Cách giải một số phương trình quy về phương trình bậc 2

Tên : Trương Quang An
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
 Điện thoại : 01208127776
CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
I. HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:Ta thường gặp một số dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải sau đây:
Dạng 1. Phương trình tích.Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Dạng 3. Phương trình trùng phương.Dạng 4. Phương trình dạng: a[f(x)]2 + bf(x) + c = 0 hoặc .
Dạng 5. Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c.Dạng 6. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, trong đó: a+b = c+d, m 0.
Dạng 7. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2, trong đó: ab = cd, m 0.Dạng 8. Phương trình đối xứng .Dạng 9. Phương trình hồi quy.
II. CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:
1. Phương trình tích: là phương trình có một vế bằng không, vế còn lại là một tích của các nhân tử chứa ẩn.
1.1. Cách giải: Áp dụng công thức:
Ta giải n phương trình (1), (2), . . ., (n) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
1.2. Ví dụ 1 Giải các phương trình: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + 1
Giải: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + 1 (2x2 + x - 4)2 - (2x - 1)2 = 0
(2x2 + x – 4 + 2x - 1)(2x2 + x – 4 - 2x + 1) = 0
(2x2 + 3x - 5)(2x2 - x - 3) = 0 
Giải các phương trình (1) và (2) ta được x1 = 1; x2 = -2,5; x3 = -1; x4 = 1,5
Vậy S = 
1.3. Nhận xét:- Loại phương trình này các em HS đã được làm quen từ lớp 8 - THCS. Lên lớp 9, sau khi học xong về phương trình bậc hai một ẩn, để giải một phương trình bậc cao (bậc lớn hơn 2), đối với HS THCS thường dùng phương pháp biến đổi đưa về phương trình tích. Muốn vậy HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử (chỉ cần phân tích thành tích các nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai).
- Chú ý tới các tính chất của phương trình bậc ba: ax+ bx+ cx + d = 0
Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1
Nếu a – b + c – d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1.
- Đa thức bậc n có các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hệ số tự do (Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên).Khi đã nhận biết được nghiệm (chẳng hạn x = x0), ta phân tích được vế trái của phương trình thành nhân tử (chứa một nhân tử là x – x0).
*Ví dụ 2. Giải phương trình: (*)
Hướng dẫn: Chú ý 2 – 7 + (- 3) – (- 8) = 0 => (*) có một nghiệm là x = -1, 
từđóphântíchđược: . 
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm: x1 = -1; 
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:Loại phương trình này, HS cũng đã được làm quen từ lớp 8 và đây cũng là một dạng phương trình thường gặp trong chương trình toán THCS.
2.1. Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường giải theo 4 bước sau:Bước 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức;
Bước 3. Giải phương trình nhận được;
Bước 4. Kết luận: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn ĐKXĐ, các giá trị thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho.
2.2. Ví dụ: Giải phương trình: (*)
Giải:- ĐKXĐ: x 1. Khi đó (*) 
	 (**) 
Giải phương trình (**), ta được x1 = 1 (không thoả mãn ĐKXĐ)
	 x2 = - 2 (thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 2
2.3. Lưu ý: + Trong thực hành, cần luôn lưu ý việc kiểm tra giá trị tìm được của ẩn (sau bước 3). Một phương trình chứa ẩn ở mẫu sẽ vô nghiệm nếu ở bước 3 không tìm được giá trị của ẩn và cũng sẽ vô nghiệm nếu các giá trị tìm được ở bước 3 đều không thoả mãn ĐKXĐ. 
+ Cách giải trên là cách giải thường dùng nhưng chỉ nên áp dụng với các phương trình mà sau khi ta quy đồng, khử mẫu 2 vế thì được phương trình bậc không lớn hơn 2, không phức tạp. Đối với một số dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu đặc biệt, ta phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải.
 Ví dụ: Giải phương trình: 
Giải: -ĐKXĐ: .Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x 0, ta được: .Đặt = t, phương trình trở thành: (*) (ĐK: t - 1; t 3)
 => 4t + 4 – 2t + 6 = -3(t2 – 2t – 3) 3t2 - 4t + 1 = 0 t1 = 1; t2 = (đều thoả mãn ĐK của t).
-Với t1 = 1, ta có: = 1 (vô nghiệm) ; với t2 = , ta có: = (vô nghiệm).Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 *Chú ý : Dùng phương pháp giải ở trên, chúng ta cũng giải được các phương trình có dạng sau :	Dạng1:.
Dạng2 :.Dạng 3: 
3. Phương trình trùng phương:
3.1. Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0, trong đó a, b, c là các số cho trước, a 0.
3.2. Cách giải:-Khi giải dạng phương trình này, ta thường đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ x2 = t (t 0), ta có phương trình bậc hai trung gian : at2 + bt + c = 0.
-Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t. Nếu những giá trị tìm được của t thoả mãn t 0, ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình ban đầu.
3.3. Ví dụ: 
*Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Giải: Đặt x2 = t, ĐK: t 0. Phương (1) trở thành 3t2 - 2t - 1 = 0 (1’)
Giải (1’) ta được: t1 = 1 (thoả mãn ĐK); t2 = (thoả mãn ĐK) 
Với t1= 1 => x2 = 1 => x = 1;Với t2 = => x2 = x = 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm 
3.4. Nhận xét : Về số nghiệm của phương trình trùng phương, ta thấy:
+ Phương trình trùng phương vô nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm, hoặc chỉ có nghiệm âm.
+ Phương trình trùng phương có nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm.
+ Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt (khi đó 2 cặp nghiệm luôn đối nhau) khi phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm dương phân biệt.
+ Phương trình trùng phương có 3 nghiệm phân biệt (1 nghiệm luôn bằng 0 và 2 nghiệm còn lại đối nhau) khi phương trình bậc hai trung gian có 1 nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.
4. Phương trình dạng: a[f(x)]2 + bf(x) + c = 0 (hoặc ) với a 0:
4.1. Cách giải: +Tìm ĐKXĐ của phương trình (nếu cần).
+Đặt f(x) = t (hoặc tương ứng = t). Ta có phương trình: at2 + bt + c = 0 (**)
+Giải phương trình (**) bậc hai (ẩn t)
+Trả biến và giải tiếp phương trình f(x) = t rồi kết luận.
4.2. Ví dụ: Giải phương trình sau:
Giải: .Đặt , ta có: Với t1 = 1, ta có: 	
Với t2 = ta có , phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 
4.3. Nhận xét:- Nhờ phép biến đổi và bằng cách đặt ẩn phụ, ta đưa được phương trình về dạng phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải: at2 + bt + c = 0
Tuy nhiên có một số phương trình phải qua một số bước biến đổi mới xuất hiện dạng tổng quát (như trong ví dụ trên). 
- Cũng như một số loại phương trình khác đã giới thiệu ở trên, số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phương trình bậc hai trung gian.
- Phương trình trùng phương (cũng như phương trình bậc hai một ẩn) là những dạng đặc biệt của phương trình: ax2n + bxn + c = 0, trong đó: a0; n nguyên dương (còn gọi là phương trình tam thức). Các phương trình này cũng chỉ là dạng đặc biệt của phương trình: a[f(x)]2 + bf(x) + c = 0, ở đây f(x) = xn.
+Ví dụ : Giải phương trình: x2014 - 10x1007+ 9 = 0
Giải : Đặt x1007 = t , ta có phương trình: t2 - 10t + 9 = 0
Vì: 1 - 10 + 9 = 0 nên t1 = 1; t2 = 9
Với t1 = 1 thì x1007 = 1 x = 1; Với t2= 9 thì x1007 = 9 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = 1; 
5. Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c:
5.1. Cách giải: - Nhìn chung đối với phương trình dạng này, nếu ta khai triển vế trái thì sẽ được một phương trình bậc bốn đầy đủ ----> sẽ khó khăn để giải tiếp.
- Ta giải bằng phương pháp đổi biến:Đặt 
Thay vào và biến đổi, ta được phương trình: 
Đây là phương trình trùng phương ẩn t -> đã biết cách giải ở trên.
5.2. Ví dụ: Giải phương trình	 (1)
 Giải: Đặt
Ta có: 
Đặt t2 = v (ĐK: v 0). 
Phương trình (1’) trở thành: 
 (không thoả mãn ĐK) và (không thoả mãn ĐK).Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
6. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, trong đó a+b = c + d và m 0.
6.1. Cách giải: -Vì a + b = c + d nên ta đặt: x2 + (a + b)x = x2 + (c + d)x = y.
	 - Khi đó, phương trình đã cho có dạng: (y + ab)(y + cd) = m (*)
	 - Giải phương trình (*), ((*) là phương trình bậc hai của y).
	 - Với mỗi giá trị tìm được của y, thay vào x2 + (a + b)x = y rồi tiếp tục giải các phương trình bậc hai ẩn x và đi đến kết luận.
6.2. Ví dụ: Giải phương trình sau: (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 
Giải: a, (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4	(chú ý: 4 + 8 = 5 + 7 = 12)
 (x2 + 12x + 32)(x2 + 12x + 35) = 4
Đặt x2 + 12x + 32 = y, ta có phương trình: y2 + 3y – 4 = 0 (1)
Vì 1 + 3 – 4 = 0 nên (1) có hai nghiệm là y1 = 1 và y2 = - 4.
Với x2 + 12x + 32 = y1 = 1 
Với x2 + 12x + 32 = y2 = -4
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: 
6.3. Nhận xét: Với loại phương trình có dạng trên:
- Nếu khai triển vế trái ta sẽ được phương trình bậc 4 tổng quát thì sẽ rất khó giải tiếp. Do đó khi gặp phương trình dạng này, cần chú ý tới các hệ số a, b, c, d. Bằng nhận xét, ta nhóm hợp lý, sau đó khai triển mỗi nhóm và đặt ẩn phụ, ta sẽ đưa được về phương trình bậc hai trung gian. 
- Đôi khi cần linh hoạt biến đổi thì ta mới đưa được về phương trình dạng trên.
 Ví dụ: Giải các phương trình: (5x + 4)2(5x2 + 8x) = 16
	Giải: (5x + 4)2(5x2 + 8x) = 16 x(5x + 4)2(5x + 8) = 16
 5x(5x + 4)2(5x + 8) = 80 (25x2 + 40x)(25x2 + 40x + 16) = 80
Đặt 25x2 + 40x + 8 = t, ta có phương trình: (t – 8)(t + 8) = 90 t2 – 64 = 80 t2 = 144 t = 12.
Với t = 12, ta có: 25x2 + 40x +8 = 12 25x2 + 40x – 4 = 0 x1;2 = 
Với t = -12, ta có: 25x2 + 40x +8 = -12 5x2 + 8x – 4 = 0 x3 = ; x4 = -2.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là : x1;2 = ; x3 = ; x4 = -2.
7. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2, trong đó: ab = cd, m 0:
7.1. Cách giải:- Ta nhóm [(x + a)(x + b)][(x + c)(x + d)] = mx2
	 [x2 + ab + (a + b)x][x2 + cd + (c + d)x] = mx2
	 (x + + a + b)(x + + c + d) = m (vì x 0)
- Do ab = cd nên ta đặt ẩn phụ: y = x + = x + (hoặc sai khác một hằng số thuận lợi) thì ta được phương trình: (y + a + b)(y + c + d) = m 
 y2 + (a + b + c + d)x + (a + b)(c + d) – m = 0 àlà phương trình bậc hai ẩn y à dễ dàng làm tiếp.
7.2. Ví dụ: Giải phương trình sau:(x – 3)(x – 9)(x + 4)(x + 12) = 147x2
Gợi ý: Chú ý: -3.12 = -9.4 = -36 à làm tiếp theo cách trên.
8. Phương trình đối xứng:
8.1. Định nghĩa: -Phương trình đối xứng bậc 3 là phương trình có dạng ax3 + bx2 + bx + a = 0 (a 0)
-Phương trình đối xứng bậc 4 là phương trình có dạng ax4+bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a 0)
-Phương trình đối xứng bậc n là phương trình có dạng anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0 = 0, trong đó: an = a0, an-1 = a1, . . . , và an 0.
8.2. Chú ý: +Trong phương trình đối xứng, nếu k là nghiệm thì cũng là nghiệm.
+Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn nhận x = -1 làm một nghiệm.
+Phương trình đối xứng bậc chẵn (bậc = 2m) luôn đưa được về bậc m bằng cách đặt ẩn phụ = t.
8.3. Cách giải: Dựa vào chú ý ở trên:-Để giải phương trình đối xứng bậc 3, ta biến đổi đưa về phương trình tích:ax3 + bx2 + bx + a = 0 (x + 1)[ax2 + (b – a)x + a] = 0.
-Với phương trình đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a 0), ta giải theo cách sau:
	+Dễ thấy x = 0 không là nghiệm. Do đó chia 2 vế cho x2 , ta được:
	+Đặt = t => t2 – 2 và ta có phương trình bậc 2 (ẩn t):
	at2 + bt + c – 2a = 0 (1)
	+Giải phương trình (1) rồi trả biến = t à tìm x và kết luận.
8.4. Ví dụ : Giải phương trình : 3x3 - 5x2 - 5x + 3 = 0
Hướng dẫn: Biến đổi thành: (x + 1)(3x2 – 8x + 3) = 0
 (Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là )
9. Phương trình hồi quy:
9.1. Định nghĩa: Phương trình hồi quy là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0 (với a.k 0) 
Nhận xét: Phương trình đối xứng bậc 4 chỉ là một dạng đặc biệt của phương trình hồi quy (với k = 1)
9.2. Cách giải:-Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x2, ta được: 
-Đặt .Ta có phương trình bậc hai (ẩn t): (*)
-Giải phương trình (*).Trả biến = t à tìm x và kết luận.
9.3. Ví dụ: Giải phương trình x4 + 4 = 5x(x2 - 2) (1)
Giải :-Ta có (1) x4 – 5x3 +10x +4 = 0 à là phương trình hồi quy với k = - 2.
-Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x2, ta được : .Đặt t = ,ta có : .Ta có phương trình : 
Với t = 4 ta có : .Với t = 1 ta có :.Vậy S = .
II. MỘT SỐ BÀI TẬP:
Bài 1: Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu:
a) b) 	 
Bài 2: Giải các phương trình bậc cao sau:
a)(x2 + x + 1)2 – 3x2 – 3x – 1 = 0	b)x4 +4x3 +3x2 +2x – 1 = 0 
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)	b)