Chuyên đề Hình học 11: Khoảng cách và thể tích khối đa diện

Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 1 
ÔN TẬP KIẾN THỨC 
LỚP 8-9-10 
A. MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
Cho tam giác ABC, BC=a: cạnh huyền, AB, AC là 2 cạnh góc vuông, AB=c, AC=b. Đường cao AH=h, BH=c’, CH=b’. Trung 
tuyến AM. 
1. Định lí Py-ta-go: 
2 2 2
BC AB AC  
2. 
2 2
. '. , . '.AB BH BC c a AC CH BC b a    
3. . .AB AC AH BC 
4. 
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
  
5. BC=2AM 
6. sin , cos , tan , cot
AC AB AC AB
B B B B
BC BC AB AC
    
7. .sin , .sin , sin cosb a B c a C B C   
B. MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 
1. Định lý hàm số sin: 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
   
2. Định lý hàm số cosin: 
2 2 2
2 . cosa b c bc A   
C. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH 
1. Tam giác thường: 
1 1
. .sin . ( )( )( ) , 
2 2 4 2
abc a b c
S a h ab C p r p p a p b p c p
R
 
         
2. Tam giác vuông tại A: 
1
.
2
S AB AC , tam giác đều cạnh a: 
2
3
4
a
S  
3. Hình vuông ABCD: S= AB.AD 
4. Hình chữ nhật ABCD: S= AB.AD 
5. Hình thoi ABCD: S= AC.BD/2 
6. Hình thang ABCD(AB//CD): S= h(AB+CD)/2, h là chiều cao hình thang. 
7. Hình bình hành: Đáy x chiều cao 
8. Tứ giác thường ABCD: 
1
. .sin( , )
2
S AC BD AC BD 9. Hình tròn: 
2
.S R 
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 2 
D. CHÚ Ý 
1. Đường cao tam giác, đường trung tuyến tam giác, đường phân giác, đường trung trực 
2. Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác. 
LỚP 11: 
A. QUAN HỆ SONG SONG 
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng: / /( ) ( )a P a P    
 a. 
( )
/ / / /( )
( )
d P
d a d P
a P







, b. 
/ /( )
( ) / /
( ) ( )
a P
a Q d a
P Q d
 
 




, c. 
( ) ( )
/ /( ) / /
/ /( )
P Q d
a P a d
a Q
 





2. Hai mặt phẳng song song: ( ) / /( ) ( ) ( )P Q P Q    
 a. 
, ( )
( ) / /( )
/ /( ), / /( )
a b P
a b I Q P
a Q b Q

  




, b. 
( ) / /( )
/ /( )
( )
P Q
a Q
a P





, c. 
( ) / /( )
( ) ( ) / /
( ) ( )
P Q
R P a a b
R Q b
  
 




B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 
1. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng: ( ) , ( )a P a c c P     
 a. 
, ( )
( )
,
a b P
a b I d P
d a d b

   
 




, 
 b. 
( )
'
( )
d P
d a d a
a P

   




,(ĐL 3 đường vuông góc- d’ là hình chiếu của d trên (P)). 
2. Hai mặt phẳng vuông góc: ( ) ( ) ( , ) 90P Q P Q   

 a. 
( )
( ) ( )
( )
a P
P Q
a Q

 




, b. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q d a Q
a P a d

   
 




, 
 c. 
( ) ( )
( )
( )
( )
P Q
A P
a P
A a
a Q


 







, d. 
( ) ( )
( )
( ), ( ) ( )
P Q a
a R
P Q R
 
 




Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 3 
 C. KHOẢNG CÁCH 
1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, 1 mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên 
đường thẳng, mặt phẳng. 
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường thẳng đến mặt 
phẳng. 
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 
4. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là đoạn vuông góc chung. 
 D. GÓC 
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua 1 điểm, a’//a, b’//b. 
2. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P), a không vuông góc với (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên 
(P). 
3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó hoặc góc giữa 
hai đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc giao tuyến tại 1 điểm. 
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích hình (H) trên mp(P), S’ là diện tích hình chiếu (H’) của hình (H) trên 
mp(P’) khi đó: ' . osS S c  , ( , ')P P   . 
LỚP 12: 
 A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
1. Thể tích khối lăng trụ: V=B.h 
2. Thể tích khối hộp chữ nhật: V abc 
 3. Thể tích khối lập phương cạnh a: 
3
V a 
4. Thể tích khối chóp: 
1
.
3
V B h 
5. Tỉ số thể tích: Tứ diện SABC, A’, B’, C’ là các điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: 
' ' '' ' '
V SA SB SCSABC
V SA SB SCSA B C
 
 B. CHÚ Ý: 
1. Đường chéo của hình vuông cạnh a là 2a 
2. Đường chéo của hình lập phương cạnh a là 3a 
3. Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là 
2 2 2
a b c  
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 4 
4. Trong tam giác đều cạnh a đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác có độ dài là 
3
2
a
, các đường này 
xuất phát từ 1 đỉnh là trùng nhau. Nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác là trùng 
nhau, (chú ý đường trung trực). 
5. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhau. Hình chiếu của đỉnh hình chóp 
chính là tâm của đáy, đối với đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm, đáy là tứ giác thì tâm là giao 2 đường chéo. 
6. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng, đáy là đa giác đều. 
CÁC LOẠI BÀI TẬP 
 A- HÌNH VẼ TRONG KHÔNG GIAN 
Quan trọng bậc nhất đối với việc vẽ 1 hình không gian là xác định đúng đường cao (hay chân đường cao) 
I. Hình chóp 
1. Hình chóp có 1 cạnh vuông góc đáy thì cạnh đó là đường cao 
2. Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc đáy thì đường cao là đường kẻ từ đỉnh hình chóp và vuông góc với giao 
tuyến của mặt bên đó với mặt đáy. 
3. Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt đó. 
4. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao 
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Trong trường hợp đáy là tam giác tâm là giao 3 đường trung trực. 
5. Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy. Trong 
trường hợp đáy là tam giác thì tâm là giao 3 đường phân giác. 
6. Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy 1 góc thì chân đường cao nằm trên đường phân giác của góc 
tạo bởi 2 giao tuyến của hai mặt bên với đáy. 
7. Hình chóp có hai cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy 1 góc thì chân đường cao thuộc đường trung trực 
của đoạn thẳng nối 2 giao điểm của hai cạnh bên nói trên với đáy. 
II. Hình lăng trụ 
1. Nếu là lăng trụ đứng thì đường cao là cạnh bên 
2. Nếu là lăng trụ xiên thì đường cao là đường hạ từ 1 đỉnh của mặt này đến mặt kia nên giống như đường cao của 
hình chóp. 
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 5 
III. Chú ý 
1. Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau đáy là đa giác đều. Hiển nhiên chân đường cao trùng 
tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. 
2. Hình chóp có đáy là đa giác đều thì đáy là đa giác đều, các cạnh bên chưa chắc bằng nhau. 
3. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. 
4. Lăng trụ có đáy là đa giác đều thì chưa chắc là lăng trụ đứng. 
B- KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 
Bài toán 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng 
Các bước xác định khoảng cách từ điểm A đến (P): 
Bước 1: Xác định mp(Q) chứa A, ( ) ( )Q P , ( ) ( )Q P d  
Bước 2: Kẻ đường cao AH d , H d ( ) ( ,( ))AH P d AHA P    
Bước 3: Tính AH. 
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy, SA=3a, AB=a, 60ABC 

. Tính   ,A SBCd 
Giải: 
Trong tam giác ABC ta dựng đường cao AK, nối SK 
Do AK là hình chiếu vuông góc của SK lên (ABC) và AK  BC 
 theo định lý 3 đường vuông góc SK  BC BC (SAK) 
Kẻ AH  SK tại H (1) 
Mà BC (SAK)  BC AH (2) 
Từ (1) và (2) AH  (SBC)  ( , )d A SBC AH 
Tính AH? 
Nhận xét thấy tam giác SAK vuông tại A, AH là đường cao nên ta có: 
2 2 2
1 1 1
AH AS AK
  
SA đã có nên ta chỉ cần tính AK. 
Xét tam giác ABK vuông tại K, 
3
sin .sin .sin 60
2
AK a
B AK AB B a
AB
    

Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 6 
2
2
2 2 2 2 2
1 1 4 1 13 9 3 13
9 3 9 13 13
3 13
( , )
13
a a
AH AH
AH a a AH a
a
d A SBC
        
 
Bài tương tự 
1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc đáy, SA=2a, AC=a, 120ACB   . Tính   ,A SBCd 
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng 
vuông góc đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 . Tính   H, SCDd biết H là trung điểm AB. 
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, góc giữa SB và mặt đáy bằng 30 góc giữa 
SD và mặt đáy bằng 60 biết SA a . Tính         , , ,, ,A SBC A SDC A SBDd d d 
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, 2 2 2  AD AB BC a , SA vuông góc đáy. Tính 
khoảng cách từ A đến (SCD) biết góc giữa SC và đáy bằng 60 
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA=SC, SB=SD=2a. Tính khoảng cách từ O đến (SCD) biết O là 
tâm của đáy và góc giữa mặt (SAD) và đáy bằng 60 
KỸ THUẬT DỜI ĐIỂM 
1. Dời điểm song song: Yêu cầu cần tính ?( ,( ))d M P  Trong đó  ,( )A Pd k . Ở đây MA//(P) ( ,( )) ( ,( ))d d kM P A P   
2. Dời điểm cắt nhau: Yêu cầu cần tính ?( ,( ))d M P  Trong đó  ,( )A Pd k . 
Ở đây  MA P I  ( ,( ))
( ,( ))
d IMM P
d IAA P
  (Tự CM) 
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc đáy, ABCD là hình chữ nhật, SA=a, góc giữa SB, SD và mặt đáy lần lượt 
là 30 , 60 . 
 a. Tính khoảng cách từ D đến (SBC) 
 b. Tính khoảng cách từ B đến (SCD) 
Giải 
Ta có AB, AD lần lượt là hình chiếu của SB, SD lên mặt đáy nên 
    
    
, , 30
, , 60
SB ABCD SB AB SBA
SD ABCD SD AD SDA
     
     


a. Tính khoảng cách từ D đến (SBC) 
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 7 
Có        D, ,/ / / / SBC A SBCAD BC AD SBC d d   
Do AB BC SB BC   (định lí 3 đường vuông góc) 
 BC SAB  
Kẻ AH vuông góc SB tại H (1) 
Mà  BC SAB BC AH   (2) 
Từ (1) và (2) suy ra  AH SBC 
Xét tam giác AHS vuông tại H có 
3
sinS .sinS sin 60
2
AH a
AH AS a
AS
     
     D, ,
3
2SBC A SBC
a
d d   
b. Tính khoảng cách từ B đến (SCD) 
Có        B, ,/ / D / / SDC A SDCAB C AB SDC d d   
Do AD DC SD DC   (định lí 3 đường vuông góc)  DC SAD  
Kẻ AK vuông góc SD tại K (3) 
Mà  DC SAD DC AK   (4) 
Từ (3) và (4) suy ra  AK SDC 
Xét tam giác AKS vuông tại K có sinS .sinS sin 30
2
AK a
AK AS a
AS
          B, , 2SDC A SDC
a
d d   
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, E là trung điểm BC. Góc giữa SC và mặt 
đáy bằng 60 . Tính khoảng cách từ E đến (SCD). 
Giải 
Do AC là hình chiếu của SC trên mặt đáy nên 
    , , 60SC ABCD SC AC SCA       
Ta đã biết cách tính khoảng cách từ chân đường 
vuông góc A đến mặt (SCD). Vậy ta sẽ rời điểm E về A 
như sau 
Có  AE CD I AE SCD I    
  
  
,
,
E SCD
A SCD
d EI
d AI
  
Dễ dàng tính được 
1
2
EI
AI
 
Vấn đề còn lại là rất quen thuộc, đó là tính khoảng cách 
từ A đến (SCD) 
Có AH CD SD CD   (định lí 3 đường vuông góc) 
 CD SAD  
Kẻ AH SD tại H (1) 
Mà  CD SAD CD AH  (2) 
Từ (1), (2) suy ra     ,A SCDAH SCD d AH   
Tính AH= ? 
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 8 
Xét tam giác SAD vuông tại A có 
2 2 2
1 1 1
AH AS AD
  (*) 
Xét tam giác SAC vuông tại A có tan . tan 2 tan 60 6
SA
C SA AC C a a
AC
     
2
2
2 2 2 2
1 1 1 7 6 42
7 76 6
a a
AH AH
AH a a a
        
  
     
,
, ,
42
7
1 42
2 14
A SCD
E SCD A SCD
a
d
a
d d
 
  
Ví dụ 3. D-2011. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a, (SBC) vuông góc mặt đáy. 
 Biết SB=
  
3
,
2 , 30 , ?
B SAC
a SBC d  

Giải: 
Nhận xét: Ta thấy (SBC)  (ABC) có giao tuyến là BC nên ta kẻ SH vuông góc BC 
 SH (ABC). Nếu ycbt là tính khoảng cách từ H đến (SAC) thì 
ta dễ dàng thực hiện tương tự phần trước. Vì vậy ta sẽ sử dụng kĩ 
thuật rời điểm mà ta nói ở trên. Rõ ràng BH cắt (SAC) tại C nên 
ta sử dụng kĩ thuật rời điểm cắt nhau. 
Vậy ta có: 
  
  
,
,
d
B SAC BC
d HC
H SAC
 
Trong tam giác vuông SHB ta có: cos .cos 2 3. os30 3
BH
B BH SB B a c a
SB
    

4 3CH BC BH a a a       4
CB
CH
 
Ta tính khoảng cách từ H đến (SAC). 
Kẻ HM  AC  SM AC (Định lí 3 đường vuông góc) 
 AC (SHM) 
Kẻ HK  SM tại K (1) 
Do AC (SHM) nên AC HK (2) 
Từ (1) và (2) suy ra HK  (SAC) ( , )d H SAC HK 
Lại có: 
2 2 2 2 2 2 2 2
12 9 3, AC= 16 9 5SH SB BH a a a BA BC a a a         
. 3 . 3
~ 
5 5
CH MH AB CH a a a
CMH CBA MH
CA BA AC a
        
1 1 1 1 1 25 28 3 7
2 2 2 2 2 2 2 143 9 9
       
a
HK
HK HS HM HK a a a
3 7 3 7 6 7
( , ) ( , ) 4.
14 14 7
    
a a a
d H SAC d B SAC 
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 9 
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA vuông góc đáy, AB=BC=a, AD=2a và 
góc giữa SC với mặt đáy bằng 60 . Tính 
a. Khoảng cách từ A đến (SCD) 
b. Khoảng cách từ B đến (SCD) 
Giải 
Có AC là hình chiếu của SC trên mặt đáy nên 
    , , 60SC ABCD SC AC SCA       
a. Khoảng cách từ A đến (SCD) 
Gọi I là trung điểm AD nên ta có IA=ID=IC=a. Vậy tam giác ACD nội tiếp 
đường tròn tâm I đường kính AD. Vậy AC CD SC CD   (định lí ) 
 CD SAC  
Kẻ AH vuông góc SC tại H (1) 
Mà  CD SAC CD AH   (2) 
Từ (1) và (2) suy ra     ,A SCDAH SCD d AH   
Xét tam giác AHC vuông tại H có 
sin .sin 60 2. 3 6
AH
C AH AC a a
AC
       , 6A SCDd a  
b. Tính khoảng cách từ B đến (SCD) 
Có  
  
  
,
,
B SCD
A SCD
d BE
BA CD E BA SCD E
d AE
       
Ta có EBC ~ EAD
1
2
EB BC
EA AD
        , ,
6
.
2B SCD A SCD
BE a
d d
AE
   
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao, tam giác ABC vuông tại A, AB=a, 2AC a , góc giữa SC và đáy bằng 
45 độ. G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ G đến (SBC) 
Giải 
Do AC là hình chiếu của SC trên (ABC) nên ta có 
    , , 45SC ABC SC AC SCA       
Vậy tam giác SAC vuông cân tại A 
Gọi N là trung điểm SB  AG SBC N    
  
,( )
,
1
3
G SBC
A SBC
d GN
d AN
   
Ta tính khoảng cách từ A đến (SBC) 
Kẻ AK vuông góc BC tại K suy ra SK cũng vuông góc BC (Định lý...) 
 BC SAK  
Kẻ AH vuông góc SK tại H (1) 
Mà  BC SAK BC AH   (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
  ,( ) A SBCAH SBC d AH   
Lại có tam giác SAK vuông tại A, tam giác ABC vuông tại A nên 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 2AH AS AK AS AB AC a a a a
        
2
2 2
2 2
a a
AH AH    
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 10 
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA là đường cao, 3SA a . 30 , 2ACD AC a   . 
Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến (SCD) 
Giải 
Cách 1. Rời điểm 1 lần 
Ta có      , , / /AG SAB SAB SCD d d AB   
Gọi  I AG d AG SCD I    
  
  
,
,
G SCD
A SCD
d GI
d AI
  
Có  ~ .GAN GIS g g  , N là trung điểm AB 
2
GI GS
GA GN
  
2
2
3
GI
GI GA
AI
    
Còn lại ta tính khoảng cách từ A đến (SCD) 
Kẻ AK vuông góc CD tại K suy ra SK cũng vuông góc CD (Định lý...)  CD SAK  
Kẻ AH vuông góc SK tại H (1) 
Mà  CD SAK CD AH   (2) 
Từ (1) và (2) suy ra   ,( ) A SCDAH SCD d AH   
Lại có tam giác SAK vuông tại A suy ra ta có: 
2 2 2
1 1 1
AH AS AK
  
Xét tam giác AKC vuông tại 
K
2
sin .sin 30
2
AK a
C AK AC
AC
    
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 7 21
73 3
a
AH
AH AS AK a a a
        
     , ,
2 2 21
.
3 21G SCD A SCD
a
d d   
Cách 2. Rời điểm 2 lần 
Gọi N là trung điểm AB, có  
  
  
     
,
, ,
,
2 2
.
3 3
G SCD
G SCD N SCD
N SCD
d GS
NG SCD S d d
d NS
       
Lại có AN//(SCD)
     , ,
21
7N SCD A SCD
a
d d AH    , (Tương tự cách 1) 
     , ,
2 2 21
.
3 21G SCD A SCD
a
d d   
Bài toán 2. khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
1. Đoạn vuông góc chung: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. M thuộc a, N thuộc b, MN vuông góc với cả a và b nên MN được 
gọi là đoạn vuông góc chung của a và b. 
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung. 
3. Cách xác định khoảng cách giữa hai đương thẳng chéo nhau a và b: 
Bước 1: Xác định (P) chứa b và (P)//a. 
Bước 2: Lấy A thuộc a sao cho dễ tính khoảng cách từ A đến (P) nhất ( , ) ( ,( )) ( ,( ))d d da b a P A P   
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 11 
Loại 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhưng vuông góc nhau 
KTCB. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, a vuông góc b khi đó ta xác định kc như sau 
Bước 1. Chứng minh a vuông góc 1 mp (P) chứa b tại H 
Bước 2. Từ H kẻ HK vuông góc b tại K 
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung 
Thật vậy, ta có HK vuông góc b mà HK nằm trong (P) 
Nên HK vuông góc a. 
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. 
Tính khoảng cách giữa 
a. SH và CD với H là trung điểm AB 
b. AD và SB 
Giải 
Do tam giác ABC đều nên SH AB . Lại có (SAB) vuông góc đáy nên 
 SH ABCD 
a. Có  SH ABCD tại H mà (ABCD) chứa CD nên từ H ta kẻ đường thẳng 
vuông góc CD tại I suy ra I là trung điểm CD (Do ABCD là hình vuông) 
Vậy ta có 
   
HI CD
HI SH vi SH ABCD


 
 ,SH CDd HI a   
b. Ta có 
   
AD AB
AD SH vi SH ABCD


 
 AD SAB  tại A 
Mà (SAB) chứa SB nên từ A ta kẻ AK vuông góc SB tại K suy ra K 
Là trung điểm SB (Do SAB là tam giác đều) 
Vậy ta có 
    ,
3
 AD 2AD SB
AK SB a
d AK
AK AD vi SAB

  
 
Ví dụ 2. A-2010. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. H là giao 
điểm cuả MD và NC, biết SH vuông góc đáy, SH= 3a . ?( , )d MD SC  
Giải: 
Trước tiên ta chứng minh MD  CN. Thật vậy, do DAM CDN   
nên 1 2C D   mà 90 901 2 1 1D D D C        
 
90CHD MD CN    

 
MD SH
MD SCN
MD CN

  

 tại H. 
Mà (SCN) chứa SC nên từ H kẻ HK vuông góc SC tại K 
    MD, SC
HK SC
d HK
HK MD vi MD SCN

  
 
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 12 
Lại có tam giác SHC vuông tại H(gt) 
2 2 2
1 1 1
HK HS HC
   (1) 
Trong tam giác vuông CDN có 
2 2
2 2 2 5 5
2 4 2
a a a
CN CD DN a     
 
 
 
Mà 
2 2
2 2 5
~
55
CH CD CD a a
CHD CDN CH
CD CN CN a
        
2 2 2 2
1 1 5 19 2 57
(1)
3 4 12 19
a
HK
HK a a a
      
Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc 
KTCB. Tìm một mặt phẳng (P) chứa b và (P)//a     , ,a b a Pd d  
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD=2AB=2a. Hình chiếu vuông góc H của S nằm trên AB 
sao cho HA=3HB, góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách giữa AB và SC 
Giải 
Do HC là hình chiếu của SC nên ta có     , , 60SC ABCD SC HC SCH