Chuyên đề: Đoạn mạch RLC có tần số góc biến thiên, điện áp hiệu dụng đạt cực trị

1 
CHUYÊN ĐỀ: 
 ĐOẠN MẠCH RLC CÓ TẦN SỐ GÓC  (hay f ) BIẾN THIÊN, 
 ĐIỆN ÁP HIỆU DỤNG ĐẠT CỰC TRỊ: max
RU ; ; ; ;
max max max max
L C RL RCU U U U 
I.Thay đổi tần số ω (hay f) để điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực trị max
RU : 
 Ta có hiện tượng cộng hưởng: max
RU U ; khi đó R
1
ω = ω =
LC
CH 
a.Chứng minh: 
2 2 2 2 2
min
. .R .
.
( ) ( ( ) ) 0
max
R R
L C L C
U R U U R
U I R U U
R Z Z R Z Z R
     
    
. 
 khi đó: ZL =ZC => R
1
ω = ω =
LC
CH .ĐPCM 
b.Các hệ quả: 
1
R CH
LC
     => 
CL ZZ  , do đó RZ min  max
min
I
U U
Z R
  
 URmax=U; Pmax =
2
max
U
P
R
 ; ULCMin= 0. Lưu ý: L và C mắc liên tiếp nhau. 
c. Đường cong cộng hưởng của đoạn mạch RLC mắc nối tiếp. 
Trên đồ thị thực nghiệm cho thấy R càng nhỏ thì 
hiện tượng cộng hưởng càng rõ nét và ngược lại. 
( R tương tự như Fcản trong dao động cơ) 
d. Điều kiện để có hiện tượng cộng hưởng. 
 1
2  LCZZ CL  
c. Các ví dụ: ( Phần này khá dễ , quá quen thuộc! ) 
Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Biết R = 50, 1L

 H. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một 
điện áp xoay chiều 220 2 cos100u t (V). Biết tụ điện C có thể thay đổi được. 
 a. Định C để điện áp đồng pha với cường độ dòng điện. 
 b. Viết biểu thức dòng điện qua mạch. 
Bài giải: 
 a. Để u và i đồng pha: 0  thì trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện. 
  ZL = ZC 
1
L
C


  
 
4
2
2
1 1 10
1
100 .
C
L 


    F 
 b. Do trong mạch xảy ra cộng hưởng điện nên Zmin = R 
min
220 2
4,4 2
50
o o
o
U U
I
Z R
     (A) 
 Pha ban đầu của dòng điện: 0 0 0i u       . Vậy 4,4 2 cos100i t (A) 
Ví dụ 2 (ĐH-2009): Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 120V, tần số 50 Hz vào hai đầu đoạn mạch 
mắc nối tiếp gồm điện trở thuần 30 , cuộn cảm thuần có độ tự cảm 
0,4

(H) và tụ điện có điện dung thay đổi 
được. Điều chỉnh điện dung của tụ điện thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại bằng 
 A. 150 V. B. 160 V. C. 100 V. D. 250 V. 
Giải:
. .
40 ; . L LL LMAX MAX L
MIN
U Z U Z
Z U I Z
Z R
      120.40/30=160V (cộng hưởng điện). Chọn B 
I 
0 
 
R1 
R
U
1
R
LC
  
R2 
R2 
(R2>R1) 
C 
A B 
R L 
2 
Ví dụ 3: Cho mạch điện không phân nhánh gồm R = 40, cuộn dây có r = 20 và L = 0,0636H, tụ điện có 
điện dung thay đổi. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có f = 50Hz và U = 120V. Điều chỉnh 
C để điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại, giá trị đó bằng: 
 A. 40V B. 80V C. 46,57V D. 40 2 V 
Giải . Ta có: 2 . 2 .50.0,0636 20LZ f L     . 
Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây: Ud = I.Zd . Vì Zd không phụ thuộc vào sự thay đổi của C nên Ud đạt giá 
trị cực đại khi I = Imax. Suy ra trong mạch phải có cộng hưởng điện. Lúc đó: 
max
120
2
40 20
U
I
R r
  
 
(A) ; 
2 2 2 220 20 20 2d LZ r Z      . 
 max . 2.20 2 40 2 56,57d dU I Z       (V). Chọn D. 
Ví dụ 4: Một mạch điện không phân nhánh gồm điện trở R=100 ,cuộn thuần cảm có L thay đổi được và tụ 
có điện dung C. Mắc mạch vào nguồn có VtCosu )
6
100(2100

  . Thay đổi L để điện áp hai đầu điện 
trở có giá trị hiệu dụng UR=100V. Biểu thức nào sau đây đúng cho cường độ dòng điện qua mạch: 
A. )
6
1002

  tCosi (A) B. )
6
100(

  tCosi (A) 
C. )
4
100(2

  tCosi (A) D. )100(2 tCosi  (A) 
Giải: Theo đề ta có U=100V, UR=100V. Vậy UR=U, do đó trong mạch xảy ra cộng hưởng điện. 
 + Lúc này i cùng pha với u và I= A
R
U
1
100
100
 
 +Do i cùng pha với u -> I0= 2I = A2 => )
6
100(2

  tCosi (A) Chọn A 
Ví dụ 5: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. 
Biết R = 200, 
2
L

 H, 
410
C


 F. Đặt vào hai đầu 
mạch điện một điện áp xoay chiều 100cos100u t (V). 
a. Tính số chỉ của ampe kế. 
b. Khi R, L, C không đổi để số chỉ của ampe kế lớn nhất, thì tần số dòng điện phải bằng bao nhiêu? Tính số 
chỉ ampe kế lúc đó. (Biết rằng dây nối và dụng cụ đo không làm ảnh hưởng đến mạch điện). 
Bài giải: 
 a. Cảm kháng: 
2
100 . 200LZ L 

    ; Dung kháng: 
4
1 1
100
10
100 .
CZ
C



    
 Tổng trở của mạch:    
2 22 2200 200 100 100 5L CZ R Z Z        
 Ta có : 
100 1
100 5 5
o
o
U
I
Z
   (A) ;Số chỉ của ampe kế : 
1
0,32
2 5. 2
o
A
I
I I    (A) 
 b. Ta có: 
 
22
L C
U
I
R Z Z

 
; Để số chỉ của ampe kế cực đại IAmax thì Zmin 0L CZ Z   
 L CZ Z  (cộng hưởng điện); 
1
2 .
2 .
f L
f C


  
4
1 1
35,35
2 2 10
2 .
f
LC

 

    Hz 
 Số chỉ ampe kế cực đại: IAmax = 
max
min
100
0,35
2.200
U U
I
Z R
    (A) 
C L 
M 
A B 
R 
A 
3 
II.Tìm tần số góc ω (hay f) để điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực trị 
max
L LU U . 
(Lưu ý muốn max
LU ta phải tăng ZL nghĩa là tăng ω) 
1.Định hướng tư duy và phương pháp tiếp cận kiến thức: 
Cách 1. Dùng phương pháp bội tần số và chuẩn hóa lập công thức 
2
1
1
max
L
U
U
n


hay 
21
max
L
U
U
n


-Giả sử khi có hiện tượng cộng hưởng thì: ZL = ZC = a.R. 
Khi đó: +
1
R CH
LC
   (1) 
 +
2
2 2
2
1
.L C
L CR
Z Z a R
C a L
    (2) 
-Để dễ biến đổi ta chuẩn hóa chọn R = 1 => khi có cộng hưởng thì ZL = ZC = a 
-Từ tần số góc 
R CH  , giả sử ta tăng tần số góc lên n lần ( n > 1). 
( n là hệ số nhân làm thay đổi tần số từ 
R CH  đến L làm cho 
max
LU ) 
Khi đó cảm kháng là .LZ n a và dung kháng là C
a
Z
n
 
Ta có: 
2
2 2
.
.
1 1 1
1 ( ) (2 ) 1
L L
a n U U
U Z I
a
a n
n a nn
  
    
Suy ra max
L LU U khi mẫu số của hàm UL cực tiểu: [ x = -b/(2a) trong hàm bậc 2; Với 
1
x
n
 ] 
 => 
2
2 2
1
(2 )
1 1 1 1
1
2 2 2
na
n a a n


     (3) 
=> 
2
1
1
max
L
U
U
n


 hay 
21
max
L
U
U
n


 (4) ( ĐPCM) 
Từ (2) ta có: 
2
2
1
2 2
CR
a L
 thay vào (3) ta được: 
2 1
2
CR n
L n

 ( n >1 ) 
Hay: 
2 1
1
2
CR
L n
  => 
21
1
2
CR
n L
  (5) 
Từ (5) nếu cho R;L;C ta tìm được n.(Với n >1 là hệ số nhân làm thay đổi tần số:Phương pháp bội tần số ). 
*Như vậy, để tìm ω làm cho max
LU , ta làm theo các bước sau: 
Bước 1: Tính: 
1
R CH
LC
   ( Nếu đề bài cho L và C). Biểu thức này khá quen thuộc! 
Bước 2: Tính n thông qua biểu thức:
2 1
2
CR n
L n

 ( Chỉ lấy nghiệm n > 1 do tăng ω) 
Bước 3: Tính ωL làm cho 
max
LU là : .L R
n
n
LC
   
Bước 4: Tính max
LU theo biểu thức: 
2
1
1
max
L
U
U
n


 hay 
21
max
L
U
U
n


Cách 2. Dùng phương pháp “Chuẩn hóa” thiết lập công thức: 
2
1
1
max
L
U
U
n


 hay 
21
max
L
U
U
n


4 
 Ta có:
 
2 22
2 2 4 2
1 1 1
. 2 1 1.
2
L
L
L C
UZ U U
U
yCRR Z Z
L C L LC 
  
  
   
 
; 
Ở đây ta khéo đặt 
2
11 1
2
CR
n
n L
   ( n là hệ số mà ta chưa biết ý nghĩa của nó) 
Ta viết lại: 
2 2 4 2
.
(Z ) 2
1
L
L
L C R R
U Z U
U
R Z
n
 
 
 
     
    
   
 Với 
1
R CH
LC
   
*Hàm số y đạt giá trị cực tiểu khi và chỉ khi 
2
b
x
a
  hay 
2
1
2
R
L
n


  
trong trường hợp này ω1 = ω2 = ωL (phương trình y = 0 có nghiệm kép) 
=> 
 L
n
LC
  hay .L Rn  thay vào biểu thức của y ta được min 2
1
1y
n
  
Tiếp tục thay vào L
U
U
y
 ta được 
2
1
1
max
L
U
U
n


 hay 
21
max
L
U
U
n


* Ý nghĩa: .L Rn  => n là hệ số nhân tần số làm tăng từ R CH  đến L làm cho 
max
LU ) 
Cách 2b. Dùng phương pháp “Chuẩn hóa” gọn: 
 Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm: 
L
2 2
2
2 2 4 2 2 2 2
U U U
U L .
y1 1 R 11
. 2 1 1.R L
L C 2L L CC
   
  
      
    
Đặt 
2
1
L R
L max
4 2
L
21R RR
CR
n. n 1 
U2L
U max U
U1
 1 n2n 1LC



   

    
                  
Bảng chuẩn hóa Khi UL cực đại: 
Khi UL cực đại: 
L
C
ω
n =
ω
 hay 
2
1
n
R C
1
2L


hay 
21
1
2
 
L C
R
n Z Z
=> 
2 1
1
2
 
L C
R
Z Z n
 ; 
C
L
ω 1
=
ω n
R ZL ZC Z cos tan 
2n 2 n 1 2n 1 2
cos
n 1
 

n 1
tan
2n 2

 

Cách 3. Dùng phương pháp toán học khảo sát hàm số (truyền thống): 
-Lập biểu thức điện áp hiệu dụng hai đầu L: 
2
22
2 2 4 2 2
1 1 11 . 2 1
L
L L
UZ U U
U IZ
yL
RR L
L C C LC

 
   
            
 Đặt 
2 2
1
a
L C
 , 2
2
2 1L
b R
C L
 
  
 
 , 1c  , 
2
1
x

 2y ax bx c    
 + ULmax khi ymin. Tam thức bậc hai y đạt cực tiểu khi 
2
b
x
a
  (vì a > 0). 
5 
 +  
2
2 2
min 2
4
4 4
R
y LC R C
a L

    => max
2 2
min
2
4
L
U UL
U
y R LC C R
 

=> 
2
1
1
max
L
U
U
n


-Tần số làm cho max
LU : 
2 2
2
2
L
LC R C
 

Hay 
L
1
.
2 2R CR
2 2
1
ω =
L
- 1-
1 1
C
C
n
LC LC
L

 =>
Lω = . CHn ( Với 
2 1
1
2
CR
L n
  ; điều kiện: 
2
2L > CR ) 
-Công thức thường dùng cũ: 
2
L
C
maxL
Z
Z
1
U
U







 => 1
Z
Z
U
U
2
L
C
2
LM AX












 => 1
Z
Z
Z
Z
2
L
C
2
L












 => 2C
22
L ZZZ  
 => 2tanRC.tanRLC = – 1 => 
2 2
2
2
1R
LMAX L
U
U


   
    
   
2.Các ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1: Một đoạn mạch không phân nhánh gồm: điện trở thuần 100 Ω, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 15 
mH và tụ điện có điện dung 1 μF. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều có tần số thay đổi được. 
Khi điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại thì tần số góc có giá trị là 
A. 20000/3 (rad/s). B. 20000 (rad/s). C. 10000/3 (rad/s). D. 10000 (rad/s) 
 Hướng dẫn: 
Cách 1: Dùng phương pháp bội tần số và chuẩn hóa. Ta có: 
1
R CH
LC
   
 Tính hệ số nhân tần số n thông qua biểu thức 
2 1
2
CR n
L n

 ( Chỉ lấy nghiệm n > 1 ) 
2 6 2
3
1 10 100 1 1 1
2 2.15.10 3
CR n n n
L n n n


  
     => 1,5n  
 Tính tần số ω làm cho max
LU là 
4
3 6
1,5
10 /
15.10 .10
L
n
rad s
LC

 
   Chọn D. 
Cách 2:
Dùng phương pháp “Chuẩn hóa” . 
*Tính: 
2
1
2 6
3
1 1
1 1,5
10 .1002
1 1
2 2.15.10
CR
n n
CRL
L



     
 
 *Ta có 
maxLU khi 
4
3 6
1,5
10
15.10 .10
L
n
LC

 
    (rad/s) Chọn D. 
Ví dụ 2: Đặt điện áp 100 2 cos( )( )u t V ( (tần số thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch không phân 
nhánh gồm điện trở thuần 100 Ω, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 15 mH và tụ điện có điện dung 1 μF, 
điều chỉnh tần số góc để điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại. Giá trị cực đại đó là 
 A. 50 V B. 60 V C. 60 5 V D. 50 5 
 Hướng dẫn: 
Cách 1: Dùng phương pháp bội tần số . Ta có: 
1
R CH
LC
   
 Tính hệ số nhân tần số n thông qua biểu thức 
2 1
2
CR n
L n

 ( Chỉ lấy nghiệm n > 1 ) 
6 
2 6 2
3
1 10 100 1 1 1
1,5
2 2.15.10 3
CR n n n
n
L n n n


  
       
 Tính 
2
1
1
max
L
U
U
n


 =>
2
2
100
60 5
2
1
3
max
LU V 

Cách 2:
Dùng phương pháp “Chuẩn hóa”. 
*Tính: 
2
1
2 6 2
3
1 1
1 1,5
10 1002
1 1
2 2.15.10
CR
n n
CRL
L



     
  
2 2
100
60 5
1 1 1,5
max
L
U
U V
n 
  
 
. Chọn C. 
Cách 3: Dùng công thức truyền thống: 
ax
2 2 2 4 2
2
2 .
4
4
Lm
U L U
U
R LC R C R C R C
L L
 


 Thế số: 
ax
2 4 2 2 6 4 12
2 3 2 6
100 100
60 5
10 1100 .10 100 .10
15 94 15.10 4.15 .10
Lm
U
U V
R C R C
L L
 
 
   
 
. 
 Nhận xét: Dùng công thức 
21 


max
L
U
U
n
 sẽ nhanh hơn, đơn giản hơn công thức truyền thống! 
Ví dụ 3. Cho mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp, cuộn dây thuần cảm có L. R= 100Ω, L= 1/π (H) và 
C=
410
F


 Điện áp đặt vào hai đầu mạch có biểu thức u = 220 2 cos(2πft) (V) với f thay đổi được. Thay đổi 
f để cho điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại thì giá trị cực đại đó gần với giá trị nào dưới đây 
nhất? 
 A. 250 V B. 220 V. C. 240 V. D. 230 V. 
 Hướng dẫn: Dùng phương pháp “Chuẩn hóa”. 
*Tính: 
2
1
2 4
2
1 1
1 2
102
1 100
2 1
1
2.
CR
n n
CRL
L 



     


2 2
220 220.2
254
31 1 2
max
L
U
U V
n 
   
 
. Chọn A. 
Ví dụ 4. Cho mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp, cuộn dây thuần cảm có L. Điện áp đặt vào hai đầu mạch 
có biểu thức u = 220 2 cos(2πft) (V) với f thay đổi được. Khi cho f = f1 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản 
tụ và giữa hai đầu điện trở bằng nhau. Khi f = f2 = 1,5f1 thì điện áp giữa hiệu dụng giữa hai đầu điện trở và 
giữa hai đầu cuộn cảm bằng nhau. Nếu thay đổi f để cho điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị 
cực đại thì giá trị cực đại đó gần với giá trị nào dưới đây nhất? 
 A. 250 V B. 227 V. C. 270 V. D. 230 V. 
 Hướng dẫn: Dùng phương pháp “Chuẩn hóa”. 
 *Khi 
1 1 1C R Cf f U U Z R     chuẩn hóa 
1
1
1
1
C
L
Z
R
Z k

 

 2
2 2
1
2 1 2
2 2
1,5 
2
1,5 2(1 ) 42 / 3 
3
1
L
L
Z R
C
L C
Z k
R
f f k n nZ
Z Z
R



        


 *Khi đó  max
2 2
220
227
1 1 4
L
U
U V
n 
  
 
 Chọn B. 
7 
III. Tìm tần số góc ω để để điện áp hiệu dụng hai đầu tụ C đạt cực trị 
max
C CU U . 
( Lưu ý muốn 
max
CU ta phải tăng ZC nghĩa là giảm ω) 
1.Định hướng tư duy và phương pháp tiếp cận kiến thức: 
Cách 1. Dùng phương pháp bội tần số và chuẩn hóa lập công thức: 
* Từ tần số góc 
R CH  , giả sử ta giảm tần số góc xuống n lần (nghĩa là chia cho n với n > 1). 
Với cách làm tương tự mục II ở trên ta cũng tìm được n; với 
1R
C
n nLC

   làm cho max
CU là: 
2 1
2
CR n
L n

 và 
1R
C
n nLC

   ta có: max
2
1
1
C
U
U
n


 hay 
max
21
C
U
U
n


Cách 2. Dùng phương pháp “Chuẩn hóa” thiết lập công thức: 
2
1
1
max
C
U
U
n


 hay 
21
max
C
U
U
n


Ta có: 
2 2
2 2 4 22
1
.
1
2 1 1
2
C C
U
U UCU IZ
yR C
L C LCR L
LC

 

   
         
   
Ở đây ta khéo đặt 
2
11 1
2
CR
n
n L
   ( n là hệ số mà ta chưa biết ý nghĩa của nó) 
Ta viết lại: 
2 2 4 2(Z ) 2
1
C
C
L C C C
R R
UZ U
U
R Z
n
 
 
 
     
    
   
 Với 
1
R CH
LC
   
*Hàm số y đạt giá trị cực tiểu khi và chỉ khi 
2
b
x
a
  hay 
2
1
2
C
R
n


  
trong trường hợp này ω1 = ω2 = ωC (phương trình y = 0 có nghiệm kép) 
=> 
1 R
C
nLC n

   thay vào biểu thức của y ta được min 2
1
1y
n
  
Tiếp tục thay vào C
U
U
y
 ta được 
2
1
1
max
C
U
U
n


 hay 
21
max
C
U
U
n


* Ý nghĩa: Từ RC
n

  thì
1
n
 là hệ số nhân tần số làm giảm từ 
R CH  xuống C làm cho 
max
CU ) 
Cách 2b. Dùng phương pháp “Chuẩn hóa” gọn: 
Điện áp hiệu dụng trên tụ điện: 
2 2
2 2 4 22
1
.
1
2 1 1
2

 

  
         
   
C
U
U UCU
yCR
L C LCR L
LC
Đặt 
2
1
C R
C max
4 2
C
21R
R R
CR
/ n n 1 
U2L
U max U
U1
 1 n2n 1LC



   

    
                 
8 
2. Hệ quả: L
2
C
1
n
CR
1
2L

 


; 
2
R L C
C R L
    

    
Bảng chuẩn hóa: Khi UC cực đại: L
2
C
1
n
R C
1
2L

 


Hay : 
21
1
2
 
L C
R
n Z Z
=> 
2 1
1
2
 
L C
R
Z Z n
R ZL ZC Z cos tan 
2n 2 1 n 2n 1 2
cos
n 1
 

1 n
tan
2n 2

 

Cách 3. Dùng phương pháp toán học truyền thống khảo sát hàm số: Tương tự như phần II. 
Ta được: 
* Các công thức truyền thống: 
 -Tần số ω để UCmax: 
2
C C
2CR 1
(1 )
2
1 L R
ω = - ω =
L C 2 LC
1 CH
L nLC n

    ( Với 
2 1
1
2
CR
L n
  ) 
 (điều kiện: 
2
2L > CR ) ; 
Cmax
2 2
2.U.L
U
R. 4LC - R .C
 => 
2
1
1
max
C
U
U
n


 => max
2
.
1
C
L
C
U
U
Z
Z

 
  
 
 => 
2 2
1.L
CMAX C
ZU
U Z
   
    
   
=> 
2 2
1.L
C C
ZZ
Z Z
   
    
   
 => 2L
22
C ZZZ  => 2tanRL.tanRLC = – 1 
=> 1
U
U
2
2
0
2
C
2
CMAX














ω
ω
 . 
2
CMAX
222
CMAX
2
CMAX
42
RU
U)UU(
P
RU
U
R
U
P

 
IV. Sơ đồ trục tần số góc ω (hay tần số f ): 
 1. Sơ đồ trục tần số: 
+Từ biểu thức L
n
LC
  và sơ đồ trục ω cho ta ý nghĩa của n là hệ số nhân làm thay đổi tần số 
và cho biết mối liên hệ giữa ; ;C R L   như sau: 
 2. Các công thức hệ quả : Từ sơ đồ trục ω ta suy ra: 
2 2 1
L C R CH
LC
      
 Dựa vào sơ đồ trục ω ta có: 
C
L
ω 1
=
ω n
 hay 
L
C
ω
n =
ω
 ;
1CH
L n


 ; 
1C
CH n


 ; (6) 
 a.Từ sơ đồ trục ω, ta suy ra các công thức cho max
CU của mục III ở trên: 
Thay (6) vào 
2
1
1
max
C
U
U
n


 , ta có các hệ quả sau: 
CH
C
n

  R CH 
.L CHn 
 
max
RU 
max
LU 
max
CU 
Chia cho n Nhân với n 
9 
41 ( )
max
C
CH
L
U
U




; 
41 ( )
max
C
C
CH
U
U




; 
21 ( )
max
C
C
L
U
U




 hay 
21 ( )
max
C
C
L
U
U
f
f


* Khi max
CU thì 
2
2 2
1
1
L C
C CH
C L C C
C
Z L
Z
n
Z Z LC
C


 



   


 =>
21 ( )
max
C
L
C
U
U
Z
Z


 b.Từ sơ đồ trục ω, tương tự ta cũng có các công thức cho max
LU của mục II ở trên: 
Thay (6) vào 
2
1
1
max
L
U
U
n


 ,ta có các hệ quả sau: 
* 
41 ( )
max
L
CH
L
U
U




; 
41 ( )
max
L
C
CH
U
U




; 
21 ( )
max
L
C
L
U
U




hay 
21 ( )
max
L
C
L
U
U
f
f


* Khi max
LU thì 
2
2 2
1 1
1
L L
C CH
C L L L
L
Z L
Z
Z Z LC n
C


 



   


 =>
21 ( )
max
L
C
L
U
U
Z
Z


c Kết luận: Từ tần số góc 
1
R CH
LC
   ( cộng hưởng) : 
Muốn max
CU thì ta giảm tần số góc xuống n lần, hoặc muốn 
max
LU thì tăng tần số góc lên n lần 
V. Các công thức truyền thống khi tần số thay đổi ( nhắc lại ) 
 Nếu đặt 
2L R
X = -
C 2
 ta có thể viết lại: 
L
1
ω =
X.C
 và 
C
X
ω =
L
 . Suy ra: 
2
R L C
1
ω = ω .ω =
LC
 Từ điều kiện: 
2
CR
L >
2
 như trên ta có thể chứng minh được: 
C R L
ω < ω < ω . 
=>khi ω tăng dần thì điện áp trên các linh kiện sẽ lần lượt đạt cực đại theo thứ tự: C, R, L. 
 Khi UCmax : 
2
L
L R
X = Z = -
C 2
. 2
L C L
R = 2Z . Z - Z . 
C LL
Z - ZZ 1
. =
R R 2
. .Đặt: C LL
1 2
Z - ZZ
tanα = ; tanα =
R R
.
1 2
1
tanα .tanα =
2
. 
- Từ hình vẽ, ta có: 2 2 2C LZ Z Z  
max
2 2
2
4


C
UL
U
R LC C R
 Khi ULmax :Tương tự như trên ta có các công thức sau: 
2
C L C
2 2 2
L C
1 2
R = 2Z Z - Z
Z = Z + Z
1
tanα .tanα =
2
;
;
.
 max max
2 2
2
4
 

L C
UL
U U
R LC C R
10 
VI. Đồ thị biểu diễn các điện áp hiệu dụng UC, UR, UL theo tần số ω (hay f) . 
 1. Các đồ thị UC, UR, UL theo tần số ω (hay f): 
 Hàm UC: Tồn tại hai giá trị 21, để UC bằng nhau. Khi đó 
22
2
2
1 2 C  
 Hàm UR: URmax = U .Tồn tại hai giá trị 21, để 21 RR UU  (hoặc 21 II  ) . 
 Khi đó: 2021   và 2121 coscos   
 Hàm UL: Tồn tại hai giá trị 21, để UL bằng nhau. Khi đó 22
2
2
1
211
L
 . 
 2. Các công thức hệ quả : Từ sơ đồ trục ω ta suy ra: 
2 2    L C R CH 
 Dựa vào sơ đồ trục ω ta có: 
1CH
L n


 ; 
1C
CH n


 ; 
1C
L n


 
 3. Các Ví dụ: 
Ví dụ 1. Đặt điện áp u = U0cos2πft (U0 không đổi, f thay đổi 
được) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp theo thứ tự gồm 
cuộn cảm thuần L, điện trở R và tụ điện C. Hỉnh vẽ bên là đồ 
thị biểu diễn sự phụ thuộc của điện áp hiệu dụng trên L và trên 
C theo tần số f. Tần sổ cộng hưởng của mạch là 
A. 120 Hz B. 100 Hz. 
C. 144 Hz. D. 122 Hz 
Giải: 
2 2
100.144