Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 57

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG III 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
Mụn  : TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt ,khụng kể thời gian giao đề 
Cõu 1 ( 2,0 điểm).  Cho hàm số  3  3 1 y x mx = - + +  (1). 
a)  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi  1 m =  . 
b)  Tỡm m  để đồ thị của hàm số (1) cú 2 điểm cực trị  , A B  sao cho tam giỏc  OAB  vuụng tại 
O  ( với O  là gốc tọa độ ). 
Cõu 2 (1,0 điểm).  Giải phương trỡnh  sin 2 1 6sin cos 2 x x x + = +  . 
Cõu 3 (1,0 điểm).  Tớnh tớch phõn 
2  3 
2 
1 
2 ln x x 
I dx 
x 
- 
= ũ  . 
Cõu 4 (1,0 điểm).  a)  Giải phương trỡnh  2 1 5 6.5 1 0 x x + - + =  . 
b)  Một tổ cú 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giỏo viờn chọn ngẫu nhiờn 3 học sinh để làm 
trực nhật . Tớnh xỏc suất để 3 học sinh được chọn cú cả nam và nữ. 
Cõu 5  (1,0 điểm).  Trong khụng  gian  với hệ  toạ độ  Oxyz ,  cho điểm ( ) 4;1;3 A -  và đường 
thẳng 
1 1 3 
: 
2 1 3 
x y z 
d 
+ - + 
= = 
- 
. Viết phương trỡnh mặt phẳng  ( ) P  đi qua  A và vuụng gúc với 
đường thẳng d . Tỡm tọa độ điểm  B thuộc d sao cho  27 AB =  . 
Cõu 6 (1,0 điểm).  Cho hỡnh chúp  . S ABC  cú tam giỏc  ABC  vuụng tại  A ,  AB AC a = =  ,  I 
là  trung  điểm  của  SC ,  hỡnh chiếu  vuụng  gúc  của  S  lờn mặt  phẳng ( ) ABC  là  trung điểm 
H của  BC , mặt phẳng ( ) SAB  tạo với đỏy 1 gúc bằng 60 o . Tớnh  thể tớch khối chúp  . S ABC  và 
tớnh khoảng cỏch từ điểm  I đến mặt phẳng ( ) SAB  theo a . 
Cõu 7 (1,0 điểm).  Trong mặt phẳng với hệ toạ độ  Oxy  cho tam giỏc  ABC  cú ( ) 1;4 A  , tiếp 
tuyến tại  A  của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC  cắt  BC  tại  D  , đường phõn giỏc trong 
của  ã ADB cú phương trỡnh  2 0 x y - + =  , điểm ( ) 4;1 M -  thuộc cạnh  AC . Viết phương trỡnh 
đường thẳng  AB . 
Cõu 8 (1,0 điểm).  Giải hệ phương trỡnh 
2 
2 
3 5 4 
4 2 1 1 
x xy x y y y 
y x y x 
ỡ + + - - = + ù 
ớ 
- - + - = - ù ợ 
Cõu 9 (1,0 điểm).  Cho  , , a b c  là cỏc số dương và  3 a b c + + =  . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu 
thức: 
3 3 3 
bc ca ab 
a bc b ca c ab 
P + + 
+ + + 
= 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển 
( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó gửi tới www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN 
Cõu  Nội dung  Điểm 
1  a.(1,0 điểm) 
Vơớ m=1 hàm số trở thành :  3  3 1 y x x = - + + 
TXĐ:  D R = 
2 ' 3 3 y x = - +  ,  ' 0 1 y x = Û = ± 
0.25 
Hàm số nghịch biến trờn cỏc khoảng ( ) ; 1 -Ơ -  và ( ) 1;+Ơ  , đồng biến trờn khoảng ( ) 1;1 - 
Hàm số đạt cực đại tại  1 x =  ,  3 CD y =  , đạt cực tiểu tại  1 x = -  ,  1 CT y = - 
lim 
x 
y 
đ+Ơ 
= -Ơ ,  lim 
x 
y 
đ-Ơ 
= +Ơ 
0.25 
* Bảng biến thiờn 
x  –Ơ  ư1  1  +Ơ 
y’  +  0  –  0              + 
y 
+Ơ  3 
ư1  ưƠ 
0.25 
Đồ thị: 
4 
2 
2 
4 
0.25 
b.(1,0 điểm) 
( ) 2 2 ' 3 3 3 y x m x m = - + = - - 
( ) 2 ' 0 0 * y x m = Û - = 
0.25 
Đồ thị hàm số (1) cú 2 điểm cực trị Û PT (*) cú 2 nghiệm phõn biệt ( ) 0 ** m Û > 
0.25 
Khi đú 2 điểm cực trị ( ) ;1 2 A m m m - -  , ( ) ;1 2 B m m m +  0.25 
Tam giỏc OAB vuụng tại O  . 0 OAOB Û = 
uuur uuur 
3  1 4 1 0 
2 
m m m Û + - = Û =  ( TM (**) )  0,25
Vậy 
1 
2 
m = 
2.  (1,0 điểm) 
sin 2 1 6sin cos2 x x x + = + 
Û  (sin 2 6sin ) (1 cos 2 ) 0 x x x - + - =  0.25 
Û ( )  2 2sin cos 3 2sin 0 x x x - + = 
Û ( ) 2sin cos 3 sin 0 x x x - + = 
0. 25 
sin 0 
sin cos 3( ) 
x 
x x Vn 
= ộ 
Û ờ + = ở 
0. 25 
Û  x kp =  .  Vậy nghiệm của PT là  , x k k Z p = ẻ  0.25 
3 
(1,0 điểm) 
2 2 2 2 2 2 
2 2 2 
1 1 1 1 1 
ln ln 3 ln 
2 2 2 
2 2 
x x x x 
I xdx dx dx dx 
x x x 
= - = - = - ũ ũ ũ ũ 
0.25 
Tớnh 
2 
2 
1 
ln x 
J dx 
x 
= ũ 
Đặt 
2 
1 
ln , u x dv dx 
x 
= =  . Khi đú 
1 1 
, du dx v 
x x 
= = - 
Do đú 
2  2 
2 
1  1 
1 1 
ln J x dx 
x x 
= - + ũ 
0.25 
2 
1 
1 1 1 1 
ln 2 ln 2 
2 2 2 
J 
x 
= - - = - +  0.25 
Vậy 
1 
ln 2 
2 
I = +  0.25 
4.  (1,0 điểm) 
a,(0,5điểm) 
2 1 5 6.5 1 0 x x + - + =  2 
5 1 
5.5 6.5 1 0  1 
5 
5 
x 
x x 
x 
ộ = 
ờ Û - + = Û ờ = 
ờ ở 
0.25 
0 
1 
x 
x 
= ộ 
Û ờ = - ở 
Vậy nghiệm của PT là  0 x =  và  1 x = -  0.25 
b,(0,5điểm) 
( )  3 11  165 n C W = =  0.25 
Số cỏch chọn 3 học sinh  cú cả nam và nữ là  2 1 1 2 5 6 5 6 . . 135 C C C C + = 
Do đú  xỏc suất để 3 học sinh được chọn cú cả nam và nữ là 
135 9 
165 11 
= 
0.25
5.  (1,0 điểm) 
Đường thẳng d cú VTCP là ( ) 2;1;3 d u = - 
uur 
Vỡ ( ) P d ^  nờn ( ) P  nhận ( ) 2;1;3 d u = - 
uur 
làm VTPT  0.25 
Vậy PT mặt phẳng ( ) P  là : ( ) ( ) ( ) 2 4 1 1 3 3 0 x y z - + + - + - = 
2 3 18 0 x y z Û - + + - =  0.25 
Vỡ  B d ẻ  nờn ( ) 1 2 ;1 ; 3 3 B t t t - - + - + 
27 AB = ( ) ( ) 2 2 2 2 27 3 2 6 3 27 AB t t t Û = Û - + + - + =  2 7 24 9 0 t t Û - + = 
0.25 
3 
3 
7 
t 
t 
= ộ 
ờ Û 
ờ = 
ở 
Vậy ( ) 7;4;6 B -  hoặc  13 10 12 ; ; 
7 7 7 
B ổ ử - - ỗ ữ 
ố ứ 
0.25 
6.  (1,0 điểm) 
j 
C 
B 
A 
S 
H 
K 
M 
Gọi K là trung điểm của AB  HK AB ị ^  (1) 
Vỡ ( ) SH ABC ^  nờn  SH AB ^  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra  AB SK ị ^ 
Do đú gúc giữa ( ) SAB  với đỏy bằng gúc 
giữa SK và HK và bằng  ã  60 SKH = o 
Ta cú  ã  3 tan 
2 
a 
SH HK SKH = = 
0.25 
Vậy 
3 
. 
1 1 1 3 
. . . . 
3 3 2 12 S ABC ABC 
a 
V S SH AB AC SH = = =  0.25 
Vỡ  / / IH SB  nờn ( ) / / IH SAB  . Do đú ( ) ( ) ( ) ( ) , , d I SAB d H SAB = 
Từ H kẻ  HM SK ^  tại M ( ) HM SAB ị ^ ị ( ) ( ) , d H SAB HM =  0.25 
Ta cú 
2 2 2 2 
1 1 1 16 
3 HM HK SH a 
= + = 
3
4 
a 
HM ị =  . Vậy ( ) ( )  3 , 
4 
a 
d I SAB =  0,25
7.  (1,0 điểm) 
K 
C 
A 
D B  I 
M 
M' 
E 
Gọi AI là phan giỏc trong của  ã BAC 
Ta cú :  ã ã ã AID ABC BAI = + 
ã ã ã IAD CAD CAI = + 
Mà  ã ã BAI CAI =  , ã ã ABC CAD =  nờn  ã ã AID IAD = 
ị  DAI D  cõn tại D ị DE AI ^ 
0,25 
PT đường thẳng AI là :  5 0 x y + - = 
0,25 
Goị  M’ là điểm đối xứng của M qua AI ị  PT đường thẳng MM’ :  5 0 x y - + = 
Gọi  ' K AI MM = ầ ịK(0;5) ịM’(4;9)  0,25 
VTCP của đường thẳng AB là ( ) ' 3;5 AM = 
uuuuur 
ịVTPT của đường thẳng AB là ( ) 5; 3 n = - 
r 
Vậy PT đường thẳng AB là: ( ) ( ) 5 1 3 4 0 x y - - - =  5 3 7 0 x y Û - + = 
0,25 
8. 
(1,0 điểm). 
2 
2 
3 5 4(1) 
4 2 1 1(2) 
x xy x y y y 
y x y x 
ỡ + + - - = + ù 
ớ 
- - + - = - ù ợ 
Đk: 
2 
2 
0 
4 2 0 
1 0 
xy x y y 
y x 
y 
ỡ + - - ³ 
ù 
- - ³ ớ 
ù - ³ ợ 
Ta cú (1) ( )( ) 3 1 4( 1) 0 x y x y y y Û - + - + - + = 
Đặt  , 1 u x y v y = - = +  (  0, 0 u v ³ ³  ) 
Khi đú (1) trở thành :  2 2 3 4 0 u uv v + - = 
4 ( ) 
u v 
u v vn 
= ộ 
Û ờ = - ở 
0.25 
Với  u v =  ta cú  2 1 x y = +  , thay vào (2) ta được :  2 4 2 3 1 2 y y y y - - + - = 
( ) ( ) 2 4 2 3 2 1 1 1 0 y y y y Û - - - - + - - = 
0.25 
( ) 
2 
2 2  2 
0 
1 1 4 2 3 2 1 
y  y 
y y y y 
- - 
+ = 
- + - - + - 
( ) 
2 
2 1 
2 0 
1 1 4 2 3 2 1 
y 
y y y y 
ổ ử 
ỗ ữ Û - + = 
ỗ ữ - + - - + - ố ứ 
0.25 
2 y Û =  ( vỡ 
2 
2 1 
0 1 
1 1 4 2 3 2 1 
y 
y y y y 
Û + > " ³ 
- + - - + - 
) 
Với  2 y =  thỡ  5 x =  . Đối chiếu Đk ta được  nghiệm của hệ PT là ( ) 5;2 
0.25
9.  (1,0 điểm) . 
Vỡ a + b + c = 3 ta cú 
3 ( ) ( )( ) 
bc bc bc 
a bc a a b c bc a b a c 
= = 
+ + + + + + 
1 1 
2 
bc 
a b a c 
ổ ử Ê + ỗ ữ + + ố ứ 
Vỡ theo BĐT CụưSi: 
1 1 2 
( )( ) a b a c  a b a c 
+ ³ 
+ + + + 
, dấu đẳng thức xảy ra Û b = c 
0,25 
Tương tự 
1 1 
2 3 
ca ca 
b a b c b ca 
ổ ử Ê + ỗ ữ + + + ố ứ 
và 
1 1 
2 3 
ab ab 
c a c b c ab 
ổ ử Ê + ỗ ữ + + + ố ứ  0,25 
Suy ra P 
3 
2( ) 2( ) 2( ) 2 2 
bc ca ab bc ab ca a b c 
a b c a b c 
+ + + + + 
Ê + + = = 
+ + + 
,  0,25 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = 
3 
2 
khi a = b = c = 1. 
0,25 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển 
( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó gửi tới www.laisac.page.tl