phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món: x12 + x22 = 10
3) Cho phương trỡnh: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
 a) C/m , phương trỡnh luụn luụn cú hai nghiệm khi m thay đổi
 b) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món: 1 < x1 < x2 <6
4) Cho phương trỡnh bậc hai cú ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
 a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú nghiệm x1, x2 với mọi m.
 b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
	*) CMR: A = 8m2 – 18m + 9
	**) Tỡm m sao cho A =27
 c) Tỡm m sao cho phương trỡnh cú nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
5) Cho phương trỡnh ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xỏc định m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món:
 a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giỏ trị lớn nhất.
 b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 c) Tỡm hệ thức giữa x1 , x2 khụng phụ thuộc vào m
6) Cho phương trỡnh : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
 a) C/m phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
 b) Xỏc định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
 c) Lập phương trỡnh bậc hai ẩn y cú 2 nghiệm y1 và y2 thoả món: 
 y1 + y2 = x1 + x2 và 
7) Cho phương trỡnh : x2 + ax + 1 = 0. Xỏc định a để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 , x2 thoả món : > 7
8) Cho phương trỡnh : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
 a) Giải và biện luận phương trỡnh (1) theo m
 b) Khi phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2:
 * Tỡm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m
 * Tỡm m sao cho 
Dạng: Tỡm m để phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món đẳng thức cho trước.
Bài 1: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món x12 + x22 = 8.
Bài 2: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món x12 + x22 = 10.
Bài 3: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món 
Bài 4: Tỡm m để phương trỡnh: cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món 
Bài 5: Tỡm m để phương trỡnh: cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món 
Bài 6: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món 
Bài 7: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món 
Bài 8: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món 
Bài 9: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món 
Bài 10: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món x1 = 2x2.
Bài 11: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món 2x1 + x2 = 5.
DẠNG: lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m.
Bài 1: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh: Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m.
Bài 2: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh: Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m.
Bài 3: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh:Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m.
Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh:
Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m.
Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh:Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m.
Bài 6: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh:Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m.
Dạng : TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tớnh chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luụn phõn tớch được:
	(trong đú A, B là cỏc biểu thức khụng õm ; m, k là hằng số)	(*)
Thỡ ta thấy : 	 (v ỡ ) 	
	 (v ỡ)	
Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh : 
	Gọi và là cỏc nghiệm của phương trỡnh. Tỡm m để :
	cú giỏ trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ẫT: 
Theo đ ề b ài :	
Suy ra: 
Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh :
	Gọi và là cỏc nghiệm của phương trỡnh. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau:
Ta cú: Theo hệ thức VI-ẫT thỡ :
Cỏch 1: Thờm bớt để đưa về dạng như phần (*) đó hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
	Vỡ 	
	Vậy m = 1
Với cỏch thờm bớt khỏc ta lại cú:
	Vỡ 
	Vậy 
Cỏch 2: Đưa về giải phương trỡnh bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tỡm điều kiện cho tham số B để phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm với mọi m.
	(Với m là ẩn, B là tham số)	(**)
Ta cú: 
Để phương trỡnh (**) luụn cú nghiệm với mọi m thỡ D³ 0
hay	
	Vậy: 	m = 1
Bài tập ỏp dụng
	1. Cho phương trỡnh :.Tỡm m để biểu thức cú giỏ trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trỡnh . Tỡm m sao cho nghiệm thỏa món điều kiện.
3. Cho phương trỡnh : xỏc định m để phương trỡnh cú 2 nghiệm thỏa món
a) đạt giỏ trị lớn nhất
b) đạt giỏ trị nhỏ nhất
4. Cho phương trỡnh :. Với giỏ trị nào của m, biểu thức dạt giỏ trị nhỏ nhất.
5. Cho phương trỡnh . Xỏc định m để biểu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Các bài tập tự luyện về hệ phương trình bậc 2
Bài 1: Cho phương trình: 
Giải phương trình khi 
Tìm m để phương trình có nghiệm 
Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất
Bài 2 Cho phương trình: (x là ẩn )
Tìm m để phương trình có nghiệm .Tìm nghiệm còn lại 
Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt 
Tính theo m
Bài 3 Cho phương trình: (x là ẩn )
Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu 
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Chứng minh biểu thức M= không phụ thuộc vào m.
Bài 4 Tìm m để phương trình:
 a) có hai nghiệm dương phân biệt 
 b) có hai nghiệm âm phân biệt
 c) có hai nghiệm trái dấu
Bài 5 Cho phương trình: 
Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6 Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:: CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm 
Bài 7 Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung: 
Bài 8 Cho phương trình: 
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình
Bài 9 Cho phương trình bậc hai tham số m: 
Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm 
Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện: 
Bài 10 Cho phương trình: 
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 11 Cho phương trình: (với m là tham số )
Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
 Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa mà không phụ thuộc vào m
Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12 Cho phương trình: với m là tham số
CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình 
Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức: 
Bài 13 Cho phương trình: (m là tham số)
Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm với mọi m; tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng 
Đặt 
Chứng minh 
Tìm m để A = 8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng
Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.
Bài 14 Cho phương trình: 
 a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm với mọi m.
 b) Đặt A = 
CMR A=
Tìm m sao cho A = 27
 c)Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 15 Cho phương trình : 
Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm
Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau 
Gọi là hai nghiệm nếu có của phương trình. Tính theo m
Bài 16 Cho phương trình có hai nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức : 
Bài 17 Cho phương trình: 
Giải phương trình khi m = 
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 
Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để: 
Bài 18 Cho phương trình: (1) (n , m là tham số)
a) Cho n = 0. CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m và n để hai nghiệm của phương trình (1) thoả mãn hệ: 
Bài 19 Cho phương trình: ( k là tham số)
CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của k sao cho 
Bài 20 Cho phương trình: (1) 
Giải phương trình (1) khi m=1
Giải phương trình (1) khi m bất kì (Tìm nghiệm theo m)
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 21 Cho phương trình: 
CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Phõ̀n 2 : PHƯƠNG TRÌNH QUY Vấ̀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương trình tích
a. Dạng tổng quỏt: A.B = 0 
b. Cỏch giải:
Để giải một phương trỡnh bậc lớn hơn 2 ( đối với học sinh cấp 2) thường dựng phương phỏp biến đổi về phương trỡnh tớch ở đú vế trỏi là tớch của nhõn tử cũn về phải bằng 0.Muốn vậy học sinh phải cú kĩ năng phõn tớch đa thức thành nhõn tử.
c. Vớ dụ:
*Vớ dụ 1( Bài 36, trang 56 SGK Toỏn 9):Giải cỏc phương trỡnh
a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0
b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0
Giải
a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0 
Vậy S = 
b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0
(2x2 + x – 4 + 2x - 1)(2x2 + x – 4 - 2x + 1) = 0
(2x2 +3x -5)(2x2 - x -3)= 0
giải (1)và (2) ta được x1 = 1; x2 = -2.5; x3 = -1; x4 = 1.5
Vậy S = 
*Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh:
 (a)
Chỳ ý hệ số ở vế trỏi, phõn tớch thành nhõn tử:
(a)
(b) 
Vậy phương trỡnh (a) cú 3 nghiệm: x1= -1; x2= -2; x3= 
d. Nhận xột:
-Giải phương trỡnh đưa về dạng tớch chủ yếu dựng phộp phõn tớch đa thức thành nhõn tử để đưa phương trỡnh về dạng phương trỡnh tớch ta sẽ được một phương trỡnh mà vế trỏi gồm cỏc phương trỡnh bậc nhất, phương trỡnh bậc hai đó biết cỏch giải.
- Chỳ ý tới hai tớnh chất của phương trỡnh bậc 3: ax+ bx+ cx+ d= 0
Nếu a+ b+ c + d = 0 thỡ phương trỡnh cú một nghiệm x=1
Nếu a – b + c – d = 0thỡ phương trỡnh cú một nghiệm x= -1.
Khi đó nhận biết được nghiệm, ta phõn tớch được vế trỏi của phương trỡnh thành nhõn tử.
Phương trỡnh bậc 3 cú cỏc hệ số nguyờn. Nếu cú nghiệm nguyờn thỡ nghiệm nguyờn đú phải là bội số của hạng tử tự do ( Định lớ về sự tồn tại của nghiệm nguyờn của phương trỡnh với hệ số nguyờn)
2. Phương trình bọ̃c cao
 2.a. Phương trỡnh trựng phương
1. Định nghĩa: Phương trỡnh trựng phương là phương trỡnh cú dạng