Chuyên đề: Hàm số liên tục - Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 1 
Chủ đề 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC 
A. To ́m tă ́t ly ́ thuyết 
1) Hàm số liên tục tại một điểm 
 Hàm số liên tục: Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và 0 ( ; )x a b . 
Hàm số f(x) liên tục tại x0 
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x

  
 Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0 
2) Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn: 
 Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b). f(x) liên tục trên khoảng (a;b) 
khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b). 
 Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng [a;b]. f(x) liên tục trên khoảng [a;b] 
khi và chỉ khi f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và 
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
  
  
Chú ý: 
 +,-,*,/ các hàm liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó. 
 Hàm sơ cấp: đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên từng khoảng 
xác định của chúng. 
3) Tính chất của hàm số liên tục 
 Định lí: Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và ( ) ( )f a f b M nằm giữa f(a), 
f(b), ( ; ) : ( )c a b f c M   
 Hệ quả: Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và ( ). ( ) 0f a f b   ( ; ) : ( ) 0c a b f c   
Nhận xét: 
 Dùng hệ quả để chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất nghiệm trên 
(a;b). 
 Đồ thị hàm số liên tục là đường liền nét 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 2 
B. PHƯƠNG PHÁP GIA ̉I TOÁN 
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, khoảng, đoạn 
Phương pháp : 
Phương pháp 1: 
Hàm số  y f x liên tục ta ̣i 0x x nê ́u    0lim
ox x
f x f x

 
Phương pháp 2: 
Hàm số  y f x liên tục ta ̣i 0x x nê ́u    lim lim
o ox x x x
f x f x
  
 
Sử du ̣ng thêm các phương pha ́p khử da ̣ng vô đi ̣nh đa ̃ học ở phâ ̀n trước. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Xe ́t ha ̀m số 

  
  
  
x
x
f x x
x
3
, 1
( ) 1
2 , 1
 : 
  Tập xác định D = R \ {1} 
  Với  x 1;1  hàm số xf x
x
3
( )
1



 xác định nên liên tục. 
  Xét tại x = 1  D nên hàm số không liên tục tại x = 1 
  Xét tại x = –1 
Bài tập mẫu 1: Xét tính liên tục của hàm số 
x
xf x x
x
3
, 1( ) 1
2 , 1
 
    
  
trên tập xác định cu ̉a ha ̀m số. 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 3 
    
x x
x
f x f
x2 2
3
lim lim 1 1 2
1 

     
 
 Nên hàm số không liên tục tại x = –1 
Hướng dâ ̃n gia ̉i
  Hàm số liên tục với mọi x  3. 
  Tại x = 3, ta có: 
 + f (3) 7 
 + 
x x
f x x
3 3
lim ( ) lim (2 1) 7
  
   
+ 
x x x
x x
f x x
x3 3 3
( 2)( 3)
lim ( ) lim lim ( 2) 1
( 3)    
 
   

  Hàm số không liên tục tại x = 3. 
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng ( ;3), (3; )  . 
Bài tập mẫu 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định 
của nó: 
x x
khi xf x x
x khi x
2 5 6
3( ) 3
2 1 3
     
  
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 4 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
  Khi x 2  ta có 
x x
f x x
x
( 1)( 2)
( ) 1
2
 
  

Từ đây suy ra: f(x) liên tục tại x 2   
  Tại x 2  ta có: 
x x x
f f x x f f x
2 2 2
( 2) 3, lim ( ) lim ( 1) 1 ( 2) lim ( )
  
         
 Từ đây suy ra: f(x) không liên tục tại x = –2. 
 Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( ; 2), ( 2; )    . 
Hướng dẫn giải 
Ta có tập xác định của hàm số là D = R 
 a. Khi m = 3 ta có 
Bài tập mẫu 4: Cho hàm số 
x x
khi x
f x x
m khi x
2 2
 2
( ) 2
 2 
  
 
  
 
. 
a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3 
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ? 
Bài tập mẫu 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định 
của nó: 
x x
 khi xf x x
 khi x 
2 3 2
2( ) 2
3 2
      
  
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 5 
x x
x khi xkhi xf x x khi x
khi x
( 1)( 2)
1, 2, 2( ) 2 3 , 2
3 , 2
  
       
Từ đây suy ra: f(x) liên tục tại mọi x  2. 
 b. Tại x = 2 ta có: f(2) = 3; f x x
x x
lim ( ) lim ( 1) 3
2 2
  
 
  f(x) liên tục tại x = 2. 
 Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
  Tập xác định: D = R. 
  Tại 
x x
x f x x
x
( 1)( 2)
2 ( ) 1
2
 
     

  f x( ) liên tục tại x  –2. 
  Tại x = –2 ta có 
x x
f f x x f
2 2
( 2) 3, lim ( ) lim ( 1) 1 ( 2)
 
        
Từ đây suy ra: f x( ) không liên tục tại x = –2. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Bài tập mẫu 6: Xét tính liên tục của hàm số 
x
khi x
f x x
x khi x
24
2
( ) 2 2
2 20 2
 
 
   
  
 tại điểm x = 2. 
Bài tập mẫu 5: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định 
của nó: 
x x
 khi xf x x
 khi x
2 3 2
2( ) 2
3 2
      
  
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 6 
Ta co ́: f(2) = –16 
Mặt khác:    

  

  
 

               

x
x x x
f x
x x x
f x x x
x
2
2 2 2
lim ( ) 16
(2 )(2 ) 2 2
lim ( ) lim lim ( 2) 2 2 16
2
Vậy hàm số liên tục tại x = 2 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta co ́: Tập xác định D = R. 
Tính được f(2) = 
3
2
Mặt khác: x x
x x
f x
x
2
2 2
2 3 2
lim ( ) lim
2 4 
 

 x
x x
x2
( 2)(2 1)
lim
2( 2)
 

 x
x
2
2 1 5
lim
2 2

  
Kết luận hàm số không liên tục tại x = 2. 
Bài tập mẫu 8: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 1 : 
x x
khi xf x x
khi x
22 3 1
1( ) 2 2
2 1
     
 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Bài tập mẫu 7: Xe ́t tính liên tục cu ̉a ha ̀m số 
x x
khi x
xf x
khi x
22 3 2
2
2 4( )
3
2
2
  
  
 

Ta ̣i điê ̉m 2x  
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 7 
Ta co ́: f(1) = 2 
Mặt khác: 
x x
x x
f x
x
2
1 1
2 3 1
lim ( ) lim
2( 1) 
 


 = 
x x
x x x
x1 1
( 1)(2 1) 2 1
lim lim
2( 1) 2 
  


 = 
1
2
Kết luận hàm số liên tục tại x = 1 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta co ́: f (1) 5 (1) 
Mặt khác: x x x
x x
f x x
x1 1 1
3 ² 2 1
lim ( ) lim lim(3 1) 4
1    
 
   

 (2) 
Hơn nữa: x x
f x x
1 1
lim ( ) lim(2 3) 5
  
   (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra hàm số không liên tục tại x = 1 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta co ́: 
x x x
x
f x
x x x2 2 2
2( 2) 2
lim ( ) lim lim 2
( 1)( 2) 1  

  
  
 (1) 
Bài tập mẫu 10: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 2 : 
x
khi xf x x x
khi x
2( 2)
2( ) ² 3 2
2 2
 
    
 
Bài tập mẫu 9: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 1 : 
x x
khi xf x x
x khi x
3 ² 2 1
1( ) 1
2 3 1
  
   
  
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 8 
Mặt khác: f(2) = 2 (2) 
Từ (1) và (2) ta suy ra f(x) liên tục tại x = 2 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta co ́ : x x
x x
f x
x
2
1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim
1 
 

 x
x2
1
lim( 2) 3

   
Mặt khác: f(1) = 4 
Từ đây suy ra: hàm số không liên tục tại x = 1 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta có: 
     
1 1
lim lim 1 1 2
x x
f x x f
  
    
Mặt khác: 
  21 1
1 1
lim lim
23x x
f x
x x  
  

f x( ) không liên tục tại x =1 
Bài tập mẫu 12: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 1 : 
x khi x
f x
khi x
x x
1 1
( ) 1
1
² 3
  

 
 
Bài tập mẫu 11: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 1 : 
x x x
khi xf x x
khi x
³ ² 2 2
1( ) 1
4 1
   
   
 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 9 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta có :  
x x x
x
f x
xx x2 2 2
2(2 ) 2
lim ( ) lim lim 1
1 2 3(2 ) 1 2 3  

  
    
Mặt khác: f(2) =1 
Vậy hàm số liên tục tại x = 2 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta co ́: 
x x
f x x f
3 3
lim ( ) lim(2 1) (3) 7
  
    
Mặt khác: 
x x x
x x
f x x
x
2
3 3 3
5 6
lim ( ) lim lim( 2) 1
3    
 
   

Từ đây suy ra: 
Hàm số không liên tục tại x = 3, hay no ́i ca ́ch kha ́c ha ̀m sô ́ bị gia ́n đoa ̣n ta ̣i 3x  
Bài tập mẫu 14: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 3 : 
x x
khi xf x x
x khi x
2 5 6
3( ) 3
2 1 3
     
  
Bài tập mẫu 13: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 2 : 
x
khi xf x x
khi x
1 2 3
2( ) 2
1 2
     
 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 10 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta có : 
 
x x x
x x x
f x
x5 5 5
( 5) 2 1 3 2 1 3
lim ( ) lim lim 3
2( 5) 2  
    
  

Mặt khác: 
  
5
(5) 3 lim ( ) (5)
x
f f x f 
Từ đây suy ra: hàm số liên tục tại x = 5 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta co ́: x x x
x
f x
xx23 3 3
3 1 1
lim ( ) lim lim
3 6³    

  

Mặt khác: 
x x
f x f
x3 3
1 1
lim ( ) lim (3)
612
  
   
Từ đây suy ra: f x( ) liên tục tại x = 3 
Bài tập mẫu 16: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 3: 
x
khi x
xf x
khi x
x
2
3
3
³( )
1
3
12
 
  
 

Bài tập mẫu 15: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 5 : 
x
khi x
f x x
khi x
5
5
( ) 2 1 3
3 5
 

   
 
. 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 11 
Da ̣ng 2: Xác định tham sô ́ đê ̉ hàm số liên tu ̣c trên khoảng, đoa ̣n 
Phương pháp : 
Phương pháp 1: 
Hàm số  y f x liên tục ta ̣i 0x x nê ́u    0lim
ox x
f x f x

 
Phương pháp 2: 
Hàm số  y f x liên tục ta ̣i 0x x nê ́u    lim lim
o ox x x x
f x f x
  
 
Sử dụng thêm ca ́c phương pha ́p khử da ̣ng vô định đa ̃ học ở phâ ̀n trước. 
Hướng dẫn giải 
 Khi x 1 ta có 
x
f x x x
x
3
21( ) 1
1

   

Từ đây suy ra: f(x) liên tục x 1  . 
Khi x = 1, ta có: 
x x
f m
f x x x2
1 1
(1) 2 1
lim ( ) lim( 1) 3
 
  
   

  f(x) liên tục tại x = 1 
 
x
f f x m m
1
(1) lim ( ) 2 1 3 1

      
Vậy: f(x) liên tục trên  khi m = 1. 
Bài tập mẫu 1: Cho hàm số f(x) = 
x
khi xf x x
m khi x
3 1
1( ) 1
2 1 1
    
  
. 
Xác định m để hàm số liên tục trên  . 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 12 
Hướng dẫn giải 
 Ta có:  f a
1
(2) 2
4
  
Mă ̣t kha ́c: 
 
 
  
 
  
  
      
   
  
     
x x
x x x
f x ax a
x x
f x
x x x x
2 2
3
22 2 2 3 3
1 1
lim ( ) lim 2
4 4
3 2 2 3( 2) 1
lim ( ) lim lim
2 4( 2) (3 2) 2 (3 2) 4
Từ đây suy ra: Hàm số liên tục tại x = 2 
x x
f f x f x
2 2
(2) lim ( ) lim ( )
  
   a a
1 1
2 0
4 4
    
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta có:  f a(1) 3 
Mă ̣t kha ́c: 
x x
f x ax a
1 1
lim ( ) lim 3 3
  
  
Bài tập mẫu 3: Cho hàm số: 
x
 khi x
f x x
ax khi x
1
1
( ) 1
3 1
 
 
  
 
. 
 Xác định gia ́ trị của tham số a để hàm số liên tục tại điểm x = 1. 
Bài tập mẫu 2: Cho hàm số: 
x
 khi x >2 
xf x
ax khi x 2
3 3 2 2
2( )
1
4
  
  
  

. 
Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2. 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 13 
La ̣i co ́: 
x x x
x
f x
x x1 1 1
1 1 1
lim ( ) lim lim
1 21    

  
 
Hàm số liên tục tại x = 1  
x x
f f x f x
1 1
(1) lim ( ) lim ( )
  
   a a
1 1
3
2 6
   
Hướng dẫn giải 
Ta có biến đổi: 
x
khi x
x xf x
A khi x
2
2 1 1
22 3 1( )
1
2
 
    
  

 = 
khi x
x
A khi x
1 1
1 2
1
2

  
  

Tại x
1
2
  ta có: f A
1
2
 
  
 
, 
x
x1
2
1
lim 2
1



Hàm sô ́ f x( ) liên tục tại x
1
2
   
x
f A
x1
2
1 1
lim 2
2 1

 
    
 
Bài tập mẫu 5: Cho hàm số 
x x khi xf x
ax khi x
2 1( )
1 1
   
 
. 
Hãy tìm a để f x( ) liên tục tại x = 1 
Bài tập mẫu 4: Cho hàm số 

    
  

x
khi x
x xf x
A khi x
2
2 1 1
22 3 1( )
1
2
 Xét tính liên tục của hàm số tại x
1
2
  
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 14 
Hướng dẫn giải 
Ta co ́: f a(1) 1  
Mă ̣t kha ́c: 
 

 

   

  
x x
x
f x x x
f x a f
2
1 1
1
lim ( ) lim ( ) 2
lim ( ) 1 (1)
Hàm sô ́: f x( ) liên tục tại x = 1  
x x
f x f x f a a
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 1 2 1
  
       
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta có: 
x x x
x x x x x
f x
x a x a
3 2 2
1 1 1
2 2 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim
3 3  
    
 
 
Nếu a = –3 thì 
x x x
x x x
f x
x
2 2
1 1 1
( 1)( 2) 2
lim ( ) lim lim 1 0
3( 1) 3  
  
   

 và f (1) 0 
Nên hàm số không liên tục tại x = 1 
Nếu a  –3 thì 
x x
x x
f x
x a
2
1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim 0
3 
 
 

, nhưng f a(1) 3 0   
Nên hàm só không liên tục tại x = 1. 
 Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x = 1. 
Bài tập mẫu 6: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1. 
x x x
 khi x 1f x x a
x a khi x = 1
3 2 2 2
( ) 3
3
      
 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 15 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta có: f m( 1) 2    
Mặt khác: 
x x x
x
f x x
x
2
1 1 1
1
lim ( ) lim lim ( 1) 2
1    

    

La ̣i có: 
x x
f x mx m
1 1
lim ( ) lim ( 2) 2
  
     
 Hàm số f x( ) liên tục tại x = –1  m m2 2 4      
Hướng dẫn giải 
Ta có: f a(1) 1  
Mă ̣t kha ́c: 
 

 

   

  
x x
x
f x x x
f x a f
2
1 1
1
lim ( ) lim ( ) 2
lim ( ) 1 (1)
Hàm sô ́ f x( ) liên tục tại x = 1  
x x
f x f x f a a
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 1 2 1
  
       
Vâ ̣y khi 1a  thi ̀ hàm số liên tục ta ̣i 1x  . 
Bài tập mẫu 8: Cho hàm số x x khi xf x
ax khi x
2 1( )
1 1
   
 
. 
Hãy tìm a để f x( ) liên tục tại x = 1 
Bài tập mẫu 7: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1 
x
 khi xf x x
mx khi x
2 1
1( ) 1
2 1
     
   
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 16 
Hướng dẫn giải 
Ta co ́: 
x
f x f
2
lim ( ) 15 (2)

  
Mă ̣t kha ́c: 
x x
f x ax a a2
2 2
lim ( ) lim ( 3 ) 7
  
   
Hàm sô ́: f x( ) liên tục tại x = 2  a a
15
7 15
7
   
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
 Ta có: f(5) = A 
Mặt khác: x x x
x
f x x
x
2
5 5 5
25
lim ( ) lim lim( 5) 10
5  

   

Hàm số liên tục tại x = 5  
x
f x f
5
lim ( ) (5)

 
Vâ ̣y với A = 10 thi ̀ hàm sô ́ liên tục ta ̣i x = 5. 
Bài tập mẫu 10: Cho hàm số 
x
khi xf x x
A khi x
2 25
5( ) 5
5
    
 
. 
Tìm A để hàm số đã cho liên tục tại x = 5. 
Bài tập mẫu 9: Tìm gia ́ trị của tham số a để hàm số: 
x x khi x
f x
ax a khi x
2
2
5 6 7 2
( )
3 2
   
 
 
 liên tục tại x = 2. 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 17 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
. Ta co ́: f(3) = a+3 
Mặt kha ́c: 
x x x x
x x x x
f x x
x x
2
3 3 3 3
3 1² ( 3)( 6)
lim ( ) lim lim lim( 6) ³
3 3   
   
    
 
Hàm sô ́ f(x) liên tục tại x = 3  a + 3 = 9  a = 6 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta co ́: f(1) = m 
Mặt khác: x x x
x x
f x x
x1 1 1
( 1)
lim ( ) lim lim 1
1  

  

Hàm số f(x) liên tục tại x = 1  
x
f x f m
1
lim ( ) (1) 1

   
Bài tập mẫu 13: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0: 
x a khi x
f x
x x khi x2
2 0
( )
1 0
  
 
  
Bài tập mẫu 12: Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1: 
x x
khi xf x x
m khi x
2
1( ) 1
1
    
 
Bài tập mẫu 11: Cho hàm số  
x x
 khi xf x x
a x khi x
2 3 1²
3
3
3
     
  
. Tìm giá trị 
của tham số a để hàm số liên tục tại x 3 . 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 18 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta co ́: 
x
f x f
0
lim ( ) (0) 1

  
Mặt khác: 
x x
f x x a a
0 0
lim ( ) lim( 2 ) 2
  
   
Hàm số f(x) liên tục tại x = 0  2a = 1 
1
2
a  
Hướng dâ ̃n giải 
Ta có: f(–1) = a +1 
Mặt khác: x x x
x x
f x x
x1 1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim lim( 2) 3
1  
 
    

Hàm số f(x) liên tục tại x = –1  
x
f x f a a
1
lim ( ) ( 1) 1 3 4

         
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta có: f m(1)  
Bài tập mẫu 15: Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1: 
x x
khi xf x x
m khi x
2 2
1( ) 1
1
     
 
Bài tập mẫu 14: Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1: 
x x
khi xf x x
a khi x
2 2
1( ) 1
1 1
      
   
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 19 
Mặt khác: x x x
x x
f x x
x
2
1 1 1
2
lim ( ) lim lim( 2) 3
1  
 
   

Theo định lý ta có: f x( ) liên tục tại x = 1  x
f f x m
1
(1) lim ( ) 3

   
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ta có: 
2
2 2 2 2
7 10 ( 2)( 5)
lim ( ) lim lim lim( 5) 3
2 2x x x x
x x x x
f x x
x x   
   
     
 
Mặt khác: f(2) = 4 – a 
Hàm số ( )f x liên tục tại x = 2  2
lim ( ) (2) 4 3 7
x
f x f a a

       
Kết luận với a = 7 thì hàm số liên tục tại x = 2. 
BA ̀I TÂ ̣P TRĂ ́C NGHIÊ ̣M TỰ LUYÊ ̣N 
Ba ̀i tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng: 
A. Hàm số có giới hạn tại điểm  =  thì liên tục tại  = . 
B. Hàm số có giới hạn trái tại điểm  =  thì liên tục tại  = . 
C. Hàm số có giới hạn phải tại điểm  =  thì liên tục tại  = . 
Bài tập mẫu 16: Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2: 
x x
khi xf x x
a khi x
2 7 10
2( ) 2
4 2
     
  
. 
Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 20 
D. Hàm số có giới hạn trái và phải tại điểm  =  thì liên tục tại  = . 
ĐÁP A ́N: A 
Ba ̀i tập 2: Cho một hàm số (). Khẳng định nào sau đây là đúng: 
A. Nếu ()() < 0 thì hàm số liên tục trên (; ). 
B. Nếu hàm số liên tục trên (; ) thì ()() < 0. 
C. Nếu hàm số liên tục trên (; ) và ()() < 0 thì phương trình () = 0 có 
nghiệm. 
D. Cả ba khẳng định trên đều sai. 
ĐÁP A ́N: C 
Ba ̀i tập 3: Cho một hàm số (). Khẳng định nào sau đây là đúng: 
A. Nếu () liên tục trên đoạn [; ], ()() > 0 thì phương trình () = 0 
không có nghiệm trên khoảng (; ). 
B. Nếu ()() < 0 thì phương trình () = 0 có ít nhất một nghiệm trong 
khoảng (; ). 
C. Nếu phương trình () = 0 có nghiệm trong khoảng (; ) thì hàm số () 
phải liên tục trên khoảng (; ) 
D. Nếu hàm số () liên tục, tăng trên đoạn [; ] và ()() > 0 thì phương 
trình () = 0 không có ngiệm trong khoảng (; ). 
ĐÁP A ́N: D 
Ba ̀i tập 4: Cho phương trình 2 − 5 +  + 1 = 0. Khẳng định nào đúng: 
A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (−1; 1). 
B. Phươn