Chọn lọc về khoảng cách trong hình không gian

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! 
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN 
Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng 
( )SAB và ( )SAC cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng ( )SBC tạo với đáy một góc 060 . Tính khoảng 
cách giữa các đường thẳng sau: 
a) SA và BD. 
b) BD và SC. 
Câu 2: [ĐVH]. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có 2 ;AB a AD a= = , hình chiếu 
vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của AB. Biết SC tạo với đáy một góc 060 , tính khoảng cách 
giữa 2 đường thẳng SD và HC. 
Câu 3: [ĐVH]. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SAD 
cùng vuông góc với đáy. Biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 060 . Tính: 
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA , AD và SB . 
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC . 
Câu 4: [ĐVH]. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm của 
, , ,AB CD AD AC . 
a) Chứng minh rằng MN PQ⊥ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ,MN PQ . 
b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ,AG BC . 
Câu 5: [ĐVH]. Cho hình lập phương ABCDA B C D′ ′ ′ ′ cạnh a . Tính khoảng cách giữa các cặp đường 
thẳng sau: 
a) AC′ và BD . 
b) AC′ và DA′ . 
Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C có 3BC AC a= = . Hình chiếu 
vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho 2HC HA= , biết tam giác SAC là tam giác 
vuông tại S. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC. 
Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều 
cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy , biết mặt phẳng ( )SCD tạo với đáy một góc 060 . Tính 
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD. 
Câu 8: [ĐVH]. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , , 2B AB a BC a= = , cạnh 
2SA a= và ( )SA ABC⊥ . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB SC . 
a) Chứng minh rằng MN AB⊥ . 
b) Tính khoảng cách giữa ,AB SC . 
Câu 9: [ĐVH]. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD đều và nằm trong 
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: 
a) AC và SB . 
b) AD và SB . 
Câu 10: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ đứng .ABC A B C′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân tại 

 0
, 120 ,A BAC AB BB a′= = = . Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: 
a) BB′ và AC . 
b) BC và AC′ . 
CHỌN LỌC VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH KHÔNG GIAN 
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn 
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! 
LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP 
Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng 
( )SAB và ( )SAC cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng ( )SBC tạo với đáy một góc 060 . Tính khoảng 
cách giữa các đường thẳng sau: 
a) SA và BD. 
b) BD và SC. 
Lời giải: 
a) Ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( )
SAB ABC
SA ABC
SAC ABC
⊥
⇒ ⊥ ⊥
. 
Gọi I là tâm hình thoi ta có: 
AI BD
SA AI
⊥
 ⊥
nên AI là đường vuông góc chung do vậy ta có: 
( );
2
ACd SA BD AI a= = = . 
b) Ta có: ( )BD SA BD SAC
BD AC
⊥
⇒ ⊥ ⊥
. 
Dựng IK SC⊥ ta có IK là đường vuông góc 
chung của BD và SC. Dựng AE BC⊥ , ta có 
( ) 
 060BC SA BC SAE SEA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = . 
Do ABC∆ đều nên 0sin 60 3AE AB a= = . 
Suy ra 0tan 60 3SA AE a= = . 
Khi đó dựng AF SC⊥ suy ra 
2
AFIK = . Mặt khác 2 2 2
1 1 1 6
13
aAF
AF SA AC
= + ⇒ = . 
Do vậy ( ) 3;
13
ad SC BD = . 
Câu 2: [ĐVH]. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có 2 ;AB a AD a= = , hình chiếu 
vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của AB. Biết SC tạo với đáy một góc 060 , tính khoảng cách 
giữa 2 đường thẳng SD và HC. 
Lời giải: 
Ta có H là trung điểm của AB nên HA HB a= = . 
Khi đó 2 2 2HC HB BC a= + = . 
Lại có 
 0 060 tan 60 6SCH SH HC a= ⇔ = = . 
Dễ thấy 2; 2HD HC a CD AB a= = = = nên tam 
giác DHC vuông cân tại H ta có 
CH DH
CH SH
⊥
 ⊥
 suy ra 
( )CH SHD⊥ , dựng HK SD⊥ suy ra HK là đường 
vuông góc cung của HC và SD. 
Ta có : 2 2 2
1 1 1 6
3
aHK
HK HD SH
= + ⇒ = . 
Vậy 6
3
ad = . 
Câu 3: [ĐVH]. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SAD 
cùng vuông góc với đáy. Biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 060 . Tính: 
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! 
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA , AD và SB . 
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC . 
Lời giải: 
a) Ta có ( ) ( )( ) ( ) ( ),
SAB SAD SA
SAB SAD ABCD
∩ =
 ⊥
( )SA ABCD⇒ ⊥ 
( )( )
 
 0, 60SB ABCD SBA= = 
Ta có ( ),AB BC AB d SA BC a
AB SA
⊥
⇒ = = ⊥
Kẻ AH SB⊥ 
Ta có ( )AD SA AD SAB AD AH
AD AB
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
( ),SB AH AH d SB AD
AD AH
⊥
⇒ = ⊥
Mà 
 ( )0 3 3.sin .sin 60 ,
2 2
a aAH AB SBA a d SB AD= = = ⇒ = 
b) Kẻ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1/ / , , , ,2Cx BD d BD SC d BD SCx d O SCx d A SCx⇒ = = = 
Kẻ AK SC⊥ 
Ta có ( )Cx SA Cx SAC Cx AK
Cx AC
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
 mà ( ) ( )( ),AK SC AK SCx AK d A SCx⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 
Ta có 
 0. tan . tan 60 3SA AB SBA a a= = = , 2 2 2 2 2AC AB BC a a a= + = + = 
Xét SAC∆ : ( )2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 5 6 6,3 2 6 5 2 5
a aAK d BD SC
AK AS AC a a a
= + = + = ⇒ = ⇒ = 
Câu 4: [ĐVH]. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm của 
, , ,AB CD AD AC . 
a) Chứng minh rằng MN PQ⊥ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ,MN PQ . 
b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ,AG BC . 
Lời giải: 
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! 
a) Gọi K là trung điễm của BC , O là giao điễm của 
PK và MN 
Ta có ( )1MD MC MN DC MN PQ= ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 
( )2NA NB MN AB MN KQ= ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 
Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 MN PQK⇒ ⊥ 
Kẻ OH PQ⊥ 
Vì ( )MN PQK MN OH⊥ ⇒ ⊥ mà OH PQ⊥ 
( ),OH d MN PQ⇒ = 
Ta có 2 2
2
aPK AK AP= − = 
Tam giác PQK cân tại Q QO PK⇒ ⊥ 
2 2
2 2
aOQ PQ OP= − = 
Xét POQ∆ : 2 2 2 2
1 1 1 1
4OH OP OQ a= + = 
( )2 ,OH a d MN PQ⇒ = = 
b) G là trọng tâm tam giác ( )BCD AG BCD⇒ ⊥ 
Ta có ( ),GK AG GK d AG BC
GK BC
⊥
⇒ = ⊥
Mà 3
2
aDK = ( )2 3 ,
3 3
aGK DK d AG BC⇒ = = = 
Câu 5: [ĐVH]. Cho hình lập phương ABCDA B C D′ ′ ′ ′ cạnh a . Tính khoảng cách giữa các cặp đường 
thẳng sau: 
a) AC′ và BD . 
b) AC′ và DA′ . 
Lời giải: 
a) Gọi O là giao điễm của AC và 
BD , M là trung điễm của 'CC 
Ta có / / 'OM AC 
( ) ( )( )', ',d AC BD d AC MBD⇒ = 
( )( ) ( )( ), ,d A MBD d C MBD= = 
Kẻ CH MO⊥ 
( )( ),CH d C MBD⇒ = 
Xét OCM∆ : ( )2 2 2 21 1 1 6 ',6
aCH d AC BD
CH CO CM a
= + = ⇒ = = 
b) Kẻ ( ) ( )( ) ( )( )/ / ' ', ' ' , ' ', 'AN A D d AC DA d A D ANC d A ANC⇒ = = 
Kẻ ' 'A E C N⊥ , ( ) ( )( )' ' ' ' ', 'A F AE A F ANC A F d A ANC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 
Xét 'AEA∆ : ( )2 2 2 21 1 1 6 ' ', '
' ' ' 6
aA F d AC DA
A F A E A A a
= + = ⇒ = = 
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! 
Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C có 3BC AC a= = . Hình chiếu 
vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho 2HC HA= , biết tam giác SAC là tam giác 
vuông tại S. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC. 
Lời giải: 
Ta có: 3 ; 2AC a HA a HC a= ⇒ = = . 
Lại có SAC∆ vuông tai S có đường cao SH nên ta có: 
2 22 2SH HA HC a SH a= = = ⇒ = . 
Dựng / /Bx AC , dựng HE Bx⊥ , HF SE⊥ 
Ta có ( )Bx SH BE SHE BE HF⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ . 
Mặt khác ( )HF SE HF SBE⊥ ⇒ ⊥ . 
Do ( ) ( )( )/ / ; ;Bx AC d SB AC d AC SBE⇒ = 
( )( );d H SBE HF= = . 
Lại có: 2 2 2
1 1 1
HF SH HE
= + , trong đó 3HE BC a= = suy ra 
( )3 22 3 22;
11 22
a aHF SB AC= ⇒ = . 
Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều 
cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy , biết mặt phẳng ( )SCD tạo với đáy một góc 060 . Tính 
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD. 
Lời giải: 
Gọi H là trung điểm của AB ta có AH AB⊥ , mặt 
khác ( ) ( )SAB ABCD⊥ nên ( )SH ABCD⊥ . 
Dựng ( ) 
 060HK CD CD SHK SKH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = . 
Ta có: 3SH a= , mặt khác 0tan 60HK SH= 
Suy ra HK a= ; 2SA AB a= = . 
Dựng / /Ax BD , dựng HE Ax⊥ , HF SE⊥ 
Ta có ( )Ax SH AE SHE AE HF⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ . 
Mặt khác ( )HF SE HF SAE⊥ ⇒ ⊥ . 
Do ( ) ( )( )/ / ; ;Ax ABD d SA BD d BD SAE⇒ = 
( )( ) ( )( ); 2 2d B SAE d H SAE HF= = = . 
Dựng ;HM BD AN BD⊥ ⊥ ta có: 
2 2
1 . 2
2 5
AB AD aHE HM AN
AB AD
= = = =
+
. 
Khi đó: 2 2 2
1 1 1 3 32 4
19 19
HF a d a
HF SH HE
= + ⇒ = ⇒ = . 
Câu 8: [ĐVH]. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , , 2B AB a BC a= = , cạnh 
2SA a= và ( )SA ABC⊥ . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB SC . 
a) Chứng minh rằng MN AB⊥ . 
b) Tính khoảng cách giữa ,AB SC . 
Lời giải: 
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! 
a) Ta có: BC AB SB BC
SA BC
⊥
⇒ ⊥ ⊥
. 
Khi đó ta có: 1
2
BN AN SC= = ( tính chất trung tuyến trong 
tam giác vuông) 
Do đó tam giác NAB cân tại N có trung tuyến NM suy ra 
( )MN AB dpcm⊥ . 
b) Kẻ ( ) ( ) ( )( )/ / ; ; ;Cx AB d AB SC d AB SCx d A SCx⇒ = = . 
Dựng ;AE Cx AF SE⊥ ⊥ . Do 
CE AE
CE AF
CE SA
⊥
⇒ ⊥ ⊥
 từ đó 
suy ra ( )AF SCE⊥ . Ta có: 2AE BC a= = . 
Do vậy ( )
2 2
.
; 2AE SAd AB SC AF a
AE SA
= = =
+
. 
Câu 9: [ĐVH]. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD đều và nằm trong 
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: 
a) AC và SB . 
b) AD và SB . 
Lời giải 
a) Gọi H là trung điểm của AD ta có SH AD⊥ . 
Mặt khác ( ) ( ) ( )SAD ABCD SH ABCD⊥ ⇒ ⊥ . 
Trong đó 0 3.sin 60
2
aSH SA= = . 
Dựng ( ) ( )( )/ / ; ;Bx AC d AC SB d AC SBx⇒ = . 
Gọi G AO BH G= ∩ ⇒ là trọng tâm tam giác ABD. 
Khi đó ( )( ) ( )( ) ( )( )3; ; ;2d AC SBx d G SBx d H SBx= = . 
Dựng ;HE Bx HF SE⊥ ⊥ . Do 
BE HE
BE HF
BE SH
⊥
⇒ ⊥ ⊥
từ đó suy ra ( )HF SBE⊥ . Gọi K AO HE= ∩ ta có: 
1 3 3
2 2 2 2
OB aHE HK KE OD OB= + = + = = 
Khi đó ( )
2 2
. 3 9
;
2 5 4 5
SH HE a aHF d AC SB
SH HE
= = ⇒ =
+
. 
Câu 10: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ đứng .ABC A B C′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân tại 

 0
, 120 ,A BAC AB BB a′= = = . Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: 
a) BB′ và AC . 
b) BC và AC′ . 
Lời giải: 
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! 
a) Ta có: ( )'/ / ' '/ / 'BB CC BB ACC⇒ 
do vậy ( ) ( )'; '; 'd BB AC d BB ACC= . 
Dựng BE AC⊥ , mặt khác 'BE CC⊥ suy ra 
( ) ( )( )' '; 'BE ACC d BB ACC BE⊥ ⇒ = . 
Mặt khác 
 0 3sin sin 60
2
aBE BA BAE BA= = = . 
b) Dựng ( ) ( )( )/ / ; ' ;Ax BC d BC C A d BC CAx⇒ = 
( )( ); 'd C C Ax= . 
Dựng ; 'CE Ax AF C E⊥ ⊥ . Do 
'
AE CE
AE CC
⊥
 ⊥
AE CF⇒ ⊥ từ đó suy ra ( )'CF C AE⊥ . 
Trong đó ( ) 
; sin
2
aCE d A BC AB ABC= = = 
Do vậy ( )
2 2
. '
; ' .
5 5'
CE CC a aCF d BC AC
CE CC
= = ⇒ =
+