Các mối quan hệ thường dùng trong việc tính nguyên hàm và tích phân

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvncom 1 
CAÙC MOÁI QUAN HEÄ THÖÔØNG DUØNG 
TRONG VIEÄC TÍNH NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN 
 Trần Tuấn Anh 
 Khi nhìn vaøo moät baøi giaûi cho baøi toaùn tính nguyeân haøm hay tích phaân baèng phöông phaùp ñaët aån 
phuï (hay phöông phaùp ñoåi bieán soá)ï, baïn ñoïc thöôøng coù caâu hoûi: taïi sao laïi choïn ñaët aån phuï nhö vaäy? 
Laøm sao choïn aån phuï thích hôïp?... Nhöõng kieán thöùc döôùi ñaây seõ giuùp caùc baïn ñònh höôùng ñöôïc pheùp ñaët 
aån phuï cho mình moät caùch nhanh choùng maø khoâng phaûi maøy moø laøm giaûm toác ñoä tính nguyeân haøm, tích 
phaân cuûa caùc baïn. 
 Tröôùc tieân caùc baïn caàn löu yù hai keát quaû maø chuùng ta thöôøng duøng sau ñaây : 
 - ( 1 ) ( ) '( )df x f x dx= . 
- ( 2 ) Neáu ( ) ( )f u du F u C= +∫ vaø u = u(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc thì: 
( ( )). '( ) ( ( )) ( ) ( ( ))f u x u x du f u x du x F u x C= = +∫ ∫ 
Ví duï: 2 2 2cos(2 3 1) (2 3 1) sin(2 3 1)x x d x x x x C+ + + + = + + +∫ . 
(ta hieåu trong suy nghó “ 
22 3 1x x+ + ” laø u ) 
 Sau ñaây chuùng ta tìm hieåu caùc moái quan heä quan troïng giuùp chuùng ta tìm nhanh pheùp ñaët aån phuï 
vaø ñònh höôùng nhanh caùch giaûi cho baøi toaùn nguyeân haøm, tích phaân. 
1. Quan heä giöõa nx vaø 1nx + ( 1n ≠ − ) 
Ta coù: 1 1 11 1( 1) ( )
1 ( 1)
n n n n ndx n x dx x dx dx d ax b
n a n
+ + +
= + ⇔ = = +
+ +
, trong ñoù 0a ≠ coøn b tuøy yù treân 
ℝ . Vaäy ta coù quan heä giöõa nx vaø 1nx + ( 1n ≠ − ) nhö sau: 
11 ( )( 1)
n nx dx d ax b
a n
+
= +
+
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvncom 2 
Ví duï 1. Tính: 2 3 9
1
(2 1)I x x dx= +∫ . 
Phaân tích : Theo loái giaûi thoâng thöôøng, caùc baïn seõ khai trieån bieåu thöùc 
3 9(2 1)x + , sau ñoù nhaân vôùi 2x ñeå 
ñöa veà nguyeân haøm deã tính hôn. Theá nhöng vieäc khai trieån bieåu thöùc 
3 9(2 1)x + laø khoâng ñôn giaûn? Do vaäy, 
caùch naøy ñaõ toû ra khoâng hieäu quaû! Neáu giaûi baøi toaùn naøy baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá, ta choïn aån phuï laø 
32 1u x= + . Taïi sao laïi choïn ñöôïc aån phu nhö vaäy? Baây giôø caùc baïn ñeå yù quan heä giöõa 2x vaø 3x nhö sau: 
2 31 (2 1)
6
x dx d x= + , neân ta coù 2 3 9 3 9 3
1
(2 1) (2 1) (2 1)
6
x x dx x d x+ = + + . Do ñoù, vieäc chuùng ta 
choïn aån phuï laø 32 1u x= + laø hoaøn toaøn töï nhieân, khoâng mang tính aùp ñaët. 
Baøi giaûi: 
2 3 9 3 9 3
1
1
I x (2x 1) dx (2x 1) d(2x 1)
6
= + = + +∫ ∫ . 
Ñaët 3 3u 2x 1 du d(2x 1)= + ⇒ = + . 
Ta coù: 
10 10
9
1
1 1 u u
I u du . C C
6 6 10 60
= = + = +∫ . 
Thay 3u 2x 1= + ta ñöôïc: 
3 10
1
(2 1)
60
+
= +
x
I C . 
* Nhaän xeùt: Neáu ñaõ thaønh thaïo trong vieäc söû duïng phöông phaùp naøy, caùc baïn coù theå trình baøy lôøi giaûi nhanh 
hôn nhö sau: 
2 3 9 3 9 3
1
1
I x (2x 1) dx (2x 1) d(2x 1)
6
= + = + +∫ ∫ 
3 10(2x 1)
C
60
+
= + . (ta hieåu trong suy nghó “ 32x 1+ ” laø “u”) 
2. Quan heä giöõa 2
1
x
 vaø 
1
x
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvncom 3 
Ta coù 
'
2
1 1
x x
− 
= 
 
 neân quan heä caàn xeùt giöõa 
1
x
 vaø 2
1
x
 laø: 
2
1 1   = − +   
a
dx d b
a xx
Ví duï 2. Tính:
31
1 2
xeI dx
x
+
= ∫ . 
Phaân tích:Neáu chöa ñöôïc bieát ñeán söï quan heä giöõa 2
1
x
 vaø 
1
x
 thì thaät khoâng deã ñeå chuùng ta tìm ra ngay pheùp 
ñaët aån phuï! Caùc baïn ñeå yù quan heä giöõa 2
1
x
vaø
1
x
: 
2
1 1 3
1
3
dx d
xx
 −  = +   
 neân ta 
coù
31 31
2
1 31
3
x
xe dx e d
xx
+
+  = − +    
. Do ñoù, ta coù theå choïn aån phuï laø 
31u
x
= + . 
Baøi giaûi:
31 31
1 2
1 31
3
x
xeI dx e d
xx
+
+  = = − +    ∫ ∫
. 
Ñaët 
3 3
u 1 du d(1 )
x x
= + ⇒ = + . 
Ta coù: u u
1
1 1
I e du e C
3 3
− −
= = +∫ . 
Thay 
3
u 1
x
= + ta ñöôïc: 
31
1
1
3
xI e C
+
=− + . 
* Nhaän xeùt: Neáu ñaõ thaønh thaïo trong vieäc söû duïng phöông phaùp naøy, caùc baïn coù theå trình baøy lôøi giaûi nhanh 
hôn nhö sau: 
31 3 31 1
1 2
1 3 11
3 3
x
x xeI dx e d e C
xx
+
+ + = = − + = − +   ∫ ∫
. 
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvncom 4 
3. Quan heä giöõa 
1
x
 vaø ln x 
Ta coù ( )' 1ln x
x
= neân quan heä caàn xeùt giöõa 
1
x
 vaø ln x laø: 
1 1
( ln )= +dx d a x b
x a
. 
Ví duï 3. Tính:
3 2
2
2 ln x 5 ln x
I dx
x ln x
+
= ∫ . 
Phaân tích :Caùc baïn ñeå yù quan heä giöõa 
1
x
 vaø ln x : 
1
(ln )dx d x
x
= neân ta coù 
3 2 3 22 ln 5 ln 2 ln 5 ln
(ln )
ln ln
x x x x
dx d x
x x x
+ +
= . Do vaäy, ta choïn aån phuï laø lnu x= . 
Baøi giaûi: 
3 2 3 2
2
2 ln x 5 ln x 2 ln x 5 ln x
I dx d(ln x)
x ln x ln x
+ +
= =∫ ∫ . 
Ñaët u ln x du d(ln x)= ⇒ = . 
Ta coù: ( )
3 2 3 2
2
2
2u 5u 2u 5u
I du du 2u 5u du
u u u
 +  = = + = +   ∫ ∫ ∫
3 22u 5u
C
3 2
= + + . 
Thay u ln x= ta ñöôïc: 
3 2
2
2(ln x) 5(ln x)
I C
3 2
= + + . 
* Nhaän xeùt: Neáu ñaõ thaønh thaïo trong vieäc söû duïng phöông phaùp naøy, caùc baïn coù theå trình baøy lôøi giaûi nhanh 
hôn nhö sau: 
3 2 3 2
2
2 ln x 5 ln x 2 ln x 5 ln x
I dx d(ln x)
x ln x ln x
+ +
= =∫ ∫ ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvncom 5 
( )22(ln x) 5 ln x d(ln x)= +∫
3 22(ln x) 5(ln x)
C
3 2
= + + . 
4. Quan heä giöõa 
xe vaø 
xae b+ 
Ta coù ( )'x xae b ae+ = neân quan heä caàn xeùt giöõa xe vaø xae b+ laø: 
1
( )x xe dx d ae b
a
= + ( 0a ≠ ) 
Ví duï 4. Tính:
1
3
2 1
x
x
e
I dx
e
=
+∫ . 
Phaân tích:Caùc baïn ñeå yù quan heä giöõa 
xe vaø 2 1xe + : 1 (2 1)
2
x xe dx d e= + neân ta coù 
3 3 3 1
. . (2 1)
22 1 2 1 2 1
x
x x
x x x
e
dx e dx d e
e e e
= = +
+ + +
3 1
. (2 1)
2 2 1
x
x
d e
e
= +
+
. Do vaäy, 
ta choïn aån phuï laø 2 1xu e= + . 
Baøi giaûi:
x
x x
1 x x x
3e 3 3 1
I dx .e dx . d(2e 1)
22e 1 2e 1 2e 1
= = = +
+ + +∫ ∫ ∫ 
x x
x x
3 1 3 1
. d(2e 1) d(2e 1)
2 22e 1 2e 1
= + = +
+ +∫ ∫ . 
Ñaët x xu 2e 1 du d(2e 1)= + ⇒ = + . 
Ta coù: 
1
3 1 3
I du ln | u | C
2 u 2
= = +∫ . 
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvncom 6 
Thay xu 2e 1= + ta ñöôïc: x
1
3
I ln(2e 1) C
2
= + + . (ta khoâng laáy daáu giaù trò tuyeät ñoái vì 
x2e 1 0+ > ) 
* Nhaän xeùt: Neáu ñaõ thaønh thaïo trong vieäc söû duïng phöông phaùp naøy, caùc baïn coù theå trình baøy lôøi giaûi nhanh 
hôn nhö sau: 
x
x
1 x x
3e 3 1
I dx . d(2e 1)
22e 1 2e 1
= = +
+ +∫ ∫
x3 ln(2e 1) C
2
= + + . 
5. Quan heä giöõa sinx vaø cosx 
Ta coù ( )'sin cosx x= vaø ( )'cos sinx x= − neân quan heä caàn xeùt giöõa sinx vaø cos x laø: 
1
cos ( s inx+b) =xdx d a
a
1
s inx ( cos )= − +dx d a x b
a
Ví duï 5. Tính: 3 2
1
cos sin x= ∫I x dx . 
Phaân tích : 3 2 2 2 2 2cos sin x= cos cos sin x= cos (1 sin x)sin x−x x x x . 
Caùc baïn ñeå yù quan heä giöõa sinx vaø cos x : cos (sin )=xdx d x neân ta coù 
2 2 2 2cos (1 sin x)sin x (1 sin x)sin x (sin )− = −x dx d x . Do vaäy, ta choïn aån phuï laø 
sinu x= . 
Baøi giaûi :
3 2 2 2
1
I cos x sin xdx= cos x cos x sin xdx= ∫ ∫ 
2 2= cos x(1 sin x)sin xdx−∫ 2 2(1 sin x)sin xd(sin x)= −∫ . 
Ñaët u sin x du d(sin x)= ⇒ = . 
Ta coù: 
3 5
2 2 2 4
1
u u
I (1 u )u du (u u )du +C
3 5
= − = − = −∫ ∫ . ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvncom 7 
Thay sinu x= ta ñöôïc: 
3 5
1
(sin x) (sin x)
I +C
3 5
= − . 
* Nhaän xeùt: Neáu ñaõ thaønh thaïo trong vieäc söû duïng phöông phaùp naøy, caùc baïn coù theå trình baøy lôøi giaûi nhanh 
hôn nhö sau: 
3 2 2 2
1
I cos x sin xdx= cos x(1 sin x)sin xdx= −∫ ∫ 
2 2 2 4(1 sin x)sin xd(sin x) (sin x sin x)d(sin x)= − = −∫ ∫ 
3 5sin x sin x
C
3 5
= − + . 
6. Quan heä giöõa sin2x, cos2x vaø sin2x 
Ta coù ( )'2sin 2sin cos sin 2x x x x= = vaø ( )'2cos 2cos sin sin 2x x x x= − = − neân quan heä caàn xeùt giöõa 
2 2sin , cosx x vaø sin 2x laø: 
21sin2 ( sin ) = +xdx d a x b
a
21sin 2 ( cos )= − +xdx d a x b
a
Ví duï 6. Tính:
2 2 2
sin2
2 sin 3 cos
=
+
∫
x
I dx
x x
. 
Giaûi:Ta bieán ñoåi: 
2 2 2 2 2 2
sin2 sin2 sin2
2sin 3cos 2(sin cos ) cos 2 cos
= =
+ + + +
x x x
x x x x x x
. 
Caùc baïn ñeå yù quan heä giöõa 
2cos x vaø sin 2x : 2sin2x (2 cos )= − +dx d x neân ta coù 
2
2 2
sin2 1
(2 cos )
2 cos 2 cos
−
= +
+ +
x
dx d x
x x
. Do ñoù, ta coù theå choïn aån phuï laø 
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvncom 8 
22 cosu x= + hoaëc 22 cosu x= + . Trong tröôøng hôïp naøy ta neân choïn 22 cosu x= + ñeå bieåu thöùc 
döôùi daáu nguyeân haøm khoâng coøn caên thöùc. 
Baøi giaûi: 
2
2 2 2 2
sin2 1
(2 cos )
2 sin 3 cos 2 cos
−
= = +
+ +
∫ ∫
x
I dx d x
x x x
. 
Ñaët 2 2 2 2 2u 2 cos x u 2 cos x du d(2 cos x)= + ⇒ = + ⇒ = + . 
Ta coù: 2
2
1 2u
I du du 2 du 2u C
u u
−
= =− =− =− +∫ ∫ ∫ . 
Thay 2u 2 cos x= + ta ñöôïc: 2
2
I 2 2 cos x C= − + + . 
* Nhaän xeùt: Neáu ñaõ thaønh thaïo trong vieäc söû duïng phöông phaùp naøy, caùc baïn coù theå trình baøy lôøi giaûi nhanh 
hôn nhö sau: 
2
2 2 2 2
sin2 1
(2 cos )
2 sin 3 cos 2 cos
−
= = +
+ +
∫ ∫
x
I dx d x
x x x
1
2 2 22(2 cos x) d(2 cos x) 2 (2 cos x) C
−
= − + + = − + +∫ . 
7. Quan heä giöõa 
2
1
osc x
 vaø tanx , 
2
1
sin x
 vaø cotx 
Ta coù ( )' 21tan x osc x= vaø ( )
'
2
1
cot x
sin x
−
= neân quan heä caàn xeùt giöõa 
2
1
osc x
 vaø tanx , 
2
1
sin x
 vaø 
cotx laø: 
2
1 1
( tan x+b) 
os
=dx d a
ac x 2
1 1
( cot x+b)
sin
= −dx d a
ax
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvncom 9 
(ta hieåu coâng thöùc treân moät caùch ñôn giaûn nhö sau: ñöa 
2
1
osc x
 vaøo trong vi phaân thaønh ( tanx+b)a , 
ñöa 
2
1
sin x
 vaøo trong vi phaân thaønh ( cotx+b)a− , vôùi 0a ≠ vaø b tuøy yù treân ℝ ) 
Ví duï 7. Tính:
2
2
cot
sin x
  =    ∫
x
I dx . 
Phaân tích:Ta bieán ñoåi:
2
2
2
2 2
cot cot 1
cot .
sin x sin x sin x
   = =   
x x
x . Caùc baïn ñeå yù quan heä giöõa 
2
1
sin x
 vaø 
cotx : 
2
1
(cot ) 
sin
=−dx d x
x
 neân ta coù 
2 2
2
1
cot . cot (cot )
sin x
= −x dx xd x . Do vaäy, ta 
coù theå choïn aån phuï laø cotu x= . 
Baøi giaûi:
2
2
2
2 2 2
cot cot 1
cot .
sin x sin x sin x
x x
I dx dx x dx
  = = =   ∫ ∫ ∫ 
2cot (cot )xd x=−∫ . 
Ñaët u cot x du d(cot x)= ⇒ = . 
Ta coù: 
3
2
2
u
I u du C
3
= − =− +∫ . 
Thay u cot x= ta ñöôïc: 
3
2
(cot x)
I C
3
= − + . 
* Nhaän xeùt: Neáu ñaõ thaønh thaïo trong vieäc söû duïng phöông phaùp naøy, caùc baïn coù theå trình baøy lôøi giaûi nhanh 
hôn nhö sau: 
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvncom 10 
2
2 2
2 2
cot 1
cot . cot (cot )
sin x sin x
x
I dx x dx xd x
  = = = −   ∫ ∫ ∫
3(cot x)
C
3
= − + . 
Baøi vieát cuûa: Traàn Tuaán Anh. 
Ñieän thoaïi: 0974.484858. 
Email: TranTuanAnh858@gmail.com 
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m