Chuyên đề Đại số Lớp 9: Phương trình bậc hai chứa tham số

Chuyên đề : Phương trình bậc hai chứa tham số
Bài toán 1 : Giải phương trình bậc hai có chứa tham số .
Phương pháp : Xét các trường hợp của hệ số a :
	- Nếu a = 0 thì tìm nghiệm phương trình bậc nhất .
	- Nếu a 0 thì tiến hành các bước sau:
	+ Tính biệt số .
	+ Xét các trường hợp của ( Nếu chứa tham số ).
	+ Tìm nghiệm của phương trình theo tham số.
	Bài 1 : Giải phương trình bậc hai ( m là tham số ) sau :
	a) x2 - 2(3m - 1)x + 9m2 - 6m - 8 = 0
	b) x2 - 3mx	+ 2m2 - m - 1 = 0
	c) 3x2 - mx + m2 = 0
	d) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
	HDẫn :	a/ = 9 ; x= 3m + 2 , = 3m - 4
	b/ = (m + 2)2 : + m-2 : x= 2m + 1 , = m - 1
 + m =-2 : x = -3 ( nghiệm kép)
 c/ = -11m2 : + m = 0 : x = 0 ( nghiệm kép)
 + m 0 : PT vô nghiệm.
 d/ = m2 - 3m + 4 = (m - )2 + > 0 :+ x= m - 1 + 
	 + = m - 1 - 
	Bài 2 : Giải phương trình (m là tham số) :
	(m - 1)x2 - 2mx + m + 2 = 0	
	HDẫn :	* m =1	 : x = 
	* m 1	 : = 2 - m
	+ m > 2 	: Vô nghiệm.
	+ m = 2 : x = 2 (nghiệm kép )
	+ m < 2 : ; 
Bài 3 : Giải phương trình (m là tham số) :
	(m - 1)x2 + 3mx + 2m + 1 = 0
	HDẫn :	+ m = 1	: x =-1
+ m1	 :x=-1 ; x=
	Bài 4 : Giải phương trình (m là tham số) :
	x2 - 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0
	HDẫn : =m2 - 9	Nếu : -3<m<3 : Vô nghiệm
	Nếu thì ( nghiệm kép)
	 Nếu thì 
Bài 5 : Giải phương trình (m là tham số) :
	(4m2 + 4m + 1)x2 - 2m(2m + 1)x + m2 = 0
	HDẫn : m =- vô nghiệm.
	 m - , =0 : x = (nghiệm kép)
Bài toán 2 : Tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm kép,có hai nghiệm 
	 phân biệt, có nghiệm,vô nghiệm.
Phương pháp: Điều kiện để phương trình bậc 2 có :
	- Nghiệm kép 
	- Hai nghiệm phân biệt 
	- Có nghiệm :+Xét a= 0 (Nếu a chứa tham số )
	+Xét 
	- Vô nghiệm : + Xét a= 0
	+ Xét 
	Bài 6 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :	
a) 2x2 - 4x + m = 0
(m < 2)
b) 5mx2 - 4x - 3m = 0
(m)
c) mx2 - 3x + m = 0
(- , m )
Bài 7 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm kép :
a) 3x2 - 2mx + 1 = 0
(m = )
b) 4mx2 - 6x - m - 3 = 0
(m = - )
c) (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + 4 = 0
(m = 7 hoặc m = -1)
Bài 8 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau vô nghiệm :
a) 3x2 + 2mx + 4 = 0
(-2<m< 2)
b) x2 - (2m + 3)x + m2 = 0
(m <-)
c) m2 x2 + mx + 3 = 0
(m)
	Bài 9 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :
	a) mx2 - 2(m + 1)x + m + 3 = 0
	b) (m2 - m)x2 + 2mx + 1 = 0
	HDẫn : a/ + m = 0	: x = 	
	 + m 0	: m 1
	 b/ + m = 0 	: Vô nghiệm.
	 + m = 1	: x =-
	 + m , m 	: m > 0
	Bài 10 : Cho phương trình : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0 
	Tìm các giá trị của m để phương trình :
	a) Có nghiệm kép .
	b) Có 2 nghiệm phân biệt.
	c) Vô nghiệm .
	HDẫn :	a/ 
	b/ 
	c/ + m = 0	: Có nghiệm.
	 + m 	: 
	Bài 11 : 
	a) Tìm các giá trị nguyên dương của k để phương trình : 
	x2 - 4x + k = 0 có 2 nghiệm phân biệt.	( k = 1; 2; 3 )
	b) Tìm các giá trị nguyên âm của m để phương trình : 
	2x2 - 6x + m + 7 = 0 có 2 nghiệm phân biệt.	( m = -3; - 4; - 5; ......)
	Bài 12 : Cho phương trình (m là tham số) :
	(2m - 7)x2 + 2(2m + 5)x - 14m + 1 = 0
	Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép đó.
	HDẫn : 	
	+ Với m = 2	: x = 3
	+ Với m = 	: x = 1	
	Bài 13 : Cho phương trình (m là tham số) : (m + 3)x2 + 3(m - 1)x + (m - 1) (m + 4) = 0
	Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
	HDẫn : 
Bài toán 3 : Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc 2 nhận một số k (k R) cho
	 trước làm nghiệm .
Phương pháp :
	- Thay giá trị x = k vào phương trình tìm tham số.
	- Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào hoặc để tìm nghiệm còn lại 
	 (nếu cần).
	Bài 14 : Xác định giá trị của tham số m để phương trình :
	a) (3m + 4)x2 - (5m - 1)x + m - 3 = 0 nhận 3 làm nghiệm. ( m = -)
	b) (m2 + 1)x2 + (3m - 4)x + m - 11 = 0 nhận - 2 làm nghiệm. ()
	Bài 15 : Tìm giá trị của m để phương trình :
	a) mx2 - 3x - 5 = 0 có một nghiệm bằng -1. ( m = 2 )
	b) x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 có một nghiệm bằng 3. ( m = 2 )
	Bài 16 : Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 1.Tìm nghiệm còn lại :
	a) 2x2 - 3x + m = 0 ( m = 1 , )
	b) 3x2 + 7x + m = 0 ( m = -10 , ) 
	Bài 17 : Với giá trị nào của k thì phương trình :
	a) 2x2 + kx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5.Tìm nghiệm còn lại .
	b) k 2x2 - 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.Tìm nghiệm còn lại . 
	c) (k - 4)x2 - 2kx + k - 2 = 0 có một nghiệm bằng .Tìm nghiệm còn lại . 
	HDẫn : 	a/ k = 8 , x= - 1	
	 	b/ k = , x 
	c/ k = 7 , x 
	Bài 18 : Cho phương trình (2m - 1)x2 - 4mx + 4 = 0 (1)
	Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm bằng m.
HDẫn :+ ta có : ; 
	Phương trình có nghiệm bằng m thì 
	+ m = phương trình (1) có nghiệm x = 2 không thoả mãn.
	Bài 19 : Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm tất cả các số nguyên m để 
	phương trình (1) có nghiệm nguyên. 
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 
	 * m : 	 m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 ; 
	Bài 20 : Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . Xác định m và n để phương trình có 2 
 nghiệm là 3 và -2.	
	HDẫn :	 
	Bài 21 : Tìm m, n để phương trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là :
mx2 + (mn + 1)x + n = 0
	HDẫn :	 
Bài 22 : Xác định các số m, n của phương trình: x2 + mx + n = 0 sao cho các nghiệm của 
	phương trình cũng là m và n. 
HDẫn : * = m2 - 4n ≥ 0
	* 
Bài toán 4 : Chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm .
	Phương pháp : 
	- Cách 1 : Chứng minh 
	- Cách 2 : Chứng minh ac < 0
	( Chú ý : Cả 2 cách đều phải xét các trường hợp a = 0 và a 0 nếu a chứa tham số ) 
	Bài 23 : CMR các phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m :	
a) x2 + (m + 1)x + m = 0 
d) x2 + 4x - m2 + 4m - 9 = 0 
b) x2 - mx + m - 4 = 0 
e) (m + 1)x2 + x - m = 0 
c) -3x2 + 2(m - 2)x + 2m + 5 = 0 
f) x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0 
( dùng ac < 0 )
	Bài 24 : CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ) có nghiệm, biết rằng 5a + 2c = b .	
	HDẫn : = b2 - 4ac = (5a + 2c)2 - 4ac = ( 4a + 2c)2 + 9a2 
	Bài 25 : Cho phương trình mx2 - (2m - 1)x + m = 0 (1) .Gọi là 2 nghiệm của phương 
	trình (1) . Chứng minh rằng nếu thì phương trình (1) có nghiệm kép.
	HDẫn :+ 
	 + kết luận ?
	Bài 26 : CMR phương trình sau có nghiệm với mọi a, b, c :
	a) x.(x - a) + x.(x - b) + (x - a).(x - b) = 0
	b) (x - a).(x - b) + (x - b).(x - c) + (x - c).(x - a) = 0
	c) a.(x - b).(x - c) + b.(x - c).(x - a) + c.(x- a).(x - b) = 0 (Với a + b + c 0)
	HDẫn :	a/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab = 0
	=(a -)2+
	b/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0
	c/ (a + b + c)x2 - 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0	
	 = a2b2 + b2c2 + c2a2 - a2bc - ab2c - abc2	
 = 0
	Bài 27 : Cho phương trình (a, b là tham số ) :
	ax2 + (ab + 1)x + b = 0
	a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm.
	b) Tìm giá trị của a, b để phương trình có một nghiệm kép là .
	HDẫn :	a) a = 0 : x = b
	 a0 : = (ab-1)2 0
	b) 
Bài 28 : CMR : Nếu phương trình cx2 + bx + a = 0 (1) có nghiệm 
	 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 (2) cũng có nghiệm .
	HDẫn : = b2- 4ac = 
	Bài 29 : CMR phương trình sau có nghiệm với mọi a và b :
x2 + (a + b)x - 2(a2 - ab + b2) = 0
	HDẫn := (3a + b)2+ 8b
Bài toán 5 : Chứng minh ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm .
	Phương pháp : 
- Tính các biệt số .
- Chứng minh hoặc để suy ra một biệt số không âm (Chú ý kết hợp giả thiết nếu có)
	Bài 30 : Cho hai phương trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)
	CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .
	HDẫn : 26 > 0 có 1 biệt số không âm .
	Bài 31 : Cho hai phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (1) và ax2 + bx - c = 0 (2)
	CMR với mọi a, b, c ít nhất 1 phương trình có nghiệm .
	HDẫn : 2 có 1 biệt số không âm .
	Bài 32 : Cho hai phương trình : x2 + (m - 1)x + m2 = 0 (1) và x2 + 2mx - m = 0 (2)
 	CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .
	HDẫn : (m + 1)2 0 có 1 biệt số không âm .
	Bài 33 : Cho hai phương trình : x2 - 3x - a - 2 = 0 (1) và x2 + ax + 1 = 0 (2)
CMR với mọi a trong 2 phương trình trên luôn có ít nhất 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt.
	HDẫn : (a +2)2+ 9 > 0 có 1 biệt số lớn hơn 0 .
	Bài 34 : Cho hai phương trình : x2 + (m - 2)x += 0 (1) 
	 và 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2)
	CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .
	HDẫn : ; 
	 có 1 biệt số không âm .
	Bài 35 : Cho b, c là các số thoả mãn : . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương 
trình sau có nghiệm : x2 + 2bx + c = 0 và x2 + 2cx + b = 0 .
	HDẫn : có 1 biệt số không âm .
	Bài 36 : Cho hai phương trình bậc hai : x2 + ax + b = 0 (1) và x2 + cx + d = 0 (2)
	Biết b + d = . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm .
	HDẫn : (a - c)2 0 có 1 biệt số không âm .
	Bài 37: Cho hai phương trình bậc hai : x2 + và x2 + có các hệ số thoả 
	mãn điều kiện : . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có 
nghiệm .
HDẫn : Giả sử 2 phương trình vô nghiệm :
	 < 0
 0 
	 ( mâu thuẫn với giả thiết)
bài toán 6:Tìm giá trị của tham số để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
	Phương pháp : 
	* Cách 1 : 
	 - Giả sử là nghiệm chung, lập hệ 2 phương trình ( ẩn x và tham số )
 - Giải hệ phương trình tìm , tìm tham số .
 - Thử lại : Thay các giá trị của tham số vào từng phương trình, giải các 
	phương trình, tìm nghiệm chung.
Rút kết luận .
* Cách 2 : - Rút tham số từ 1 phương trình đã cho 
	 - Thế giá trị của tham số vào phương trình còn lại tìm x .
 - Thay giá trị của x tìm m .
 - Rút kết luận .
	Bài 38 : Với giá trị nào của k thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung :
	x2 - (k + 4)x + k + 5 = 0
	x2 - (k + 2)x + k +1 = 0
	HDẫn : x= 2 ; k = 1
	Bài 39 : Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + 2 = 0
	HDẫn : (m -2)x= m - 2 : + m =2 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +2 = 0 ( vô nghiệm)
	 + m 2 : x= 1 ; m = -3 
	Bài 40 : Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
	HDẫn : (m - 4)x= m - 4 : + m = 4 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +3 = 0 ( vô nghiệm)
	 + m 4 : x= 1 ; m = -2 
	Bài 41 : Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
 2x2 + (3m - 5)x - 9 = 0 (1)
 6x2 + (7m - 15)x - 19 = 0 (2)
	HDẫn :
	* Cách 1 : m x= 4 : + m = 0 : hai phương trình không có nghiệm chung.
	 + m 0 : x= ; m = 4 hoặc m = 
* Cách 2 : (1) m = (x thay vào (2) : 
	4x2 - 10x + 6 = 0 ta có x= 1 ; x= 
	. x= 1 m = 4 ( nghiệm chung là 1)
	. x= m = ( nghiệm chung là )
Bài 42 : Với giá trị nào của m thì 2 phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
 2x2 - (3m + 2)x + 12 = 0 (1)
 4x2 - (9m - 2)x + 36 = 0 (2)
	HDẫn : (1) m = (x thay vào (2) : 
	x2 - 4x = 0 ta có x= 0 (loại) ; x= 4
	. x = 4 m = 3 ( nghiệm chung là 4)
	Bài 43 : Tìm giá trị của m để 2 phương trình : 
 x2 + x + m - 2 = 0 (1)
 x2 + (m - 2)x + 8 = 0 (2) có nghiệm chung.
	HDẫn : (2) m = (x thay vào (1) :
	x3 - 8 = 0 x = 2 m = - 4 (nghiệm chung là 2)
	Bài 44: Tìm giá trị nguyên của a để 2 phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm chung.
	 2x2 + (3a - 1)x - 3 = 0 (1)
 6x2 - (2a - 3)x - 1 = 0 (2)
	HDẫn : (11a - 6)x = 8 :	+ a = cả hai phương trình vô nghiệm.
	+ a khi đó :
	(1) ta có : a ; a(loại)
	. a = 2 nghiệm chung là 
Bài toán 7 : Khi phương trình bậc hai có nghiệm , hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 
 	nghiệm x và xkhông phụ thuộc vào tham số m.
	Phương pháp : 
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : 
Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x và x.
Tính m theo S, P.
Khử m tìm hệ thức chỉ còn S, P . Thay S = x+ x, P = x. x
	Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình : x2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 
	mà hệ thức này không phụ thuộc vào m.
	HDẫn : . = (m -1)2+ 28
	 . m = S - 3 và m = ta có hệ thức : 2(x
	Bài 46: Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 . Không giải phương trình, hãy tìm 1 
	 biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
	HDẫn : . = (m -) 2 + 
	 . m = và m = P + 4 ta có hệ thức : x
	Bài 47 : Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 . Khi phương trình có nghiệm, hãy 
	 tìm 1 hệ thức giữa x và xkhông phụ thuộc vào m.
	HDẫn : .
	. m = và m = ta có hệ thức : 
	Bài 48 : Cho phương trình : (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 . Khi phương trình có nghiệm, 
	 hãy tìm 1 hệ thức giữa x và xkhông phụ thuộc vào m.
HDẫn : .và m
	 . m = và m = ta có hệ thức : 4
	Bài 49 : Cho phương trình : (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0 . Khi phương trình có nghiệm, 
	 hãy tìm 1 hệ thức giữa x và xkhông phụ thuộc vào tham số m.
HDẫn : 	. 
	. m = và m = ta có hệ thức : ( x
Bài 50 : Trong các phương trình sau, giả sử chúng có nghiệm xvà x. Hãy tìm một hệ thức liên 
	hệ giữa các nghiệm của mỗi phương trình không phụ thuộc vào tham số k.
	a) (k - 1)x2 - 2kx + k - 4 = 0 (k1)
	b) (k + 3)x2 - 3(k + 4)x - k + 7 = 0 (k-3)
	c) kx2 - 2(k + 1)x + (k - 4) = 0 (k0)
	HDẫn :	a/ . 
	 . k = và k = ta có hệ thức : 3 ( x
	b/ . 
	. k = và k = ta có hệ thức : 10 (x
	c/ . 
	 . k = và k = ta có hệ thức : 
	Bài 51 : Cho phương trình : (m + 1)x2 - (2m - 3)x + m + 2 = 0 . Khi phương trình có hai nghiệm
	 hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia.
	HDẫn :	+ 	
	+ 	(hoặc ngược lại)
	Bài 52 : Cho phương trình : = m . Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm
	hãy biểu diễn nghiệm này theo nghiệm kia.
	HDẫn : mx2- (4m + 2)x + 3m + 4 = 0 (x; x)
	+ 
	+ 
Bài toán 8 : Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn 
	một đẳng thức liên hệ giữa 2 nghiệm.
	Phương pháp : 
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : 
Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x và x.
Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phương trình gồm 3 phương trình.
Giải hệ phương trình tìm tham số.
Đối chiếu điều kiện, thử lại, rút kết luận.
	Bài 53 : Cho phương trình : 3x2 - 4x + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có các 
	 nghiệm thoả mãn : 
	HDẫn : * 	*m = 1 (t/m)	
	Bài 54 : Xác định giá trị của tham số k sao cho hai nghiệm của phương trình 
	x2 - 6x + k = 0 thoả mãn điều kiện : 
	HDẫn : * 	*k = -16 (t/m)	
	Bài 55 : Cho phương trình : x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm ta 
	 	 có hệ thức : 
	HDẫn : * * (t/m)
	Bài 56 : Cho phương trình : x2 + 2x + 3k = 0 . Gọi là hai nghiệm của phương trình, không 
	 giải phương trình hãy tìm giá trị của k để : 
	HDẫn : * 	*k = -16 (t/m)	
	Bài 57 : Cho phương trình : 3x2 - mx + 2 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm ta có
	 	 hệ thức : 
	HDẫn : * 	* m = 7 (t/m)	
	Bài 58 : Cho phương trình : (m + 3)x2 - 3mx + 2m = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm	 	 ta có hệ thức : 
	HDẫn : * 	* m = -1 (t/m)	
	Bài 59 : Gọi và là những nghiệm của phương trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
	 Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phương trình (1) thoả mãn : 
	HDẫn : *	* (t/m)	
	Bài 60 : Cho phương trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm	 	 ta có hệ thức : 
	HDẫn : *	* loại m = 
	Bài 61 : Cho phương trình : x2 + (2 - 3m)x + m2 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình 
	 có các nghiệm thoả mãn : 
	HDẫn : * 	*	loại m = 1
	Bài 62 : Cho phương trình bậc hai : (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - 3 = 0. Xác định k để giữa 
	 hai nghiệm ta có hệ thức : 
	HDẫn : * 	* k = 7 (t/m)	
	Bài 63 : Cho phương trình : x2 - 2x + m = 0. Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm 
	 phân biệt thoả mãn : 
	HDẫn : * 	* (m) (t/m)	
	Bài 64 : Cho phương trình : x2 - 2(m- 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 
	 hai nghiệm phân biệt thoả mãn : 
	HDẫn : *	*	loại m = 2
	Bài 65 : Tìm giá trị của m để phương trình : x2 - 3mx + m2 = 0 có các nghiệm thoả 
	 mãn : 
	HDẫn : *	* (t/m)	
	Bài 66 : Xác định m để hai nghiệm của phương trình : x2 + 3x + m = 0 thoả mãn
	điều kiện : 
	HDẫn : * 	 * m = (t/m)
	Bài 67 : Tìm m để phương trình : x2 - 5x + 3m - 1 = 0 có hai nghiệm thoả mãn điều
	kiện : 	
	HDẫn : * 	* m = (t/m)
	Bài 68 : Tìm giá trị của m để các nghiệm của phương trình : mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0 
	 thoả mãn : 
	HDẫn : * 	* loại m = 8
	Bài 69 : Xác định m để phương trình : mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = 0 có tổng bình phương 
	các nghiệm là 13.
	HDẫn : * 	*	(t/m)
	Bài 70 : Cho phương trình bậc hai : x2 - 2(k - 2)x - 2k - 5 = 0 ( k là tham số). Gọi là 	 hai nghiệm của phương trình, tìm giá trị của k sao cho : 
	HDẫn : * 	*	(t/m)
	Bài 71 : Xác định m sao cho phương trình : 3x2 + mx - 2 = 0 có các nghiệm thoả 
	mãn : 
	HDẫn : * 	* m = 	(t/m)
	Bài 72 : Cho phương trình bậc hai : (2m - 1)x2 + 2(1 - m)x + 3m = 0. Xác định m để 
	 giữa hai nghiệm ta có hệ thức : 
	HDẫn : *
	 * loại m = 
	Bài 73 : Cho phương trình : x2 + 2x + 3k = 0 . Gọi là hai nghiệm của phương trình, 
 	 không giải phương trình hãy tìm giá trị của k để : 
a) 
b) 
	HDẫn : * * a/ k = -16 (t/m) * b/ k = - 8 (t/m)
	Bài 74 : Cho phương trình : x2 + (m - 3)x - 2m + 1 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm 
	 ta có hệ thức : 
	HDẫn : * 	* m2 - 14m + 13 = 0 (t/m) 
	Bài 75 : Tìm giá trị của m để phương trình : x2 - 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm thoả 
 	 mãn : 
	HDẫn : * 
	 * loại m = - 
	Bài 76 : Cho phương trình : x2 - 4x + m = 0. Tìm giá trị của m để giữa hai nghiệm 
	 thoả mãn : 
	HDẫn : * 	* m = 6 ( loại)
	Bài 77 : Cho phương trình : x2 + mx + n - 3 = 0 (1)
	 Tìm m và n để hai nghiệm x1, x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ thức 
HDẫn : *= m2 – 4n + 12 0
	 * thay vào (1) : ( t/m)
 	Bài 78 : Cho phương trình : x2 + mx + n = 0 . Tìm m, n biết phương trình có hai nghiệm x1, 
	x2 thoả mãn 
	HDẫn : *= m2 – 4n 0 *
	+ Từ (1): ; + Từ (2): 
Bài 79 : Xác định các hệ số p và q để hai nghiệm x1, x2 của phương trình: x2 +px + q = 0 
	 thoả mãn điều kiện 
HDẫn : *= p2 – 4q 0 * 
	Bài 80: Cho phương trình . Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương 
	trình. Tìm giá trị của m để 
HDẫn : *= 
	 * 
Bài 81: Cho phương trình (1) 
	Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1, x2 . hãy tìm m để 
HDẫn : *= 
	 * 
Bài 82: Giải phương trình . Biết rằng hai nghiệm và thoả mãn hệ thức:
	 (*)
HDẫn : *= m2 - 2 4 0 * 
	 (*) 
	Phương trình: x2 - 7x + 6 = 0 có x1= 1; x2= 6
	Bài 83: Cho phương trình x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương 
	trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2<x1<x2<4
	HDẫn : *= 1>0 * x1= m , x2= m + 1 x1 < x2
	Do đó: 
	Bài 84: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phương trình: x2 + 2ax + 4 = 0 (1) có các 
 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện 
	HDẫn : *= a2 - 4 0 
 *
	 ( vì nên 4a2 - 8 > 0 )
	Bài 85: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để các nghiệm x1, x2 của phương trình:
	 x2 + ax + 1 = 0 thoả mãn 
	HDẫn : *= a2 - 4 0 
 *
 ( vì nên a2 - 2 > 0 )
	Bài 86: 
	a) Cho hai phương trình a2x2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a2 = 0 (2) (Với a>c>0)
	Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2; phương trình (2) có hai nghiệm 
	Chứng minh rằng: x1x2 + 
	b) Cho các phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a) (1) và cx2 + dx + a = 0 ( c) (2)
	Biết rằng phương trình (1) có các nghiệm là m và n, phương trình (2) có các nghiệm là p và q. Chứng minh rằng m2 + n2 + p2 + q2 .
	HDẫn : 
	a) Điều kiện để 2 phương trình có nghiệm: b2- 4a2c 
	 - Ta có x1x2 + 
	b) ; 
	Bài 87: Cho phương trình (1) có 2 nghiệm dương x1, x2
	a) Chứng minh rằng phương trình (2) cũng có 2 nghiệm dương 
	b) Chứng minh rằng S = 
HDẫn : 
	a)	Phương trình (2) có 2 nghiệm dương khi và chỉ khi:
 (I)
- Vì phương trình (1) có 2 nghiệm dương nên:
 (II)
	- Từ (I) và (II) kết luận ?
	b) Cách 1: Nếu là nghiệm của (1) thì 
	Thay vào (2) ta có: 
	là nghiệm của (2). Do đó nếu x1, x2 là nghiệm của (1) thì
	 là 2 nghiệm của (2). 
	Vậy S = ( Bất đẳng thức Côsi)
 Cách 2: =
Bài toán 9 : So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0.
	Phương pháp : Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a)
PTB2 có 2 nghiệm trái dấu P< 0 
- Đặc biệt PTB2 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương hoặc 
2) PTB2 có 2 nghiệm cùng dấu 
	a- PTB2 có 2 nghiệm cùng âm 
 b- PTB2 có 2 nghiệm cùng dương 
3) P TB2 có 2 nghiệm là 2 số nghịch đảo của nhau 
	4) P TB2 có 2 nghiệm là 2 số đối nhau ( 2nghiệm trái dấu và bằng nhau về g