Chuyên đề Giải tích Lớp 12: Phương pháp hàm số

Phương pháp hàm số
Cơ sở lí thuyết:
a. f (x) tăng trên D x1 < x2 f(x1) < f(x2) x1, x2 D 
b. f (x) giảm trên D x1 f(x2) x1, x2 D 
Lưu ý : Hàm số chỉ tăng hoặc chỉ giảm trên D được gọi chung là hàm số đơn điệu trên D.
c. Nếu hàm số f(x) đơn điệu và f(u) = f(v) thì u = v
d. Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên D và pt f(x) = 0 có nghiệm trên D thì đó là nghiệm duy nhất.
VD1: Pt + + 3x = 6. ĐK: x 
pt + + 3x - 6 = 0
Nhận thấy x = 1 thoả, hơn nữa hàm số f(x) = + + 3x - 6 có f '(x) > 0 x nên f(x) đơn điệu. Vậy x =1 là nghiệm duy nhất của pt đã cho.
Nhận xét: Với bài này nếu không dùng tính đơn điệu của hàm hàm số, mà giải theo cách bình thường thì rất khó khăn vì pt có chứa cả căn bậc hai, căn bậc ba.
VD2: Giải BPT 3 + - 2x 6. ĐK < x 
Đặt f(x) = 3 + - 2x . Dễ thấy f(x) nghịch biến trên(; ) và f(1) = 6
Do f(x) nghịch biến nên với x 1 thì f(x) f(1) mà f(1) = 6 nên BPT thoả x 1. Kết hợp với đk, ta được tập nghiệm của BPT là 1 x 
VD3: Giải pt 3x = 1 + x + log3(1+2x). Đk x > - 
Pt 3x + x = (1 + 2x) + log3(1+2x) 3x + log33x = (1 + 2x) + log3(1+2x) (*) 
Xét hàm số đặc trưng f(t) = t + log3t Rõ ràng f(t) liên tục và đơn điệu tăng với mọi t > 0
Do đó (*) f(3x) = f(1+2x) 3x = 1+2x. Ta thấy x = 0 là một nghiệm.
Nhận xét: Nếu VT là hàm số đồng biến, VP là hàm số nghịch biến thì pt có nghiệm duy nhất x = 0. Tuy nhiên, ở đây VT và VP cùng là hàm số đồng biến, nên không thể kết luận x = 0 là nghiệm duy nhất được. Và rõ ràng ta thấy x = 1 cũng là một nghiệm nữa của pt.
Gặp trường hợp này, ta lập luận như sau: 3x = 1+2x. 3x - 1 - 2x = 0
Xét hàm số g(x) = 3x - 1 - 2x.
Ta có g')x) = 3xln3 - 2; g''(x) = 3x.(ln3)2 > 0 g'(x) đơn điệu pt g'(x) = 0 có không quá 1 nghiệm pt g(x) = 0 có không quá 2 nghiệm.
Vậy x = 0 và x = 1 là hai nghiệm của pt g(x) = 3x - 1 - 2x. = 0
Điều này cũng dễ hiểu vì bậc của f(x) bao giờ cũng lớn hơn bậc của f '(x) 1 đơn vị.
Chẳng hạn * f(x) = x3 - 4x bậc ba nên f '(x) = 3x2 - 4 còn bậc hai, cho nên nếu pt x3 - 4x = 0 có 3 nghiệm thực ( x = 0, x = 2) thì pt 3x2 - 4 = 0 có 2 nghiệm thực (x = )
 * f(x) = x3 + 4x = 0 bậc ba, có 1 nghiệm thực (x = 0) thì pt f '(x) = 3x2 + 4 = 0 vô nghiệm trên R.
Tổng quát: pt [f(x)](n) = 0 có k nghiệm thực thì pt [f(x)](n-1) = 0 có k+1 nghiệm thực
VD4: Giải hệ pt 
HD: Từ pt (2) suy ra |x|, |y| 1; pt (1) x3 - 3x = y3 - 3y (*) 
Xét hàm số đặc trưng f(t) = t3 - 3t với |t| 1
Ta có f '(t) = 3t2 -3 < 0 (vì |t| 1) suy ra f(t) đơn điệu.
Do đó (*) f(x) = f(y) x = y. Thay y = x vào pt (2): 4x 2 = 1. Vậy nghiệm của hệ là x = y = 
Good luck!