Chuyên đề Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng

A – NGUYÊN HÀM
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Định nghĩa:
 với 
VD 01:	
	Tương tự ta có nhiều ví dụ khác nữa
Các tính chất của nguyên hàm:
Tính chất 1:
Tính chất 2:
Tính chất 3:
 VD 02:	
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
2. Nguyên hàm một số hàm thường gặp
Bảng 1:
Với 
Với 
VD 03:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 	
g) 	h) 	i) 	
j) 	k) 	l) 	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
Bảng 2:
VD 04:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
Bảng 3:
VD 05:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
k)	l)	m)	
n)	o)	p)	
q)	r)	s)	
II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Một số kết quả thường gặp khi tính nguyên hàm
	Nếu thì 
2. Các phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến:
Bước 1: Đặt , ta được 
Bước 2: Tính nguyên hàm theo biến t.
Bước 3: Thay để được kết quả theo biến x.
VD 06: 
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
b) Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:
Đặt 	
Khi đó: 
VD 07:	
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	l)	
LUYỆN TẬP
Phương Pháp: nguyên hàm hữu tỉ 
Ø Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì ta chia P(x) cho Q(x)
Ø Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x):
1) Tính các nguyên hàm sau:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
2) Tính:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
3) Tính các nguyên hàm sau:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
4) Tính:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
5) Tính các nguyên hàm sau:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r) 
s)	 và . Tính I, J
6) Tính nguyên hàm các hàm số sau:
a)	b)	c)	
d)	e)	f) 
B – TÍCH PHÂN
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa và tính chất cơ bản
	Mọi tính chất đã học của nguyên hàm ở trên đều sử dụng được cho tích phân. Ok! J
Định nghĩa:	
VD 08:
a)	
b)	
c)	
Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1
Tính chất 2
Tính chất 3
VD 09:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i) 
II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến dạng 1
	Bước 1:	Đặt , ta được 
	Bước 2:	Đổi cận 	
	Bước 3:	Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t.
	Tính tích phân trên theo định nghĩa.
VD 10:	
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
2. Phương pháp đổi biến dạng 2
	Bước 1:	Đặt , ta được 
	Bước 2:	Đổi cận 	
	Bước 3:	Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t.
	Tính tích phân trên theo định nghĩa.
VD 11:	
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
3. Phương pháp tích phân từng phần
Đặt 	
Khi đó: 
VD 12:	
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
LUYỆN TẬP
Phương pháp:	Tích phân hàm hữu tỉ	
Ø Nếu P(x) có bậc lớn hơn Q(x): chia P(x) cho Q(x) ta được 
Ø Nếu P(x) có bậc nhỏ hơn Q(x): tương tự với việc ta tính 
+ Xét (có bậc 2) thì 
	TH 1: (x1, x2 là hai nghiệm của Q(x) = 0)
	 với 
	TH 2: (xo là nghiệm kép của Q(x) = 0)
	TH 3: Q(x) = 0 vô nghiệm, ta phân tích để và khi đó:
	Trường hợp 3 này ta sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2.
+ Xét ( có bậc 3) thì 
	TH 1: 
	TH 2: 
	TH 3: 
	TH 4: 
+ Xét Q(x) là hàm có bậc lớn hơn 3 thì bài toán chỉ xét với dạng đơn giản.
1) Tính các tích phân sau
a)	b)	c) 
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	, đặt 	k)	l)	
m)	n)	o) 	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
v)	w)	x)	
y)	z)	
Phương pháp: Tích phân hàm lượng giác
Ø Biến đổi về tích phân cơ bản (sử dụng các công thức lượng giác)
Ø Đổi biến số
	+ Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác (PP đổi biến số)
	+ Đổi biến số theo chu kì của hàm lượng giác. Quy tắc chung: Đặt 
	(Tích phân đặc biệt – các hằng đẳng thức tích phân)
	+ Đổi biến qua . Khi đó:	
	Tích phân lượng giác tổng quát: , ta biến đổi
Ø Sử dụng công thức tích phân từng phần
Chú ý các công thức lượng giác:
2) Tính (biến đổi về tích phân cơ bản)
a)	b) 	c)	
d)	e)	f) 
g)	h)	i)	đổi sin ra cos
j)	k)	 và 
3) Tính (đổi biến hữu tỉ hóa tích phân lượng giác)
a)	b)	c)	
d)	e)	f) 
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	
4) Tính (đổi biến qua )
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	
5) Tính (sử dụng công thức tích phân từng phần)
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
Phương pháp: 	Tích phân hàm vô tỉ (chứa căn thức)
Ø Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ
	Sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1
	Đặt , (phép thế Ơle)
Ø Đưa tích phân vô tỉ về tích phân lượng giác (Phương pháp đổi biến dạng 2)
	Đặt 
	Đặt hoặc 
	Đặt hoặc 
Ø Sử dụng tích phân từng phần
	Sử dụng tích phân từng phần
6) Tính các tích phân sau (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ)
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
v)	x)	
7) Tính (Lượng giác hóa tích phân vô tỉ)
a)	b)	c) , đặt 
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	, đặt 	u)	
8) Tính (sử dụng tích phân từng phần)
a)	b)	
Phương pháp: Tích phân hàm siêu việt (mũ – logarit)
Ø Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ
Ø Sử dụng tích phân từng phần
9) Tính (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ)
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	, đặt t=-x rồi sử dụng phép truy hồi
r)	s)	t)	
u)	v)	w)	
x)	y)	z)	
10) Tính (sử dụng tích phân từng phần)
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
v)	w)	x)	
y)	z)	
Phương pháp: Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối 
	Được ứng dụng nhiều trong các bài toán tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể
Bước 1: xét dấu biểu thức chứa trị tuyệt đối trên các đoạn
Bước 2: Chia đoạn , , ,
Bước 3: Tính 
11) Tính
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	
Phương pháp: Tích phân đặc biệt – Các hằng đẳng thức tích phân
Ø liên tục trên , khi đó 
Ø liên tục, chẵn trên , khi đó , đặt 
Ø liên tục trên , khi đó 
Ø liên tục trên , khi đó:
	 , đặt 
	, đặt 
Chú ý:	đặt 
	, m, n là các số nguyên dương
	, liên tục
	 với 
12) Tính
a)	b)	c)	
13) Tính
a) 	b)	c)	
14) Tính
a)	b)	c)	, đặt 
15) Tính
a) 	b)	c)	
d)	e)	f)	
C - ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP
D – ÔN TẬP
1) Tính các nguyên hàm sau:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
v)	w)	x)	
y)	z)	
2) Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	
3) Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
v)	w)	x)	
4) Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác hãy tính:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
5) Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau:
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
v)	w)	x)	
y)	z)	
6) Tính các tích phân hữu tỉ
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
v)	w)	
7) Tính các tích phân hàm vô tỉ
a)	b)	c)	
8) Tính các tích phân hàm vô tỉ và trị tuyệt đối
a)	b)	c)	
9) Tính các tích phân hàm lượng giác
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
v)	w)	x)	
y)	
10) Tính các tích phân hàm siêu việt
a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	i)	
j)	k)	l)	
m)	n)	o)	
p)	q)	r)	
s)	t)	u)	
11) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 2 và các tích phân đăc biệt
12) Ứng dụng của tích phân
	Tính diện tích các phẳng giới hạn bởi
	Tính thể tích các khối giới hạn bởi
13) Tính (đề thi TN, THCN) bao gồm cả các bài ứng dụng
14) Tính (đề thi ĐH CĐ 2000 – 2004) bao gồm cả các bài ứng dụng
15) Tính (đề thi ĐH CĐ 2004 – 2010) bao gồm cả các bài ứng dụng