Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng máy tính Fx 570 ES PLUS

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 1 
Bí Kíp Công Phá Kì Thi THPT Quốc Gia 
 Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 ES PLUS 
 Version 2.1 Finally 
I, Giới thiệu 
 Xin chào tất cả các em! Khi các em đang đọc những dòng này là các em đang nắm trên tay bí kíp giải hệ 
phương trình giúp tăng khả năng lấy điểm thứ 9 của các em một cách dễ dàng hơn. Hi vọng, sau khi đọc xong tài 
liệu này, các em sẽ cảm thấy Hệ Phương Trình thật đơn giản và không còn thấy sợ câu thứ 9 này nữa. 
Ở phiên bản 2.0 này anh sẽ bổ sung, sửa đổi, hoàn thiện, nâng cấp rất nhiều vấn đề của version 1.0 
II, Lý do chọn đề tài 
 Có rất nhiều em gửi thắc mắc tới anh : “tại sao anh lại giải câu hệ như vậy ?” đó cũng là câu hỏi anh đã từng 
băn khoăn hồi còn ôn thi như các em, mà không một thầy giáo nào giải thích cho anh cả, anh phải tự mò mẫm cho 
mình 1 lý do, các thầy chỉ dạy cho mình phương pháp làm là chính chứ rất ít khi các thầy giải thích tại sao và 
thường chỉ đưa ra dấu hiệu là người ta cho thế này thì mình làm thế này. 
 Nhưng hôm nay, anh sẽ trình bày với các em một hướng đi mới trong việc công pháp điểm thứ 9 này với 
máy tính fx 570 ES PLUS, đảm bảo học xong các em ở mức Trung Bình – khá chăm chỉ 1 chút cũng sẽ làm được, 
thực tế là sau khi anh phát hành version 1.0 đã khá nhiều bạn quay lại cảm ơn anh, vì đã làm thành công nhiều hệ 
phương trình. 
III, Yêu cầu chung 
1. Có tinh thần Quyết tâm đỗ Đại Học !!! 
2. Có kiến thức căn bản sử dụng các phương pháp thế, đưa về phương trình tích, phương pháp hàm số, phương 
pháp đánh giá... 
Ví dụ như: 
 Đưa về phương trình tích 
0
. 0
0
A
A B
B

   
Phương pháp hàm số: ( ) ( )f x f y mà hàm f đồng biến ( nghịch biến) trên đoạn  ;a b và  , ;x y a b 
Thì phương trình có nghiệm duy nhất là x = y 
Phương pháp đánh giá: thường là sử dụng BĐT Cô-Si vì BĐT này có trong SGK lớp 10 
Ta có : , 0; 2a b a b ab    
3. Có 1 chiếc máy tính có tính năng SOLVE : fx 570 es plus, fx 570 es, .... 
Lý do anh chọn Fx 570 ES PLUS vì đây là máy tính hiện đại nhất được mang vào phòng thi bây giờ và là bản nâng 
cấp của fx 570 es nên sẽ cho tốc độ cao hơn chút và có một số tính năng mới. 
IV, Nội Dung 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 2 
Anh sẽ hướng dẫn các em công phá tất cả các hệ phương trình từ 2010 cho tới nay bằng máy fx 570 es plus 
theo cách tự nhiên và dễ hiểu nhất. 
* Đường lối chung để giải 1 hệ phương trình : 
Vậy vai trò của máy ở đây là gì ? Máy tính sẽ giúp ta làm chủ cuộc chơi chứ không phải tác giả nữa, tức là 
nhờ máy ta sẽ tìm được mối quan hệ ở Bước 2 để áp dụng phương pháp cho thích hợp, tránh hiện tượng 
“mò”, và ở Bước 3 cũng vậy. Vai trò chính là giúp ta định hướng cách làm nhanh hơn. 
 Nội dung chính của tài liệu này: 
(Anh chỉ bám sát nội dung thi, không đi quá xa đà vào những hệ quá khó, quá phức tạp so với đề thi) 
Anh sẽ chia ra làm 2 dạng cơ bản : 
1. Từ 1 phương trình là đã tìm luôn được quy luật ( 90% Đề thi thử và ĐH cho dạng này) 
Biểu hiện: khi cho Y nguyên thì X, 2X tìm được là số nguyên 
2. Phải kết hợp 2 phương trình thì mới tìm ra được quy luật ( một số đề thi thử cho) 
Biểu hiện là cho Y nguyên nhưng được X, 2X rất lẻ 
Muốn tìm được quy luật giữa x và y của dạng này các em cần kết hợp 2 phương trình như cộng trừ 2 vế để khử số 
hạng tự do. 
*Sau khi tìm được mối liên hệ giữa X và Y thế vào 1 phương trình còn lại thì lại có 2 khả năng chính 
a. Bấm máy phương trình ra nghiệm đẹp : vậy là xác suất 90% xử lý được 
b. Bấm máy phương trình ra nghiệm xấu: 
Từ 1 trong 2 phương trình, hoặc phức tạp 
hơn là phải kết hợp 2 phương trình 
Mối quan hệ giữa x và y 
(muốn làm được điều này thì các em phải dùng các pp thế, đưa về 
phương trình tích, ẩn phụ, hàm số, đánh giá.) 
Thế vào 1 trong các phương trình để đưa về phương trình 1 ẩn, có thể 
là giải được luôn, hoặc có thể là một phương trình chứa căn phải 
dùng thêm phương pháp mới giải được, tùy vào mức độ đề thi 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 3 
thường đề ĐH họ chỉ cho nghiệm xấu dạng 
a
a b
c


 


 là những nghiệm của phương trình bậc 2, muốn xử lý được ta phải áp dụng định lý Vi-et đảo, anh sẽ nói 
rõ trong bài tập. 
Với phương pháp này các em có thể xử lý được 90% các hệ trong đề thi thử THPT Quốc Gia và đề thi chính thức, 
phương pháp này còn giúp chúng ta luyện giải phương trình vô tỷ rất tốt, thậm chí là bất phương trình vô tỉ. 
Nhưng phương pháp nào cũng có giới hạn của nó, có điểm mạnh điểm yếu riêng, anh sẽ trình bày cụ thể 
trong quá trình giải bài. 
*Dạng 1: Các mối quan hệ được rút ra từ 1 phương trình 
Khởi động là 1 bài dễ trước nhé : 
* Các ví dụ 
Khởi động 1 bài đơn giản trước đã nhé !!! 
Ví dụ 1: (CĐ-2014) Giải hệ phương trình sau 
2 2
2 2
x xy y 7
(x, y R)
x xy 2y x 2y
   

    
* Nhận xét chung: 
Hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn, điều đặc biệt là ở chỗ 1 phương trình có thể biến đổi được còn 1 phương trình thì 
không có gì mà biến đổi, nhìn qua thì các em thấy như vậy 
Vậy dàn ý chung là: từ phương trình biến đổi được đưa ra mối quan hệ x và y rồi thế vào phương trình 
không biến đổi được 
Bằng giác quan ta sẽ tìm các nào đó để xử lý phương trình số 2, các em đa số là sẽ cứ viết dùng đủ mọi cách nhóm 
và rồi tự biến đổi mò 1 lúc thì nó ra mối quan hệ x và y. 
Nhưng anh sẽ trình bày 1 phương pháp sử dụng máy tính để tìm mối liên hệ như sau: 
Sử dụng tính năng Solve: 
Các em biến đổi phương trình 2 về hết 1 vế : 2 2X XY 2Y X 2Y 0     
Ấn trên máy: 
 Alpha X 2x - Alpha X Alpha Y – 2 Alpha Y 2x Alpha + alpha X - 2 alpha Y 
( không cần ấn = 0, khác version 1.0) 
Giải thích “Alpha X, Alpha Y” là gọi biến X, biến Y nhưng với máy tính thì mặc định X là biến, Y là tham số 
Sau đó các em bấm: Shift Solve 
Máy hiện : Y?  tức là máy hỏi ban đầu cho tham số Y bằng mấy để còn tìm X 
Các em khởi tạo giá trị ban đầu cho Y là 0 bằng cách nhập: 0 = 
Nếu máy hỏi “ Solve for X” thì các em ấn “0=” nhé 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 4 
Bây giờ máy sẽ xử lý 
Máy hiện: 
X = 0 tức là khi y=0 thì có nghiệm x=0 
-R= 0 sai số của nghiệm là 0 
Rồi vậy là được Y=0 thì X=0 
Tiếp theo các em ấn “mũi tên chỉ sang trái” để quay trở về phương trình 
Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1, X=0 
Thì máy lại tính ra X = 2 
Cứ như vậy tới Y=5, X =0 ta được bảng giá trị sau: 
Bảng 1: 
 Y 0 1 2 3 4 5 
 X 0 2 -3 -4 -5 -6 
*Cách 2: phức tạp hơn nhưng kiểm soát được toàn bộ nghiệm 
Với Y = 0 ta đã tìm được 1 nghiệm X = 0 
Để xem phương trình có còn nghiệm nào khác không các em làm như sau: 
Ấn mũi tên sang ngang sửa phương trình thành: 2 2(X XY 2Y X 2Y): (X 0)     
Phương trình này để bỏ nghiệm vừa tìm được và tìm nghiệm mới. 
Sau đó lại bấm như ban đầu thì được X = -1 
Sau đó lại ấn 
2 2X XY 2Y X 2Y
(X 0)(X 1)
   
 
Sau đó lại bấm giải nghiệm thì máy báo “ Can’t solve” tức là vô nghiệm hay hết nghiệm rồi 
Vậy là được Y=0 thì X=0, X = -1 
Tiếp theo các em ấn “mũi tên chỉ sang trái” để quay trở về phương trình 
Ta lại phải sửa phương trình thành: 2 2X XY 2Y X 2Y    
Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1, X=0 
Thì máy lại tính ra X = 2 hoặc -2 
Cứ như vậy tới Y=5 thì được các kết quả như sau: 
Bảng 2: 
 Y 0 1 2 3 4 5 
 X 0 hoặc -1 2 hoặc -2 -3 hoặc 4 -4 hoặc 6 -5 hoặc 8 -6 hoặc 10 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 5 
Cách 2 này tuy đẩy đủ nhưng sẽ rất mất thời gian chỉnh sửa phương trình nên trong tài liệu đa phần anh sẽ 
giải bằng cách 1, vì những bài thi ĐH không quá phức tạp 
*Cách 3: Để tìm nghiệm khác ngoài 1 nghiệm tìm được 
Ví dụ khi Y=0, lúc máy hỏi “ Solve for X” Các em ấn 0 = sẽ tìm được nghiệm X = 0 
Các em ấn “-9=” thì sẽ được nghiệm X = -1 
Các em ấn “9=” thì sẽ được nghiệm X=0 
Vậy là ta đã tìm được ngay 2 nghiệm X = -1 và X =0 khi Y= 0 
Anh rất hay dùng cách 1 cho hệ và cách 3 cho phương trình 1 ẩn, để tăng tốc độ làm bài 
Các kết quả này hoàn toàn là do máy, từ bảng 1 ta thấy khi Y = 2 tới Y=5 anh thấy nó xuất hiện 1 quy luật gì đó 
Tại Y=0, Y=1 không xuất hiện quy luật do có nhân tử khác gây nhiễu bởi vì tính năng Solve là tính năng dò 
nghiệm theo công thức Newton nên nó sẽ tìm nghiệm gần với giá trị biến hiện tại của X , ở đây các TH chúng ta 
đều khởi tạo giá trị ban đầu X = 0. 
Từ Y=2 anh thấy nó xuất hiện 1 quy luật gì đó, dễ dàng nhận thấy là x+y+1 = 0 
Vậy anh sẽ biến đổi phương trình 2 theo xem được không: 
Thêm bớt để ép nhân tử : 
2 2
2 2
2
x xy 2y x 2y
x xy 2y x 2y 0
x(x y 1) 2xy 2y 2y 0
x(x y 1) 2y(x y 1) 0
(x 2y)(x y 1) 0
    
     
      
      
    
Vậy nghiệm vừa nãy bị nhiễu là do x-2y =0 
Còn lại thì dễ dàng rồi nào: 
2
( 1)
x y
x y

   
 thế vào phương trình đầu tiên 
* x=2y thì: 
2 2 24 2 7 1y y y y      
* x= -(y+1) thì các em tự xử lý nhé 
Anh nói thì dài thôi chứ lúc làm thì nhanh lắm!!! 
Như vậy là anh vừa trình bày chi tiết cách giải 1 bài hệ bằng máy tính casio fx-570 ES Plus nhưng bài trên 
là 1 bài dễ và chưa sử dụng một ứng dụng chính của Solve là tìm nghiệm phương trình 1 ẩn dù nó có phức 
tạp tới đâu. 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 6 
Tiếp tục nhé, nâng level nên nào 
 Nhận xét chung 
Thấy ngay phương trình số 2 khó biến đổi, phương trình 1 có vẻ dễ hơn , vậy ta thử xem nào 
Lưu ý ở bài này: điều kiện pt 1 là x y bởi vậy lúc khởi tạo giá trị ban đầu “ Solve for X” các em phải nhập số 
lớn hơn Y, chẳng hạn là “9=” . Tại sao lại thế ? 
Vì nếu em cho Y = 3 mà giá trị ban đầu X = 2 thì máy sẽ có 2 kiểu dò nghiệm 
1 là : 2 2,1 2,2 2,3 ....    
2 là : .... 1,7 1,8 1,9 2    
Nhưng đi theo đường nào thì x y cũng không xác định ngay, do đó máy dừng dò nghiệm và báo “Can’t Solve” 
Do đó phải khởi tạo giá trị ban đầu của X lớn hơn Y 
Các em làm tương tự, anh cho kết quả luôn: 
Y 0 1 2 3 4 5 
X 1 2 3 4 5 6 
Dựa vào bảng ta thấy luôn : 1x y  hoặc 1x y  
Vậy là đầu tiên anh đi theo hướng “x-y-1=0” trước vì vế phải có sẵn rồi kìa, chỉ cần biến đổi những số còn 
lại xem có được không là chuyển hướng luôn 
(1 y) x y x 2 (x y 1) y
(1 y) x y x 2 (x y 1) y 0
(1 y) x y (x y 1) (y 1) (x y 1) y 0
(1 y) x y 1 (x y 1) 1 y 0
      
        
           
           
   
Tới đây phải nói là quá may mắn 
   (1 )( 1) 1 1 0
1 0 1
11 0
pt y x y y x y
x y x y
yy
         
 
     
     
Ví dụ 2: (ĐH-B-2014) Giải hệ phương trình 
2
(1 y) x y x 2 (x y 1) y
2y 3x 6y 1 2 x 2y 4x 5y 3
       

       
 (x, y là các số thực) 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 7 
Thế vào phương trình 2 ta được: 
Với y = 1 thì 9-3x =0  x=3 
Với y = x - 1 
2
2
2 3( 1) 6 1 2 1 1
2 3 2 1
y y y y y
y y y
       
    
Điều kiện ban đầu 0y  mà bây giờ lại có 1y  
Vậy  0;1y 
Dễ thấy VT đồng biến với điều kiện trên, VP thì nghịch biến, các em tính đạo hàm ra sẽ thấy nên nếu 
phương trình có nghiệm thì sẽ là nghiệm duy nhất 
Thử bấm máy xem nào: 2 alpha X 2x + 3 alpha X -2 Alpha = 1- alpha X 
Sau đó bấm Shift solve 0 ,5 = 
Phải dùng biến X nhé mà máy nó mặc định như vậy rồi 
Ta đang tìm X trong khoảng [0;1] mà nên phải khởi tại giá trị ban đầu X = 0,5 chẳng hạn được 
X=0,618033.. 
Nếu x nguyên thì xong rồi đó nhưng đằng này có vẻ không còn may mắn nữa. 
Vậy Bộ Giáo Dục cố tình ra nghiệm lẻ để làm khó ta, nhưng anh đã có cách 
Ta thử bình phương nghiệm X đó lên xem có đẹp không nhưng câu trả lời là không! 
Hi vọng nghiệm này không quá xấu, nó có dạng 
a b
c

 là dạng nghiệm của phương trình bậc 2 thì ta sẽ 
giải quyết được. 
*Tư duy ở đây là: phương trình trên nếu bình phương lên sẽ ra bậc 4 đầy đủ nên có thể phân tích được 
thành: 
2 2 ' '(x )( )Sx P x S x P    
Do đó anh chỉ cần tìm được 1 nhân tử 2(x )Sx P  là xong, vậy ta cần tìm 3 trong 4 nghiệm 
Về lý thuyết là vậy nhưng thực tế anh tìm cả 4 nghiệm luôn 
Bản chất của phương trình trên là bậc 4 nên ta sẽ bình phương lên để mất căn rồi chuyển sang 1 vế 
Các em nhập lại phương trình thành: (2 alpha X 2x + 3 alpha X -2) 2 - (1- alpha X) 
Các em bấm dấu “=” để lưu phương trình vào máy 
Sau đó bấm Shift solve 0 = 
Máy báo X = 0,3228. 
Sau đó các em bấm RCL X Shift STO A để lưu nghiệm X vừa tìm được vào A 
Vậy là được 1 nghiệm, để tìm nghiệm thứ 2 ta làm như nhau : 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 8 
Nhấn nút đẩy lên 2 lần để tìm phương trình ta đã lưu 
Đưa mũi tên chỉ sang trái, sửa phương trình thành: 
((2 alpha X 2x + 3 alpha X -2) 2 - (1- alpha X)): ( X-A) 
Sau đó bấm Shift solve 
Máy hỏi A? 0,3228.. thì các em bấm dấu = 
 Máy hiện “Solve for X” thì các em cũng ấn 0= 
Máy báo X = 0,6180.... 
Các em ấm phím đẩy sang trái rồi ấn = để lưu lại phương trình 
Sau đó các em bấm RCL X Shift STO B để lưu nghiệm X vừa tìm được vào B 
Vậy đã có nghiệm thứ 2, các em lại ấn nút đẩy lên 2 lần, rồi đẩy sang trái để sửa phương trình tìm nghiệm 
thứ 3 các em lại sửa thành 
((2 alpha X 2x + 3 alpha X -2) 2 - (1- alpha X)) : ( X-A)(X-B) 
Sau đó bấm Shift solve = = 0= 
Được nghiệm thứ 3 là : X= -1,61803.. 
Các em ấm phím đẩy sang trái rồi ấn = để lưu lại phương trình 
Sau đó các em bấm RCL X Shift STO C để lưu nghiệm X vừa tìm được vào C 
Tương tự phương trình tìm nghiệm thứ 4 : 
((2 alpha X 2x + 3 alpha X -2) 2 - (1- alpha X)) : ( X-A)(X-B)(X-C) 
Sau đó bấm Shift solve = = = 0= 
Các em sẽ được nghiệm thứ 4 là : X = -2,3228 
Vậy ta đã được 4 nghiệm là A,B,C,X 
Ta biết rõ ràng là nghiệm B = 0,618 là nghiệm của phương trình ban đầu nên ta sẽ xét các tích BA,BC,BX 
xem tích nào đẹp 
Thấy ngay: BC = - 1 và B+C = -1 
Vậy phương trình chứa nghiệm B,C này là 2 1x x  ( định lý Vi-et đảo) 
Đây chính là cách phân tích phương trình bậc 4 thành nhân tử với máy tính 
Vậy ta sẽ cố nhóm để xuất hiện nhân tử này: với bài thì là 2 1y y  , ép nhân tử như sau: 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 9 
2
2
2
2
2
2
2 3 2 1
2( 1) 1 0
(1 )
2( 1) 0
1
1
( 1)(2 ) 0
1
5 1 5 1
( )
2 2
1 0
5 1
( )
2
y y y
y y y y
y y
y y
y y
y y
y y
y tm x
y y
y loai
   
      
 
    
 
    
 
  
  
    
 


Các em tự kết luận nhé! 
Ví dụ 3: (ĐH-AA1-2014) Giải hệ phương trình 
2
3
x 12 y y(12 x ) 12
x 8x 1 2 y 2
    

    
 (x, y là số thực) 
*Nhận xét chung: 
Ta thấy phương trình 1 dễ biến đổi hơn phương trình 2 
Điều kiện 
2
2 12
12
y
x
 


* Anh cho bảng kết quả bấm máy luôn 
 Y 2 3 4 5 6 12 0 
 X 3,16 3 2,828 2,64 2,44 0 3,464 
Nhận xét chung là Y tăng thì X giảm 
Với Y=2, Y=4, Y=5, Y=6 thì kết quả xấu quá ta thử bình phương lên xem có sử dụng được không 
 Y 2 3 4 5 6 12 0 
 2X 9,9999 9 8 7 6 0 12 
Chứng tỏ các bác ở BGD cũng không làm khó ta lắm 
Nhận thấy 2 12y x  
Căn cứ vào phương trình 1 thì sẽ là 212y x  
Làm sao để chứng minh điều này, dễ thấy không thể phân thích thành nhân tử như bài trước được 
Giờ chỉ còn hàm số và đánh giá mà thôi 
Do x, y không độc lập lên không dùng hàm số được ( kinh nghiệm nhỏ của anh) 
Vậy thử đánh giá, mà có 2 tích nên chỉ có Cô-si thôi 
 Ta dùng máy thử luôn cho nhanh nhé 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 10 
Chúng ta dùng chức năng CALC để tính giá trị biểu thức 
Các em nhập nguyên vế trái vào: 2x 12 y y(12 x )   
Alpha X 12 – alpha Y + alpha Y – (12 – alpha X 2x ) 
Sau đó các em bấm CALC 
Máy hiện X? em nhập 1 = 
Máy lại hỏi Y? em nhập vào là 11= hoặc tùy ý 
X 1 1 2 2 3 3 4 
Y 10 11 10 11 8 11 
Giá trị hàm 11,9 12 11,7 11,38 10,89 8,7 error 
Ta nhận thấy 12VT VP  vậy đánh giá là phương pháp đúng đắn 
Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si ta được: 
2 2
2 x (12 y) y (12 x )x 12 y y(12 x ) 12
2 2
   
      
Dấu “=” xảy ra khi 
22
012
1212
xx y
y xy x
  
 
   
Thế vào phương trình 2 ta được: 3 28 1 2 10x x x    
Ta bấm máy xem có nghiệm nguyên không , có thì coi như xong 
Các em bấm như sau: Alpha X Shift 2x -8 Alpha X -1 = 2 10 – alpha X 2x 
Sau đó ấn Shifl Solve 9= 
( nếu các em ấn 0= sẽ bị ra nghiệm -1, nên phải ấn 9= để tìm nghiệm dương xem thêm cách 3 nhé) 
Ra được x=3, tới đây có thể mỉm cười được rồi 
Ta sẽ biến đổi theo x-3 = 0 
3 2
3 2
8 1 2 10
( 8 3) 2(1 10 ) 0
x x x
x x x
   
      
Anh ghép 1 với 210 x vì khi nhân liên hợp nó xuất hiện 2 9 ( 3)( 3)x x x    
Tới đây các em vào máy giải phương trình bậc 3 kia xem được nghiệm gì nhé, đừng nói là em không biết 
bấm máy cái này 
Được x=3 và 2 nghiệm xấu nhưng không sao vậy là được rồi 
Ta tiến hành chia 3 8 3x x  cho (x-3) được 2 3 1x x  
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 11 
Vậy ta có: 
2 2
2
2
2
2
2
( 3)( 3 1) 2(1 10 ) 0
9
( 3)( 3 1) 2. 0
1 10
2( 3)
( 3) 3 1 0
1 10
x x x x
x
x x x
x
x
x x x
x
      

     
 
 
      
  
Ta có 0x  nên 2
2
2( 3)
3 1 0
1 10
x
x x
x

   
 
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x=y=3 
Ví dụ 4: Đề thi thử THPT Quốc Gia của Sở GD TP. HCM 
Giải hệ phương trình : 
 
22
2
2
1 2 2
1
y
y y x
x
x y
x y y
y x

    


    

Giải: 
Khi nhìn vào 2 phương trình này thì ta thấy phương trình số 2 dễ biến đổi hơn phương trình 1, em nào 
không nhìn ra điều này thì đi thử cả 2 phương trình cũng được. 
Điều kiện: 2, 0x y  
Các em nhập phương trình : 2
1x y
x y y
y x

    như sau: 
Alpha X + 
1
AlphaX
AlphaY

 +
AlphaY
AlphaX
= Alpha Y 
2x + Alpha Y 
Sau đó các em bấm: 
Shift Solve máy sẽ hiện “ Y?” các em nhập 1 = 
Máy sẽ hiện “ Solve for X” tức là khai báo giá trị ban đầu của X 
Các em bấm “ 0 = ” 
Máy sẽ trả về giá trị nghiệm X = 0,5. Vậy Y = 1 thì X = 0,5 
Để tìm nghiệm tiếp với Y=2 thì các em bấm : 
Shift Solve máy sẽ hiện “ Y?” các em nhập 2 = 
Cứ như vậy với Y = 3,4,5 ta thu được bẳng giá trị sau: 
Y 1 2 3 4 5 
X 0,5 0,333= 1/3 0,25 = 1/4 0,2 = 1/5 0,16666.. =1/6 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 12 
Dựa vào bảng, ta thấy xuất hiện quy luật : 
1
1 0
1
X XY X
Y
    

Ta sẽ ép để xuất hiện nhân tử trên như sau: 
2
2
2 3 2
2
2
1
1
0
( 1) 0
( 1) ( 1) 0
( 1)( ) 0(3)
x y
x y y
y x
xy x y
y y
y x
xy x x y y x xy
xy x x y xy x
xy x x y

   
 
    
      
      
    
Rất may ở bài này chúng ta không bị nhiễu bởi nhân tử 2x y như ở ví dụ 1. 
Với 2, 0x y  thì 1 0xy x   nên từ (3) ta có : 2x y thế vào phương trình (1) ta có: 
 
 
   
2
2 2
2
2 2
22
2
2
1 1 2 2
1 ( 2) 2 2 1
1 2 1
1 2 1
y y y
y y y
y y
y y
    
      
    
    
2
2
2
2 0
1( )
2( ) 4
y y
y y
y loai
y tm x
  
   
 
    
Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất là (4;2) 
*Dạng 2: Các mối quan hệ được rút ra từ kết hợp 2 phương trình 
Dấu hiệu là: bấm nghiệm của 1 trong 2 phương trình ra xấu 
Ví dụ 1: 
3
4 2 2
2( ) 4 3 0(1)
( ) 2 4 2 3 1 0(2)
x y xy
x y x xy y x y
    

       
Giải: 
Để sử lý được dạng này, thì phải cộng (trừ) (1) với (2) nhân với k, đơn giản nhất là k =1 có những bài phải cộng 
(trừ) đi k =1,2,3,4,5,.... Nhưng dạng này bây giờ khá hiếm, vì cũng khá khó đối với các em. 
4 2 2 3( ) 2 4 2 3 1 .[2( ) 4 3] 0x y x xy y x y k x y xy            
Các em thử k =1,2,3,4,5...hoặc -1,-2,-3,-4,-5.... cho tới khi Y nguyên thì X nguyên nhé 
Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 
 13 
Ta được bảng giá trị sau: 
Y 0 1 2 3 4 5 
X 1 0 -1 
Dễ thấy quy luật x + y =1 
Ta biến đổi như sau: 
4