Gợi ý giải đề thi chuyên toán vào trường Lê Quý Đôn tỉnh Ninh Thuận năm 2015-2016

Gợi ý giải đề thi chuyên tốn vào trường Lê Quý Đơn tỉnh Ninh Thuận năm 2015-2016
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH THUẬN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH CHUYÊN
NĂM HỌC 2015-2016
Khĩa ngày: 11/ 06 / 2015
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Khơng kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
(Đề này gồm 01 trang)
Bài 1: (1,0 điểm)
Giải phương trình:
1 1
x x
x x
− = +
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho hàm số y = (m – 2)x + m2 – 1 (m là tham số) cĩ đồ thị là đường thẳng (d). Tìm
m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân.
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho hai số a, b khác 0 và khác 1, thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh rằng :
3 3 2 2
a b 2(b a)
b 1 a 1 a b 3
−
− =
− − +
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R và At là tiếp tuyến với nửa đường
trịn tại A. Từ một điểm P trên tia At vẽ tiếp tuyến PM tới nửa đường trịn (M là tiếp điểm
M A≠ ).
a) Chứng minh rằng: OP // BM.
b) Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại O cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh 5
điểm A, P, O, M, N cùng nằm trên một đường trịn.
c) Khi AP = x (x > 0), hãy tính diện tích của tứ giác cĩ các đỉnh là P, O, M, N theo R
và x.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
M
a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3
= + +
+ + + + + +
-------- Hết --------
ĐỀ CHÍNH THỨC
GỢI Ý BÀI GIẢI
Bài 1: (1,0 điểm)
Giải phương trình:
1 1
x x
x x
− = +
Đặt x t (t > 0)= , phương trình trở thành: 2
2
1 1
t t
t t
− = +
( )( ) ( ) ( )( ) ( )4 3 2 2 2 2 2 2t t t 1 0 t 1 t 1 t t 1 0 t 1 t t 1 0 t t 1 0⇔ − − − = ⇔ + − − + = ⇔ + − − = ⇔ − − =
1 5 1 5
t t
2 2
 hoặc 
+ −
⇒ = = (loại)
Với
1 5 1 5 3 5
t x x
2 2 2
+ + +
= ⇒ = ⇒ =
Bài 2: (2,0 điểm)
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox, Ta cĩ:
22 2 m 11 m 1 m
y 0 x
m 2 m 2 m 2
 và OA=
−− −
= ⇒ = =
− − −
Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Oy. Ta cĩ:
2 2x 0 y m 1 m 1 và OB== ⇒ = − −
Điều kiện để
2 2
2
2
22
m 1 0 m 1 0
m 1 0
OAB m 1 1
m 1 1 0OA OB m 1
m 2m 2
 cân
⎧ ⎧− ≠ − ≠
⎪⎧ ⎪− ≠
∆ ⇔ ⇔ ⇔ ⎛ ⎞−⎨ ⎨ ⎨
− − == = − ⎜ ⎟⎩ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎩⎩
2 m 1m 1 0
m 1
m 3m 2 11
1 0 m 2 1
m 2 m 2 1
≠ ±⎧⎧ − ≠
≠ ±⎧⎪ ⎪ ⎪
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =− = −⎡⎨ ⎨ ⎨− = − =⎪ ⎢⎩⎪ ⎪− − =⎣⎩ ⎩
Bài 3: (2,0 điểm)
Từ a b 1 a 1 b a ; b =1+ = ⇒ = − −
Khi đĩ:
( )( ) ( )( )3 3 2 22 2
a b (b 1) a 1 1 1
b 1 a 1 b b 1 a a 1b 1 b b 1 a 1 a a 1
− − − −
− = + = +
− − + + + +− + + − + +
( )( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a 1 b b 1 (b a)(b a) (b a)
a b a b a ab ab a b b 1a a 1 b b 1
(b a)(b a 1) 2(b a)
a b ab a b 2a b a b ab a ab (a b) b 1
2(b a) 2(b a)
a b b(a b) a 2 a b 3
− − − + + + − + + −
= =
+ + + + + + + ++ + + +
− + + −
= =
+ + + ++ + + + + + + +
− −
= =
+ + + + +
Bài 4: (4,0 điểm)
a) Do PA, PM là hai tiếp tuyến⇒ PA = PM và tia PO
là phân giác của�APM ⇒PO cũng là đường cao của
tam giác cân PAM⇒ PO AM⊥ tại H và HA = HM
Lại cĩ� 0AMB 90= (gĩc nội tiếp chắn nủa đường trịn)
⇒ BM AM⊥ . Suy ra PO // BM
b) Ta cĩ:
� � � �MNO NOP APO NOP (so le trong) ; (so le trong)= = ,
mà� �APO MPO = , suy ra� �MNO MPO = ⇒Tứ giác
MNPO nội tiếp.
Lại cĩ:� � 0PAO PMO 90= = ⇒Tứ giác PAOM nội tiếp
đường trịn đường kính PO.
Vậy 5 điểm A, P, O, M, N cùng nằm trên đường trịn
đường kính PO.
c) Do N nằm trên đường trịn đường kính PO � 0PNO 90⇒ = nên PAON là hình chữ nhật
⇒PN = OA = OB, do đĩ POBN là hình bình hành⇒PO = NB
Trong tam giác vuơng PAO: 2 2PO R x NB= + = (định lý Py ta go) ;
2 2 2 2
PA.OA R.x 2R.x
AH.PO PA.OA AH MH
RO R x
AM
P x+
= = = ⇒ =
+
⇒ =
Khi đĩ
2 2 4 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4R x 4R 2R
BM AB AM 4R
R x R x R x
= − = − = =
+ + +
Suy ra
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2R x R
MN NB BM R x
R x R x
−
= − = + − =
+ +
Vậy diên tích MNPO là:
2 2 3
2 2
2 22 2 2 2
1 1 x R Rx Rx
S (NM PO).MH R x
2 2 R xR x R x
⎛ ⎞−
= + = + + ⋅ =⎜ ⎟
++ +⎝ ⎠
(đvdt)
Bài 5: (1,0 điểm)
Từ abc = 1⇒ a2b2c2 = 1
Đặt x = a2 ; y = b2 ; z = c2 ⇒x, y, z > 0 và xyz = 1.
Ta cĩ ( ) ( )
2 2
x y 0 x y 2 xy y 1 0 y 1 2 y− ≥ ⇔ + ≥ − ≥ ⇔ + ≥ ; , đẳng thức xảy ra khi
x = y = 1. Từ đĩ ta cĩ:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a 2b 3 x y y 1 2 2a b b 1 2 2 xy 2 y 2 xy y 1
= = ≤ = ⋅
+ + + + + ++ + + + + + + +
Tương tự:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
b 2c 3 2 c 2a 3 2yz z 1 zx x 1
≤ ⋅ ≤ ⋅
+ + + ++ + + +
 ; 
H
t
x
N
O
M
P
BA
1 1 1 1
Suy M
2 xy y 1 yz z 1 zx x 1
⎛ ⎞
≤ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠
 ra: 
1 1 1 1
1 1 12 xy y 1 1 x 1
x xy y
xy y1 1 1
2 2xy y 1 y 1 xy 1 xy y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟= + +
⎜ ⎟+ + + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= + + =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1, suy ra a = b = c = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M bằng
1
a b c 1
2
⇔ = = = ⋅
-------- Hết --------
GV: Trần Hồng Hợi
(Trường THCS Lê Đình Chinh – Ninh Thuận)