Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán

C¸c d¹ng bµi hay gÆp trong bé m«n To¸n
I. Ph­¬ng tr×nh bËc hai kh«ng cã tham sè (Bµi tËp vÒ gi¶i ph­¬ng tr×nh)
1. Ph­¬ng tr×nh bËc hai d¹ng khuyÕt :
a/ Ph­¬ng tr×nh bËc hai khuyÕt h¹ng tö bËc nhÊt : 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i :
- ChuyÓn h¹ng tö tù do sang vÕ ph¶i.
- Chia c¶ hai vÕ cho hÖ sè bËc hai ®­a vÒ d¹ng : x2 = 
+) > 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
+) b = 0, a 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0
+) < 0 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
Ví dụ: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau :
b/ Ph­¬ng tr×nh bËc hai khuyÕt h¹ng tö tù do :
Ph­¬ng ph¸p gi¶i : Ph©n tÝch ®a thøc vÕ tr¸i thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung, ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch råi gi¶i.
Ví dụ: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau : 
2. Ph­¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ :
Ph­¬ng ph¸p gi¶i :
- Sö dông c«ng thøc nghiÖm hoÆc c«ng thøc nghiÖm thu gän ®Ó gi¶i.
- Sö dông quy t¾c nhÈm nghiÖm ®Ó tÝnh nghiÖm víi mét sè ph­¬ng tr×nh ®Æc biÖt.
+) Dựa trên điều kiện: a +b + c = 0 hoặc a – b + c = 0
+) Áp dụng hệ thức Vi Ét: PT ax2 + bx + c = 0 (a 0) nếu có 	
thì ph có hai nghiệm x1 = m; x2 = n hoặc x1 = n thì x2 = m
Ví dụ: 	
b/ Ph­¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu : 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i :
- B­íc 1. T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh.
- B­íc 2. Quy ®ång mÉu thøc hai vÕ råi khö mÉu.
- B­íc 3. Gi¶i ph­¬ng tr×nh võa nhËn ®­îc.
- B­íc 4. Trong c¸c gi¸ trÞ t×m ®­îc cña Èn, lo¹i c¸c gi¸ trÞ kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, c¸c gi¸ trÞ tháa m·n ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho.
Ví dụ: 
c/ Ph­¬ng tr×nh tÝch. 
*Ví dụ 1( Bài 36, trang 56 SGK Toán 9):Giải các phương trình
a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0
b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0
Chú ý tới hai tính chất của phương trình bậc 3: ax+ bx+ cx+ d= 0
Nếu a+ b+ c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x=1
Nếu a – b + c – d = 0 thì phương trình có một nghiệm x= -1.
Khi đã nhận biết được nghiệm, ta phân tích được vế trái của phương trình thành nhân tử.
Giải phương trình đưa về dạng tích chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích ta sẽ được một phương trình mà vế trái gồm các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đã biết cách giải.
Phương trình bậc 3 có các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là bội số của hạng tử tự do ( Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên
4. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc nghiÖm (¸p dông ®Þnh lý Vi-et).
II. Ph­¬ng tr×nh bËc hai cã tham sè
1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè.
2. T×m tham sè biÕt sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (cã hai nghiÖm ph©n biÖt, cã nghiÖm kÐp, cã nghiÖm hoÆc v« nghiÖm).
3. ¸p dông ®Þnh lý Vi-et.
a/ T×m tham sè khi biÕt nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
b/ T×m tham sè khi biÕt dÊu cña nghiÖm (hai nghiÖm tr¸i dÊu, cïng dÊu, cïng d­¬ng hoÆc cïng ©m)
c/ T×m tham sè khi biÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm :
- HÖ thøc ®èi xøng.
- HÖ thøc kh«ng ®èi xøng.
d/ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc nghiÖm theo tham sè.
e/ T×m hÖ thøc ®éc lËp gi÷a c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng phô vµo tham sè.
f/ LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
Bµi 2. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m : (1)
a/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 2.
b/ Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. TÝnh theo m.
c/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : .
d/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = - 3. TÝnh nghiÖm cßn l¹i.
f/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
g/ LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m.
Gi¶i
a/ Thay m = - 2 vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta cã ph­¬ng tr×nh :
VËy víi m = - 2 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1.
b/ Ph­¬ng tr×nh : (1)
Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : 
*) 
*) 
c/ Theo phÇn b : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
Khi ®ã 
Do ®ã 	
=> ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : 
Thö l¹i :	+) Víi => lo¹i.
	+) Víi => tháa m·n.
VËy víi m = - 3 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : .
d/ Theo phÇn b : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : 
HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = 5 (c)
Tõ (a) vµ (c) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh : 
Thay vµo (b) ta cã ph­¬ng tr×nh : 
=> ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :
Thö l¹i :	+) Víi => tháa m·n.
	+) Víi => tháa m·n.
VËy víi ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm 
Khi ®ã : 
VËy víi m = 6 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = - 3.
f/ Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu 
VËy víi m < - 3 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
g/ Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2. Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã : 	
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA CÓ MỘT NGHIỆM CÓ THỂ NHẨM ĐƯỢC.
Phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ) có một nghiệm x = 
Bằng phép choa đa thức (hoặc dùng lược đồ horner) phân tích vế trái thành: (x - )(ax2 + b1x +c1) để đưa về dạng phương trình tích.
(x - )(ax2 + b1x +c1) = 0 
Giải phương trình bậc hai ax2 + b1x +c1 = 0 ta được các nghiệm ngoài nghiệm x = của phương trình bậc ba.
Sơ đồ horner;
CÁCH LÀM CỤ THỂ KHI SỬ DỤNG SƠ ĐỒ HOOCNER
**Công dụng: 
Dùng để chia một đa thức bậc n có dạng anxn + an-1xn-1 ++a0 cho biểu thức (x-a) 
Lợi dụng khả năng chia đa thức nhanh chóng, sõ đồ Hoc-ne thường được dùng nhiều nhất trong việc giải phương trình bậc 3 (hay bậc cao hơn), khi ta đã biết được một nghiệm của phương trình (đề cho hay tự nhẩm)
Cách chia: 
Nếu không dùng sõ đồ hoc-ne, bạn vẫn có thể dùng phép chia đa thức bình thường đã học ở lớp 8 để thực hiện việc chia đa thức. Ngoài ra, nếu để ý kỹ, bạn sẽ khám phá ra một điều thú vị rằng sõ đồ Hoc-ne được hình thành từ cách chia đa thức kinh điển mà bạn đã học.
**Giả sử ta có đa thức x3 + 2x2 – 5x - 6. Bây giờ, ta muốn chia đa thức này cho biểu thức (x-2). Ta lần lượt thực hiện các bước sau:
!/ Lần lượt viết các hệ số của đa thức lên một hàng ngang, và số a nằm bên trái, như bảng sau:(với b0=a0,các b khác tìm bằng câu thần chú: Lấy đầu nhân trước ,cộng trên )
a0 =1
a1=2
a2 =-5
a3 =-6
a = 2
b0 = a0 = 1
b1= 2.1+2 = 4
b2 = 2.4+(-5)= 3
b3 = 2.3 + (– 6) = 0
Ở đây, có một lưu ý nhỏ: Vì bạn chia cho đa thức (x-2) nên số a là 2, nếu đa thức chia là (x+2) thì số a phải là -2 vì x – (-2) = 
Bạn hãy nhớ câu thần chú: "Cắt đầu đem xuống". Vì số 1 đứng đầu, ta đem số 1 xuống hàng dưới(b0 = a0 = 1)
Số 1 chạy xuống dưới, thấy số 2, liền chạy đến ôm số 2. Ta lấy 2*1. Hai đứa này ở chung vẫn thấy buồn, nên nó chạy lên hàng trên, kéo hệ số tiếp theo xuống. Bây giờ, ta có 2*1+2=4.(Lấy đầu nhân trước ,cộng trên ) Ta đem số 4 này xuống hàng dưới
Tương tự, ta xem số a như một cô gái đẹp, mỗi số mới ở hàng dưới là một chàng trai. Mỗi chàng trai mới xuất hiện ở hàng dưới đều chạy đến ôm cô gái đẹp đó (số a, trong ví dụ này là số 2), rồi nhảy lên trên, cộng với hệ số trên để tạo thành một số mới ở hàng dưới. Cứ tiếp tục như thế cho đến số cuối cùng.
(4*2-5=3 à ta viết hệ số 3 ở hàng dưới) (3*2-6=0)
Cuối cùng, ta có (x3+2x2–5x-6):(x-2)=(x2+4x+3)
Hay:(x3+2x2–5x-6)=(x-2).(x2+4x+ 3)
Đa thức thương sẽ có bậc nhỏ hơn đa thức bị chia là 1, vì đa thức thương nhân với biểu thức (x-a) sẽ ra biểu thức bị chia.
Bây giờ, giả sử đề yêu cầu giải phương trình bậc ba: x3 + 5x2 + 2x -8 =0,ta làm như sau:
Cách 1: Bấm máy (hoặc tính tổng các hệ số để nhẫm nghiệm)
Cách 2:Ta thấy phương trình trên có 1 nghiệm x=1 ( thế x=1 vào biểu thức trên sẽ thấy đa thức =0).Sau khi nhẩm được nghiệm x=1,ta chia đa thức (x3+5x2+2x-8)cho (x-1). Dùng sõ đồ Horner như sau:
a0 =1
a1=5
a2 =2
a3 =-8
a = 1
b0 = a0 = 1
b1= 1.1+5 = 6
b2 = 1.6+2 = 8
b3 = 1.8 + (– 8) = 0
Ta được: x3 + 5x2 + 2x -8 = (x-1)(x2+6x+8).Bây giờ, ta chỉ việc giải phương trình bậc hai x2+6x+8=0, bạn sẽ dễ dàng tìm được 2 nghiệm còn lại là x2=-2 và x3=-4
Vậy, ta kếtluận phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 1; x2=-2, x3=-4
Lưu ý trong việc giải pt nếu làm đúng thì số cuối cùng của hàng thứ 2 phải là số 0, nếu khác số 0 thì nghĩa là bạn có chỗ nào đó làm sai, nên coi kĩ lại.
SƠ ĐỒ HOOCNER
Dùng máy 570 nhẩm nghiệm,sau đó dùng Hoc-nơ là OK
Nhẩm nghiệm : lấy ước chung của số cuối chia cho số đầu là được, sau đó thử lại vào phương trình. Đa số các phương trình là mò nghiệm kiểu đó.
VD: Phương trình bậc 4 : x4+2x3+x2 -2x -2.
_Đầu tiên là phải mò ra được nghiệm của phương trình bằng cách lấy ước của d/a, nhưng trong VD này thì bạn có thể thấy ngay nghiệm của phương này là 1.
_Đến đây thì tốt quá rồi, khi đã mò được nghiệm thì dùng lược đồ hoocne để phân tích .
+Bạn lấy các hệ số a,b,c,d... như sau 1 2 1 -2 -2
+Và điền giá trị nghiệm bạn mò được 1 1 3 4 2 0
+Tiếp theo là hạ giá trị a xuống(ở đây là 1) 
+Lấy a nhân với nghiệm rồi cộng với b 
+Tương tự lấy b nhân với nghiệm và cộng với c, rồi c nhân với nghiệm cộng với d... 
+Nếu giá trị cuối cùng là 0 thì bạn đã làm đúng rồi.
_Cuối cùng chỉ việc lấy các giá trị trên và hạ bậc phương trình bậc 4 trên được :
(x-1)( x3+3x2+4x+2)
3. Phương trình bậc bốn:
Phương trình bậc bốn là phương trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 +dx +e = 0 trong đó a, b, c, d ,e là các hằng số cho trước, a 
Một số dạng bậc bốn mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về dạng phương trình bậc hai
3.1. Phương trình trùng phương:
a) Dạng tổng quát:
Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a,b,c là các hệ số, 
b) Cách giải:
Loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t từ đó ta đưa đến một phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0
Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t
( Nếu những giá trị tìm được của t thoả mãn t ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình ban đầu).
*Ví dụ 1: Giải phương trình: 
đặt x2 = t (a) 3t2-2t -1 = 0 
Nghiệm của phương trình (b) : t1= 1; t2 = thoả mãn t 
Với t1= 1 =>x2 = 1=> x =1
Với t2 = => x2 = => x=
Vậy phương trình có 4 nghiệm 
 *Ví dụ 2: Giải phương trình: 
đặt ta có phương trình 
 (lo¹i)
Với t1 = 2 x2 = 2 x = 
Vậy S = 
 *Ví dụ 3: Giải phương trình: 
đặt ta có phương trình ( loại)
 Vậy phương trình vô nghiệm	( loại)
 * VÝ dô 4 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
2x4 + 5x2 -7=0
®Æt x2=t víi t > 0 ta ®­îc 
2t2 +5t -7 =0
Cã :2+5-7=0 nªn
t1=1(tho¶ m·n) ; t2=(lo¹i) 
víi t1=1 suy ra x2=1 suy ra x1=1 ; x2=-1.
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1=1 ; x2=- 1
d) Nhận xét : Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương ta thấy
+ Phương trình vô nghiệm khi:
- Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm.
- Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm cùng âm.
+ Phương trình có nghiệm khi:
- Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, nghiệm kép dương
- Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm âm.
3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ:
a.Cách giải:
* Đặt điều kiện để phương trình xác định nếu có
* Đặt ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn mới
* Trở về ẩn ban đầu và xác định tập nghiệm
b. Bài tập: Bài 40, tr57 SGK T9
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
a. 
b.
Giải 
a. 
Đặt ta có 
Với t1=1, ta có 	
Với t2=ta có hay . Phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 
b.
 Đặt ta có phương trình giải ra ta được t1 = 2; t2 = -3.
Với t1 = 2 ta có 
Với t2= -3 ta có hay phương trình này vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 0; x2 =4
3.3.Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ . Giải phương trình       (3)
Giải 
Cách 1
a) Nếu thì phương trình (3) trở thành  . Từ đó  .
    Giá trị    không thỏa mãn điều kiện  nên bị loại .
b) Nếu  thì phương trình (3) trở thành . Từ đó  .
    Giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm. 
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là 
.
Cách 2.
Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả:
                (3) 
Phương trình cuối có hai nghiệm là  và .
Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là .
Kết luận.  Vậy nghiệm của phương trình là .
3.4. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:
Áp dụng một trong các phương pháp:
- Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ 
- Đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đều dương để đưa về phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.
Chú ý: Sau khi tìm được nghiệm cần đối chiếu , kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm thích hợp.
Ví dụ .  Giải phương trình  .  (1)
Giải:  Điều kiện của phương trình (1) là .
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta đưa tới phương trình hệ quả
                (1) 
Phương trình cuối cùng có hai nghiệm là và . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4) , nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị là nghiệm (hai vế cùng bằng ).
Kết luận  Vậy nghiệm của phương trình (4) là .
3.5 Phương trình dạng ax4+bx3 +cx2 kbx +k2a = 0.(Phương trình hồi quy)
Chóng ta hay gÆp d¹ng ph­¬ng tr×nh nµy ë tr­êng THCS ®ã lµ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng.
a) Phương pháp giải:
 x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x2 ta được : 
	đặt 
 Ta có phương trình bậc hai: 
b) Ví dụ:1) Giải phương trình x4 + 4 = 5x( x2 -2) (1)
Giải
Ta có (1) x4 – 5x3 +10x +4 = 0 .
x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x2 ta được 
Đặt t = ta có 
Ta có phương trình 
Với t = 4 ta có : 
Với t = 1 ta có :
Vậy S = 
2)gi¶i ph­¬ng tr×nh (PT ®èi xøng)
V× : x=0 kh«ng lµ nghiÖm nªn ta chia hai vÕ cho x2
(a)
§Æt 
 Ph­¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm
 ph­¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm kÐp x=-1
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm kÐp x=-1
Nhận xét: Giải phương trình “hồi quy” bằng những phép biến đổi tương đương và “đổi biến” ta đưa về phương trình bậc hai trung gian rồi trả biến sẽ tìm được nghiệm phương trình “hồi quy” ban đầu .
* Số nghiệm của phương trình “hồi quy” phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình bậc hai.
 - Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phương trình ban đầu vô nghiệm.
 - Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm t1,t2 nhưng các phương trình 
	+ Vô nghiệm thì phương trình đầu vô nghiệm.
	+ Còn lại phương trình đó có nghiệm nào thì phương trình đầu có nghiệm đó.
3.6 Phương trình dạng a[(fx)]2 +bf(x) + c = 0 (1)
Trong đó a ; (fx) là một đa thức biến x; x là ẩn số của phương trình.
a) Cách giải: 
- Sau khi tìm TXĐ của phương trình đổi biến bằng cách đặt (fx) = t. Ta đưa phương trình về dạng : at2 + bt +c =0 (2)
 Đây là phương trình bậc hai ta đẫ biết cách giải.
- Nếu phương trình bậc hai trung gian (2) có nghiệm t = t0 . Ta sẽ tiến hành giải tiếp phương trình (fx) = t0
	Nghiệm của phương trình (fx) = t0 (Nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho) sẽ là nghiệm của phương trình (1)
b) Ví dụ: Giải phương trình 
Giải
Biến đổi vế trái của phương trình ta có:
VT = 
 = 
 = 
Vậy phương trình (1) Tương đương với 
Đặt (2)
Ta được phương trình bậc hai sau (3)
Giải phương trình (3) ta được hai nghiệm là: t1 = 1; t2 = 3
Với t1 = 1 từ (2) ta có phương trình này có hai nghiệm phân biệt là và 
Với t2 = 3 từ (2) ta có phương trình này có hai nghiệm phân biệt là và 
. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt ; ; và 
c) Nhận xét:
Nhờ phép biến đổi f(x) = t ta đưa được phương trình 
	a[f(x)]2+bf(x) +c = 0
về dạng phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải:at2 +bt +c = 0
Tuy nhiên có một số phương trình phải qua một số bước biến đổi mới xuất hiện dạng tổng quát ( như trong ví dụ trên). Cũng như một số loại phương trình khác mà tôi đã giới thiệu ở trên, số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phương trình bậc hai trung gian.
Chú ý: 
Các dạng phương trình tôi đã đề xuất ở trên thực chất chúng đều có dạng tổng quát ( sau khi biến đổi):
	a[f(x)]2 +bf(x) +c = 0
Và giải chúng bằng phép biến đổi: f(x) = t.
Phươg trình trùng phương ( cũng như phương trình bậc hai) là những dạng đặc biệt của phương trình: ax2n + bxn + c = 0.
Trong đó a0; nN và n 1 ( còn gọi là phương trình tam thức)
Các phương trình này cũng chỉ là dạng đặc biệt của phương trình:
	a[f(x)]2 +bf(x) +c = 0 ở đây f(x) = xn.
 *vÝ dô 1 : x6-7x3- 8=0
®Æt x3=t ta cã :t2-7t-8=0
V× 1-(-7)-8=0 nªn t1=-1;t2=8
Víi t = t1=-1suy ra x3=-1 suy ra x1=-1
Ví t = t2=8 suy ra x3=8 suy ra x2= 2.
VËy ph­¬ng tr×nh trªn cã hai nghiÖm x1=-1 ; x2= 2.
*vÝ dô 2 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 x2008-10x1004+9=0
®Æt x1004 = t víi t > 0 ta cã ph­¬ng tr×nh t2- 10t + 9 =0
V×: 1 - 10 + 9 = 0 nªn t1=1 ; t2= 9
Víi t1=1 th× x1004=1 suy ra x1=1 ;x2=-1
Víi t2= 9 th× x1004 = 9 suy ra 
VËy ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm x1=1 ;x2=-1; 
3. 7 Ph­¬ng tr×nh d¹ng 
 x lµ Èn ; a; b; c lµ hÖ sè.
* c¸ch gi¶i :
Nh×n chung ®èi víi ph­¬ng tr×nh d¹ng nµy nÕu ta khai triÓn vÕ tr¸i , ta sÏ ®i ®Õn mét ph­¬ng tr×nh bËc bèn ®Çy ®ñ(viÖc gi¶i tæng qu¸t ph­¬ng tr×nh nµy kh«ng yªu cÇu ®èi víi häc sinh THCS )
Ta biÕn ®æi biÕn :
ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh :
Ph­¬ng tr×nh nµy trïng ph­¬ng Èn t ta ®· biÕt c¸ch gi¶i 
* vÝ dô :
vÝ dô 1 : gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 (a)
®Æt 
VËy x + 4 = 0x = - 4
Ph­¬ng tr×nh (a) cã nghiÖm kÐp x = - 4
vÝ dô 2 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 (b)
®Æt :
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (c)
®Æt t2=v0 th× 
 v1 vµ v2 kh«ng tho¶ m·n v > 0 do vËy ph­¬ng tr×nh (c) v« nghiÖm
 ph­¬ng tr×nh (b) v« nghiÖm .
* NhËn xÐt: b»ng phÐp biÕn ®æi ta ®îc ph­¬ng tr×nh d¹ng vÒ ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng (trung gian ) cã d¹ng tæng qu¸t :
Qua phÐp biÕn ®æi t2= x víi x0 ta ®a ph­¬ng tr×nh vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai trung gian: X2 + BX + C = 0
Sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh phô thuéc vµo sè nghiÖm cña 
ph­¬ng tr×nh trung gian X2 + BX + C = 0
NÕu ph­¬ng tr×nh bËc hai trung gian v« nghiÖm hoÆc chØ cã nghiÖm ©m th× ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng v« nghiÖm vµ do ®ã ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
NÕu ph­¬ng tr×nh bËc 2 trung gian cã nghiÖm kh«ng ©m : Xo th× ph­¬ng tr×nh ®Çu cã nghiÖm :
 ë ®ã :
Lu­ ý sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®Çu phô thuéc vµo sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng vµ do ®ã phô thuéc vµo sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai trung gian
- Nh­ vËy nÕu ph­¬ng tr×nh bËc hai trung gian : X2 + BX + C = 0
	+ V« nghiÖm hoÆc cã c¶ hai nghiÖm cïng ©m th× ph­¬ng tr×nh ®Çu v« nghiÖm .
	+ NÕu ph­¬ng tr×nh bËc hai trung gian cã mét nghiÖm ©m vµ mét nghiÖm ®¬n th× ph­¬ng tr×nh ®Çu cã hai nghiÖm ph©n biÖt .
	+ Cã hai nghiÖm ®¬n ph©n biÖt th× ph­¬ng tr×nh ®Çu cã 4 nghiÖm ph©n biÖt .
	+ Cã mét nghiÖm ®¬n vµ mét nghiÖm b»ng 0 th× ph­¬ng tr×nh ®Çu cã 3 nghiÖm .
	+ Cã mét nghiÖm kÐp th× ph­¬ng tr×nh ®Çu cã hai nghiÖm kÐp ph©n biÖt. 
3. 8 ph­¬ng tr×nh d¹ng : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m
4 hÖ sè a , b ,c ,d thµnh hai cÆp – mçi cÆp hai sè cã tæng b»ng nhau , ch¼ng h¹n a + c = b + d 	
* )C¸ch gi¶i 
Nhãm (x+a) víi (x+d) ; (x+b) víi (x+c) khai triÓn tÝch ®ã . Ta ®a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng :
Do a+d = b+c ®Æt x2+(a+d).x +k =t
( k cã thÓ chän lµ :ad hoÆc bc tuú ý ) ta sÏ ®a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng At2+Bt+C = 0 (A=1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta ®îc nghiÖm t (khi ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm )
Gi¶i tiÕp ph­¬ng tr×nh x2+(a+d).x+ad =t
Ta sÏ cã kÕt luËn nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®Çu 
Nõu ph­¬ng tr×nh bËc hai trung gian v« nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh ®Çu còng v« nghiÖm 
* ) vÝ dô 
 vÝ dô 1 : gi¶i ph­¬ng tr×nh 
(x + 4) (x + 5) (x + 7) (x + 8) = 4 (a)
NhËn xÐt : 4 + 8 = 5 + 7
®Æt : x2 + 12x + 32 = t
V× 1+3- 4=0 nªn ph­¬ng tr×nh (b) cã hai nghiÖm : t1 =1 ; t2= - 4
+ ) t = t1 =1 
+ ) t =t2 =- 4	 
VËy ph­¬ng tr×nh ®Çu cã 4 nghiÖm 
	vÝ dô 2 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau 
(x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19 (a)
NhËn xÐt : -2+7=1+4
VËy (a)
®Æt : x2+5x -14 =t 
V× : 1+18-19 =0 nªn ph­¬ng tr×nh trªn cã hai nghiÖm : t1=1 ; t2= -19
VËy ph­¬ng tr×nh (a) cã 4 nghiÖm ®¬n :
*) nhËn xÐt 
 víi lo¹i ph­¬ng tr×nh cã d¹ng trªn :
NÕu khai triÎn thµnh d¹ng ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn rÊt khã gi¶i v× cÊp hai ch­a häc .
B»ng nhËn xÐt ta nhãm hîp lý sau ®ã ®æi hÖ sè , khai triÓn biÕn ®æi mçi nhãm ta sÏ ®a ®îc vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai trung gian .
 NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian v« nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh ®Çu v« nghiÖm .
 - 	Khi gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai trung gian Èn t t×m ®­îc t , ta tr¶