Bộ đề thi olympic môn Toán Lớp 7

Trường THCS Mỹ Hưng ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
 Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014 
 Môn thi: Toán
 Thời gian làm bài 120 phút
 (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 5 điểm ):
Cho . với . Chứng minh rằng: 
 a) b) 
 2. Tổng ba phân số tối giản bằng các tử của chúng tỉ lệ nghịch với 
 20; 4; 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7. Tìm ba phân số đó.
Câu 2 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x, y biết: 
Câu 3 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên biết 
Câu 4 ( 2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 
Câu 5 ( 7 điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là
 điểm thuộc cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H, K thuộc AE ).
Chứng minh .
Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao?
Trường THCS Mỹ Hưng HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
 Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014 
 Môn thi: Toán Lớp 7
 Câu
 Nội dung
 Điểm
 Câu 1
(6 điểm)
1. a, Từ: 
 (đpcm)
 b, Áp dụng chứng minh phần a ta có:
 (đpcm)
 2. Gọi ba phân số cần tìm là a, b, c. 
 Theo bài ra ta có: 
; ; 
 Vậy: Ba phân số cần tìm là ; và . 
 0,5 đ
 0,5 đ
 1,0 đ
1,0 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 Câu 2
(3 điểm)
 Từ: 
 ước lẻ của 40 là: 
 Lập bảng: 
1-2y
 -5
 -1
 1
 5
 x
 -8
 -40
 40
 8
 y
 3
 1
 0
 -2
 Vậy ta có các cặp số (x; y) là: (-8; 3); (-40; 1); (40; 0); (8; -2)
 1,0 đ
 0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
 Câu 3
(3 điểm)
 Ta có: 
 Ư(4) 
 Lập bảng: 
 -4
 -2
 -1
 1
 2
 4
 x
 / 
 1
 4
 16
25
49
 Vậy: 
 0,5 đ
 1,0 đ
 1,0 đ
 0,5 đ
 Câu 4
(2 điểm)
 Vì: 
 Mà: 
 Dấu bằng sảy ra 
 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi 
 1,0 đ
 1,0 đ
 Câu 5
(7 điểm)
 A
 H
 E
a) Xét và có: B M C
 K
 ( cân tại A)
 ( Cùng phụ với )
 ( Cạnh huyền và góc nhọn)
 ( Hai cạnh tương ứng ) (đpcm)
b) Ta có 
 ( Trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông) 
 cân tại A vừa là trung tuyến vừa là đường cao
 và vuông cân tại M 
 Ta có: (Theo chứng minh phần a)
 (Hai góc tương ứng) 
 Mà: 
 Xét và có:
 (cùng phụ với )
 (Theo chứng minh trên)
 (Chứng minh trên)
 cân tại M 
 vuông cân tại M.
 0,5 đ
 0,5 đ
 1,0 đ
 1,0 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 1 đ
 1 đ
THCS Tam Hưng
ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN LỚP 7 
Năm học 2013 – 2014 
(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3đ) Tìm x sao cho
a, 
b, 
Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn
a, 
b, 
Bài 3 (4đ) 
a, Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:
b, Cho x+y – z = a-b
	 x - y + z = b - c
 -x+y + z = c – a
Chứng minh : x+y+z=0
Bài 4 (4đ) 
a, Cho đa thức 
Tính giá trị của đa thức tại x=1999
b, Cho đa thức 
chứng tỏ rằng: nếu 
Bài 5 (5đ)
a,Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE 
1, Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD vuông góc với BK 
2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy.
b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: 
- HẾT -
ĐÁP ÁN
Bài 1 (3đ)
a, - Chỉ rõ được 	 (0.25đ)
- Chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng 
 	 (0.75đ)
b, Lý luận để có (0.25đ)
Xét đủ 2 trường hợp 
- Trường hợp có 1 số âm tính được 	(0.75đ)
- Trường hợp có 3 số âm tính được 	(0.75đ)
- Kết luận đúng (0.25đ)
Bài 2: Ta có 
Lý luận tìm được 	 	(0.5đ)
b, Biến đổi được 	 (1đ)
Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 (6 trường hợp)	 (0.75đ)
Kết luận được: 	 (0.25đ)
Bài 3: Từ giả thiết suy ra 	(0.5đ)
Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có 
	(0.5đ)
Mặt khác ta có
	(0.75đ)
Suy được điều cần chứng minh	(0.25đ)
b, Cộng vế với vế suy được điều cần chứng minh	(2đ)
Bài 4 (0.75đ)
Thay 1999=x ta được
 (0.75đ)
Tính được kết quả và kết luận f(1999) = 1998	(0.5đ)
b, Tính 	(0.5đ)
	(0.5đ)
	(0.5đ)
 (0.5đ)
Bài 5 (5đ)
a, (2đ)
1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết 	 (1đ)
2, Chỉ ra được AH, BE, CD là 3 đường cao của (1đ)
b, (3đ)
Xét 2 trường hợp
* Trường hợp điểm thì ta có
	 	 (1đ)
* Trường hợp 
	- Gọi I là trung điểm của BC	 (0.75đ)
	- Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM=IN (0.5đ)
 Vì 
	 (0.25đ)	
* Chứng minh được 	 (0.25đ)
- Điểm C nằm trong chứng minh được (0.5đ)
- Chứng minh 	 (0.25đ)
- Suy ra 	(0.5đ)
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
Đề chính thức
ĐỀ THI OLYMPIC 
MÔN TOÁN 7
Năm học 2013 – 2014
 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề)
Câu 1:( 5điểm): Cho chứng minh rằng:
a) b) 	b) 
Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết:
Câu 3:(4 điểm)
	a).Chứng minh rằng : .
	b) Tìm số nguyên a để: là số nguyên.
Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Câu 5: (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=300, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác đều.
b) AH = CE.
c) EH song song với AC.
------------------------ Hết --------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC 
 TOÁN 7
Năm học 2013 – 2014
Câu 1:( 5điểm)
a) Từ 
 	 (0,5điểm)
 (0,5điểm)
 b) Từ suy ra 	 (0,5điểm)
 khi đó (0,5 điểm )
 	= 	 ( 1 điểm)
 c) Theo câu b) ta có: 	 (0,5điểm)
	từ (0,5điểm)
 	hay 	 (0,5điểm)
	vậy 	 (0,5điểm)
Câu 2: (2điểm)Tìm các số x;y biết.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 (0,5điểm)
=> 
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x= 2 vào trên ta được (0,5điểm)
 (0,5điểm)
=>1+ 3y = -12y
=> 1 = -15y
=> y = 	(0,5điểm)
Vậy x = 2, y = thỏa mãn đề bài.
Câu 3:(4 điểm)
	a). 	§Æt : A = 
	Ta cã :
* A < = = (0,75điểm)
* A > .	 (0,75điểm)
Vậy: 	(0, 5điểm)
b.	 Ta cã : = =
= là số nguyên (1 điểm)
Khi đó (a + 3) là ước của 14 mµ ¦(14) = .
Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. (1 điểm)
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A < 0 với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất 
 ( 1 điểm)	
Vậy nhỏ nhất bằng khi x=0 	 (0,5 điểm)
Suy ra GTLN của A =khi x=0 	 (0,5 điểm) 
Câu 5: (7 điểm)
Vẽ hình ghi GT,KL (0,5điểm) 
 Chứng minh:
a) (2điểm)
 Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân ở A.
Lại có : B = 900 – 300 = 600 nên tam giác ABD là tam giác đều.
b) (2 điểm)
 (cạnh huyền –góc nhọn)
 Do đó AH=CE
c) (2,5 điểm)
(cmt)nên HC=EA
cân ở D vì có 
 cân ở D.
Hai tam giác cân ADC và DEH có
 (hai góc đối đỉnh).do đó Ở vị trí so le trong, suy ra EH // AC. 
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó. 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN
Năm học 2013-2014
Môn: Toán 7 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu1: (6 điểm)
 a- Tính ( - 81)( - 81)( - 81). . .( - 81)
 b- Tính giá trị của biểu thức : 6x2 + 5x - 2 tại x thoả mãn x - 2 =1
Câu 2: ( 5 điểm )	
	1/ Tìm x, y, z biết : và x - 3y + 4z = 4
câu 3:(2 điểm)
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức M = ?
Câu4: ( 7 điểm ) 
	Cho tam giác ABC vuông ở A có góc C bằng 30o . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho góc BCM bằng góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN bằng góc ABC. Gọi giao điểm của CM và BN là K.
1/ Tính góc CKN.
2/ Gọi F và I theo thứ là hình chiếu của điểm K trên BC và AC. Trên tia đối của tia IK lấy điểm D sao cho IK = ID, trên tia KF lấy điểm E sao cho KF = FE ( EK).
Chứng minh rDBC là tam giác đều.
------------------HẾT------------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC CẤP HUYỆN
Năm học 2013-2014
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 
Nội dung
Điểm
Câu1:
(6®)
Trong dãy số có - 81 = - 81 = 81-81 = 0
Do đó tích bằng 0
1.5
1
b)Ta có = 1
 * x - 2 = 1 x = 3 
 * x - 2 = -1 x = 1 
 Thay x=1 vào biểu thức ta được 6. 1 + 5.1 - 2 = 9 
 Thay x=3 vào biểu thức ta được 6. 3 + 5.3 - 2 = 67
 KL
0.5
0.5
1đ
1đ
0.5
Câu2 5đ:
1/ Tìm x, y, z biết : vµ x - 3y + 4z = 4
 = = =
2 => x= 5
2 => y= 11
= 2 => z= 8
VËy : x= 5; y= 11; z= 8
1đ
0,75đ
1đ
1đ
1đ
0,25đ
Câu3
2đ
2/ M = = 1+ M lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất
+ x > 5 th× < 0 (1)
+ x 0 mà có tử không đổi nên pt có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất .5-x là số nguyên dương nhỏ nhất khi 5-x= 1 => x= 4 
Khi đó = 10 (2)
So s¸nh (1)vµ (2) thÊy lín nhÊt b»ng 10
VËy GTLN cña M = 11 khi vµ chØ khi x= 4
0.5đ
0.5
 0.5
0.5
Câu4:
(7®)
 D
 A
 I
 M N
 K
 B F C
 E
1/ Có B = 600 ( do A = 900, C = 300)
CBN = ABC = . 600 = 400
BCM = ACB = . 300 = 200
BKC = 1800 – (CBN + BCM) = 1800 – 600 = 1200
-> CKN = 1800 – 1200 = 600 (2 góc kề bù )
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2/ KIC = DIC (cgc) -> CK = CD vµ DCI = KCI (1)
 KFC = EFC (cgc) -> CK = CE vµ KCF = ECF (2)
Từ (1) và (2) => CD = CE =>DCE cân
Cã: DCE = 2. ABC = 600
=> DCE là đều.
1,0
0.5
0.5
0.5
0.5
3/ Xét tam giác vuông ANB: ANB = 900 – 200 = 700 -> 
BNC = 1100 
CND = CNK (gg) -> DNC = KNC = 1100
 => CDN = 600 (NCD = 100; DNC = 1100)
có CDE đều(cmt) => CDE = 600
Do đó: CDN = CDE = 600
Suy ra: Tia DN trùng với tia DE
Hay 3 điểm D,N,E thẳng hàng
0.5
0.5
0.5
 PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
 Trường THCS Thanh Thùy 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC: 2013-2014
MÔN TOÁN
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)
 Bài 1 ( 5 điểm) 
 Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A
Cho =. Chứng minh rằng := 
 Bài 2 ( 4 điểm)
 a) Cho ===
CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên
 A=+++
 b)Chứng minh rằng: 
 B = +++.++< 
Bài 3:(2 điểm)
 Cho đa thức f(x) = x14 – 14x13 + 14x12 -  + 13x2 – 14x + 14
 Tính f(13)
 Bài 4:(7 điểm)
 Cho tam giác ABC có AB<AC. Gọi M là trung điểm của BC , từ M kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác của góc A , cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng :
 a) BE = CF
 b) AE = 
 c) Tính AE, BE theo AC = b, AB = c
Bài 5:(2 điểm) 
Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đó
 M = 
TRƯỜNG THCS THANH THÙY
 ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 7 
 NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giaođề)
TT
Ý
Nội dung
Điểm
Bài 1
(.5điểm)
1a
Ta có = 24 : 45 : 10
Giả sử số A được chia thành 3 phần x,y,z
Theo đề bài ta có x,y,z cùng dấu
Và = 9 = 32
 x2 = 242. 32 = 722 x = 72
 Hs tính tương tự y = 135 ; z = 30
 . Vậy A = 237 hoặc A = - 237 
0.5
0,5
0.5
1.0
0,5
1b
Ta có = ( 1)
Lại có (2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
0.5
0.75
0,25
Bài2
(.4điểm)
2a
Ta có ==== 
 Suy ra 3x = y+z+t ; 3y = z+t+x; 3z = t+x+y; 3t = x+y+z
Từ đó HS suy ra được x+y = (z+t); y+z = (t+x)
 Z+t = (x+y); t+x = (y+z)
Khi đó tính được A = 4 
 Vậy A có giá giá trị nguyên
0.5
1,5
0,5
2b
B = +++.++
3B = 1+ +++.+
3B – B = 1 - hay 2B = 1 - 
Suy ra B = < 
Vậy B < 
0.5
0.5
0,5
Bài 3
(2 điểm)
Ta có f(x) = x14–(13+1).x13 +(13+1).x12 - +(13+1).x2–(13+1).x+(13+1)
 = x14- (x+1).x13 +(x+1).x12 - + (x+1).x2 – (x+1).x + (x+1)
 = x14 – x14- x13 + x13 +x12 -  +x3 + x2 – x2 – x + x +1
 = 1
 ( Vì thay 14 = 13 + 1 = x+1 ) . Vậy f(13) = 1
0,5
1,0
0,5
Bài 4
(5 điểm)
4a
 Vẽ hình đúng A 
Kẻ BI song song AC ( I È F)
Chứng minh được 1 2
 BIM = CFM (g.c.g) F 
 BI = CF (1) B 
 N M C 
 E	I
CM được BEI cân tại B BE = BI (2)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
0.25
1,0
0,25
1,0
0,5
4b
CM được ANE = AN F (g.c.g)
 AE = A F
Ta có AE = AB + BE ; A F = AC – C F
 AE+A F = AB + BE + AC – C F
 Hay 2 AE = AB +AC ( do AE = A F; BE = FC)
 AE = 
0.5
0.5
0.75
0,5
4c
Từ câu b) AE = 
 Chứng minh được BE = 
Vậy BE = 
0.5
0,75
0,5
Bài 5
(2 điểm)
 M = = 
M nhỏ nhât khi và chỉ khi nhỏ nhất
Xét x 4 thì > 0
Ta chỉ xét x < 4 thì nhỏ nhất lớn nhất 
Nên suy ra 4 – x =1( vì mẫu nguyên,dương nhỏ nhất) 
 Vây x = 3 khi đó Min M = -11
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
HUYỆN THANH OAI
Năm học 2013-2014
 TRƯỜNG THCS THANH MAI MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
C©u1: (5 ®iÓm)
T×m c¸c sè x, y, z biÕt: 
a. và 5x+y-2z =28 
b. 3x=2y; 7y=5z và x-y+z =32
c. và x+y+z =49
C©u2: (3 ®iÓm)
TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc: 
a. A= lần lượt tại a= ; a= -2 
b. B = tại và y= 
C©u3: (3 ®iÓm)
TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc: 
a. A = với 
b. B = với a - b =3 và b # 5; b # -4
C©u4: (2 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
C©u2: (7 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn c¹nh BC lÇn l­ît lÊy 2 ®iÓm M vµ N sao cho BM=MN=NC. Gäi H lµ trung ®iÓm BC. 
a. Chøng minh: AM=AN vµ AHBC
b. Chøng minh 
c. KÎ ®­êng cao BK. BiÕt AK= 7cm; AB=9cm. TÝnh ®é dµi BC.
---------------------------
Người ra đề
 Nguyễn Văn Nhân
H­íng dÉn chÊm thi Olympic n¨m häc 2013 - 2014
M«n: to¸n - líp 7
C©u1: (5 ®iÓm)
a.
x = 20; y=12; z=42
1 đ
b.
x = 20; y=30; z=42
2 đ
c.
x = 18; y=16; z=15
2 đ
Câu 2: (3 điểm)
a.
- Với a = thì A = 
0.5 đ
- Với a =-2 thì A = -7
0.5 đ
b.
TH1: x= và y= thì B = 
1 đ
TH2: x= và y= thì B = 
1 đ
Câu 3: (3 điểm)
a.
Thay a= vào A ta được:
0.5 đ
A = 24
1 đ
b.
Thay a = b+3 và B ta được: 
0.5 đ
B = 1-1 = 0
1 đ
Câu 4 (2 điểm)
Áp dụng tính chất và , dấu “=” xảy ra khi và dấu “=” xảy ra khi a=0. Ta có:
0.5 đ
0.5 đ
Dấu “=” xảy ra khi 
và dấu “=” xảy ra khi x=2009.
 dấu “=” xảy ra khi 2010.
0.5 đ
 dấu “=” xảy ra khi x=2009 và y=2010.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2014 khi x=2009 ; y=2010.
0.5 đ
Câu 5: (7 điểm)
H
M
B
A
C
N
K
a.
-Chøng minh ®ù¬c ABM=ACN(cgc)AM=AN
1 đ
-Chøng minh ®ù¬c ABH=ACH(cgc)
1 đ
b.
Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho MD=MA
0.5 đ
Chøng minh ®­îc vµ AM=AN=BD
0.5 đ
-Chøng minh ®­îc BA>AMBA>BD
0.5 đ
-XÐt cã BA>BD hay 
0.5 đ
c.
V× AK nªn chØ cã hai tr­êng hîp x¶y ra
TH1:
- nhän k n»m gi÷a hai ®iÓm A,C
Mµ AC=AB 
- vu«ng t¹i K 
- vu«ng t¹i K nªn ta cã
BC=
1 đ
TH2:
- tï A n»m gi÷a hai ®iÓm K,C KC=AK+AC=16cm
- vu«ng t¹i K 
- vu«ng tai K 
VËy BC=6cm hoÆc BC=
2 đ
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH CAO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7
Năm học : 2013- 2014
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1(5điểm) 
a, Chứng minh rằng : 
Nếu 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x ) 
Thì 
b, Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16 
Câu 2(4điểm ). Cho f(x) = ax3 + 4x( x2 – 1 ) + 8
	g(x) = x3 -4x(bx + 1 ) + c -3 
Trong đó a , b , c là hằng. Xác định a, b, c để f(x) = g(x) .
Câu 3 (2 điểm). Chứng minh rằng đa thức :
f(x) = -4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 
không có nghiệm nguyên .
Câu 4 (2 điểm). Tìm GTNN của biểu thức sau : 
khi x thayđổi .
Câu 5 (7 điểm). Cho tam giác ABC cântại A , có. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C saocho vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng :
a, Ba điểm C, A, M thẳnghàng.
b, Tam giác AOB cân.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1 
(5 điểm) 
1. a) 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x )
=>
=>
Biếnđổi : (1)
 (2) 
Từ (1) và (2) =>đpcm .
0,75 đ
1,25đ
0,5đ
b) Gọi 2 số đó là a , b . Ta có :
30( a +b ) = 120( a –b ) = 16ab
Từ điều kiện : 30( a +b ) = 120( a –b ) , tìm được
Từ điều kiện : 120( a –b ) = 16ab , tìm được
Từ đó tìm được : a = 5 ; b = 3 .
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
1 đ
Câu 2 
(4 điểm)
Biến đổi : 
f(x) = ( a + 4 )x3 – 4x + 8
g(x) = x3 – 4bx2 – 4x + c – 3 
f(x) = g(x) 
Kếtluận
0,75đ
0,75đ
1,25 đ
0,75 đ
0,5 đ
Câu 3 
(2 điểm)
Nếu đa thứcf(x) = -4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 có nghiệm thì nghiệm đó là ước của -1 .
Mặt khác Ư(-1) = {} 
Ta có : f(-1) = -11 0	
 F(1) = -3 
Vậy đa thức đã cho không có nghiệm nguyên .
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
Câu 4 
(2 điểm)
Có ≥ 
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra (x – 2006 )( 2007 – x ) ≥ 0
 2006 
Vậy Amin = 1 2006 
0,75đ
0,75đ
0,5đ
Câu 5 
(7 điểm)
- Vẽ hình đúng
1đ
a, rABC cân tại A , 
=>
XétrBOC có
=>rBOC = rMOC ( c.g.c ) .
=>
Mà nên hai tia CM và CA trùng nhau
Do đó 3 điểm C , O ,M thẳng hàng
0,5 đ
0,75đ
0,75
0,5đ
0,5đ
b,rCBM có CM = CB 
=>rCBM cân tại C ; 
=>
VậyrBAM cântại B 
=> BA = BM = BO
=>rAOB cân tại B .
0,75đ
1đ
0,75đ
0,5đ
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNGTHCS TÂN ƯỚC
Đề chính thức
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
Năm học 2013-2014
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài :150 phút( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (5 điểm) Cho Chứng minh rằng:
a) (a + 2c) . (b + d) = (a + c) . (b + 2d)
b) 
Câu 2: (6 điểm)
a) Tìm nghiệm của đa thức sau: x2 + 8x + 25.
b) Cho ba số dương . Chứng minh:
Câu 3: (2 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4: (7 điểm) 
Cho r ABC vuông tại A, đường cao AH trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên đia đối của tia CD, lấy điểm I sao cho CI = CA. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC.
---------------- Hết----------------
TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
Câu 1: (5 điểm)
 a) Vì (1)
 (2)
Từ (1) và (2) 	(1đ)
b)(2)
 (1) (Theo t/c DTSBN) (1đ)
Từ (1) (2) 	(0,5đ)
Câu 2: (6 điểm)
a) x2 + 8x + 25 = x2 + 4x + 4x + 16 + 9 = x (x + 4) + 4 (x +4) + 9
 = (x + 4) (x + 4) + 9 = (x + 4)2 + 9 	(2đ)
Vì (x + 4)2 ³ 0 với " x Þ (x + 4)2 + 9 > 0 với "x 
Þ Đa thức x2 + 8x + 25 Vô nghiệm 	(1đ)
b) Vì 0£ x £ y £ z £ 1 Þ x - 1 £ 0, y - 1 £ 0
 Þ (x - 1) (y - 1) ³ 0 Þ xy + 1 ³ x + y Þ £ 
 Þ £ 	(1) 	(1đ)
 Chứng minh tương tự : £ (2) 	; £ (3)
Cộng từng vế của (1) (2) (3) ta có :
 + + £ + + 	(4)	(0,5đ)
 Mà £ Þ £ 	
 Chứng minh tương tự £  ; £ 	(1đ)
 Þ + + £ £ 2	(5)	0,5đ)
Từ (4) (5) Þ đpcm
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất
	(1đ)
Dấu “=” xảy ra Û (2x - 2) . (2013 - 2x) ³ 0
Vậy min A = 2011 Û 1£ x£ 1006,5	(1đ)
Câu 4: (7 điểm)
 I	
 (Vẽ hình đúng 0,5đ) A	
	 B H M 	C
Gọi giao của AB và EI là F	
 r ABM = rDCM (cgc) Þ Þ BF//DI	D	(2đ )
 Þ = = 900 Þ ID ^ AC	(1đ)
 BF // DI Þ = 
 IE // AC Þ = 
Þ rCAI = r FIA (gcg) Þ IC = AF = AC 	(1,5đ)
 Mà = (đối đỉnh) Þ = (cùng phụ với )
 Þ = 	(1đ)
Þ r AFE = r CAB (gcg)	
Þ AE = BC	(1đ)
Tân Ước, ngày 22 tháng 3 năm 2014
Xác nhận của tổ KHXH	Người thực hiện
	Trần Thị Huyền
Xác nhận của Ban giám hiệu
Trường THCS Phương Trung
----------------------------------------------
Đề thi học sinh giỏi toán 7
Thêi gian : 120’
C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt :
	a) = - 243 .
	b) 
	c) x - 2 = 0	(x)
C©u 2 : (3®)
	a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : 
	b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = 	(x)
C©u 3 : (5®)	
	1) Cho vµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c
	2) Cho tØ lÖ thøc : . Chøng minh : . Víi ®iÒu kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh.
C©u 4: (2 ®iÓm).
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = 
C©u 5: (7® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia đối cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB vµ AC lÇn l­ît ë M vµ N. Chøng minh:
	a. DM= ED
	b. §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN.
	c. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC.
§¸p ¸n 
C©u 1 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1 ®iÓm
(x-1) = (-3) x-1 = -3 x = -3+1 x = -2
(x+2)() = 0
 0 x+2 = 0 x = 2
x - 2 = 0 ()- 2 = 0 (- 2) = 0 = 0 x = 0
hoÆc - 2 = 0 = 2 x = 4
C©u 2 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1,5 ®iÓm
a) 	, , 
x(1 - 2y) = 40 1-2y lµ íc lÎ cña 40 . ¦íc lÎ cña 40 lµ : 1 ; 5 .
§¸p sè : 	x = 40 ; y = 0
	x = -40 ; y = 1
	x = 8 ; y = -2
	x = -8 ; y = 3
b) T×m xz ®Ó AZ. A= 
A nguyªn khi nguyªn ¦(4) = {-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4}
C¸c gi¸ trÞ cña x lµ : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 .
C©u 3 : 5 ®iÓm . Mçi c©u 2,5 ®iÓm
1) X¸c ®Þnh a, b ,c
=
=> a = -3 ; b = -11; c = -7.
C¸ch 2 : = t ; sau ®ã rót a, b ,c thay vµo t×m t =- 2 t×m a,b,c.
2) Chøng minh
§Æt = k => a= kb ; c = kd Thay vµo c¸c biÓu thøc :
=> ®pcm.
C©u 4. (2 ®iÓm)
Ta cã:
A = =
VËy biÓu thøc ®· cho ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2000 khi x-2001 vµ 1-x cïng dÊu, tøc lµ :
1 £ x £ 2001
C©u 5. (7 ®iÓm)
( Häc sinh tù vÏ h×nh) 0.5đ
a/∆ MDB=∆ NEC suy ra DN=EN 2®
b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 2®
c/ Gäi H lµ ch©n ®ưêng cao vu«ng gãc