Bồi dưỡng môn Toán học khối 9

Bài 1: Cho biểu thức:
Px=x3+3x2+ x2-4x2-1-4x3-3x2+ x2-4x2-1+4 (x≥1)
 	a) Rút gọn P(x)
b) Tìm x để P(x) = 1 
Lời giải:
a) Ta có: x3 + 3x2 – 4 = (x + 2)2(x – 1)
Và do đó: x3+3x2+x2-4x2-1-4
=x+2x-1x+2x-1+ x-2x+1 (1)
Tương tự như vậy: x3 – 3x2 + 4 = (x – 2)2(x + 1)
Và: x3-3x2+x2-4x2-1+4
=x-2x+1x+2x-1+ x-2x+1 (2)
Ta giải phương trình: x+2x-1+ x-2x+1=0
⟺1≤x≤2x+22x-1=x-22(x+1)⟺1≤x≤2x3+3x2-4=x3-3x2+4 ⟺x=23 
Vậy miền xác định của P là: x≥1 x≠2x≠23
Với x thuộc miền xác định, từ (1) và (2) ta rút gọn được:P=x+2x-1(x-2)x+1 
b) Với x thuộc miền xác định, ta tìm x sao cho P = 1
Ta có: P = 1 ⟺x+2x-1=x-2x+1
⟺x≥2x+22x-1=x-22(x+1)⟺x≥2x3+3x2-4=x3-3x2+4
⟺x≥2x=23x=-23 Hệ vô nghiệm.
Vậy không tồn tại x sao cho P = 1
Bài 2: a) Cho x > 0, y>0 thỏa mãn x + y ≥6, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	P=3x+2y+6x+8y
	b) Cho a>0, b>0, c>0, d>0.Chứng minh rằng:
 (a+b)(c+d)+(a+c)(b+d)+(a+d)(b+c) ≥64abcd
Lời giải:
a) Ta có:
 P=3x+2y+6x+8y
=32x+y+32x+6x+(12y+8y) 
≥32.6+232x.6x+212y.8y 
=19 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x+y=632x=6x12y=8y⟺x=2y=4 
Vậy Pmin=19 và giá trị nhỏ nhất đạt được tại x = 2, y = 4.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số, ta có:
a+b ≥2ab ; c+d≥2cd ; a+c≥2ac ;
b+d≥2bd ; a+d≥2cd ; b+c≥2bc ;
Thay các bất đẳng thức trên vào vế phải ta được điều phải chứng minh.
Bài 4:	a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng, trong các điểm đã cho có thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 22 
b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn 132 
Lời giải:
a) Chia hình vuông đã thành 4 hình vuông con như hình vẽ:
Dễ dàng tính được, cạnh của một hình vuông con là 12 và đường chéo là 22
Gieo 5 điểm đã cho vào hình vuông ban đầu, 5 điểm đó sẽ nằm trong 4 hình vuông con. Theo nguyên tắc Derichle, tồn tại 2 điểm nằm trong cùng một hình vuông. Và do đó khoảng cách giữa 2 điểm đó sẽ không lớn hơn đường chéo của hình vuông chứa nó, tức là không lớn hơn 22 .ĐPCM.
b) Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông con như hình vẽ:
Dễ dàng tính được, cạnh của một hình vuông con là 14 và diện tích là 116
Gieo 33 điểm đã cho vào hình vuông ban đầu, 33 điểm đó sẽ nằm trong 16 hình vuông con. Theo nguyên tắc Derichle, tồn tại 3 điềm nằm trong cùng 1 hình vuông con. Khi đó diện tích của tam giác lấy 3 điểm đã cho làm đỉnh sẽ không lớn hơn 12 diện tích hình vuông con, tức là không lớn hơn 132 .ĐPCM.
Bài 3: a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m; n) sao cho 2m + 1 chia hết cho n và 2n +1 chia hết cho m.
	 b) Có bao nhiêu số có 6 chữ số được cấu tạo bởi các chữ số 2, 3, 5 chia hết cho 9
 c) Có tồn tại hay không cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau:
52p+ 2007=52q2+q2
Lời giải:
a) 
–Xét trường hợp m ≥ n
Ta có 0< 2n + 1 ≤ 2m +1 ≤ 3m
Mặt khác 2n + 1 chia hết cho m nên xảy ra các trường hợp:
*) 2n + 1 = 3m. Vì m ≥ n nên chỉ xảy ra trường hợp m = n = 1
*) 2n + 1 = 2m . Loại vì chẳn ≠ lẻ
*) 2n + 1 = m. Khi đó 2m + 1 = 4n + 3 và do đó 2m + 1 chia hết cho n khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 3. Và ta được các cặp nghiệm (m; n) = (3; 1), (7; 3)
–Xét trường hợp m < n.
 Giải tương tự ta được (m; n) = (1; 3), (3; 7)
Kết luận:
Các cặp số nguyên dương (m; n) thỏa mãn bài toán là:
 (1; 1), (1; 3), (3; 1), (3; 7), (7; 3)
b) Gọi số có 6 chữ số là A. Gọi x là số chữ số 2, y là số chữ số 3 và z là số chữ số 5 trong A. Ta có: x≥0;y≥0;z≥0 và x + y + z = 6. 
Mặt khác A chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của A chia hết cho 9.
Hay nói cách khác 2x + 3y + 5z chia hết cho 9.
Như vậy, ta có :
 x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 62x + 3y + 5z⋮9⟺x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 63x+y+z+2z-x⋮9⟺x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 62z-x⋮9
⟺x≥0;y≥0;z≥0x + y + z = 62z-x=02z-x=9⟺x≥0;y≥0;z≥02z-x=0y+3z=6 (1)x≥0;y≥0;z≥02z-x=9y+3z=15 (2) 
Hệ (1) có các nghiệm là: (x; y; z) = (0; 6; 0), (2; 3;1), (4;0;2)
Hệ (2) có nghiệm (1;0;5)
Với (x; y; z) = (0; 6; 0) có 1 số A thỏa mãn bài toán
Với (x; y; z) = (2; 3; 1) có C62.C43=60 số A thỏa mãn bài toán
Với (x; y; z) = (4; 0; 2) có C64=15 số A thỏa mãn bài toán
Với (x; y; z) = (1; 0; 5) có C61=6 số A thỏa mãn bài toán
Vậy có tất cả 1 + 60 + 15 + 6 = 82 số thỏa mãn bài toán.
c) Ta giả sử tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình. 
Ta có: 52p+ 2007=52q2+q2⟺52p-52q2=q2-2007 (1)
 Vì p, q là số nguyên tố nên p>0, q>0.
Suy ra 52p và 52q2 đều có chữ số tận cùng là 5.
Suy ra vế trái (1) chia hết cho 10 (2)
Mặt khác vì q2 là số chính phương nên q2 không thể tận cùng bằng 7, và do đó vế phải của (1) không thể chia hết cho 10 (3)
(2) và (3) suy ra điều vô lý.
Vậy không tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn bài toán.
Bài 5: Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại A’, B’, C’.
a) Gọi giao điểm của (I) với IA, IB, IC lần lượt tại M, N, P. Chứng minh A’M, B’N, C’P đồng quy
b) Kéo dài AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D (khác A). Chứng minh rằng IB.ICID= 2r ( r là bán kính đường tròn (I) )
Lời giải:
a) Vì AB’ và AC’ là các tiếp tuyến của (I), M là giao 
điểm của AI với (I) nên M là điểm chính giữa cung B’C’ của (I).
Tương tự như vậy, N là điểm chính giữa cung A’C’ và P là 
điểm chính giữa cung A’B’ của (I)
Xét tam giác A’B’C’ có (I) là đường tròn ngoại tiếp. Vì M, N, P là điểm chính giữa các cung B’C’, C’A’, A’B’ nên A’M, B’N, C’P là các đường phân giác của tam giác. Từ đó suy ra A’M, B’N, C’P đồng quy. ĐPCM.
b) Xét tam giác BDI. Ta có: IBID=sin∠IDBsin∠IBD 
Mặt khác:
∠IBD = ∠IBC + ∠CBD = ∠IBC + ∠CAD = ∠B+∠A2
∠IDB = ∠ACB = ∠C
IC = IA'sin∠ICA'=rsinC2
Do đó: sin∠IDBsin∠IBD =sinCsinA+B2=sinCcosC2=2sinC2 
Từ đó suy ra IB.ICID=IBIDIC=2sinC2 rsinC2=2r
ĐPCM.