Bộ Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn thi: Toán 9

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
3x2 + 4x + 10 = 2
x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên)
Bài 2: (2.5 điểm)
Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương.
Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
Bài 3: (3,25 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm).
Chứng minh rằng 
Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Bài 4: (1,5 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP. Trên trục hoành lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0). Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c.
Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0. 
Chứng minh rằng: 
Hết./ 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH
 NĂM HỌC 2009-2010. 
MÔN THI: to¸n
(Thời gian làm bài 150 phút)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
(2,5đ)
1.1
(0,75đ)
Giải, xác định đúng điều kiện: 
= 0
(Thỏa mãn)
0,25
0,25
0,25
1.2
(1.0đ)
Điều kiện : 
Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2
Thay vào (4): y2 – 2y + 1 ; Đúng với mọi giá trị của y.
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5
 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)
0.5đ
0,5
1.3
(0,75đ)
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0
x2 – 2y – 5 = 0 x2 = 2y2 + 5 x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 52y2 = 4k2 + 4k – 4
y2 = 2(k2 + k – 1) y chẵn
Đặt y = 2n; (n ) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + 1 = k(k + 1) (*)
Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) (*) vô nghiệmpt đã cho vô nghiệm
0,25
0,25
0,25
2
(2,0đ)
2.1
(1,0đ)
Để và là hai số chính phương
và
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 
Từ suy ra 
Thay vào , ta được .
Vậy với thì và là hai số chính phương
0,5
 0,5
2.2
(1,0đ)
Gọi số cần tìm là : (a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết: là số nguyên, nên và b là các số chính phương, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
Ta có: 
 (vì )
0,5
Do đó phải là số chẵn: , nên 
Nếu (thỏa điều kiện bài toán)
Nếu (thỏa điều kiện bài toán)
Nếu (thỏa điều kiện bài toán)
0, 5
3
3,25đ)
3.1
(1,0)
Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng.
Suy ra: 
0.25
0.5
0.25
3.2
(1,25)
Để MNOP là hình vuông thì đường chéo 
Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OADC, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M.
Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có , nên Tam giác ONM vuông cân tại N. Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P. Do đó MNOP là hình vuông.
Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì 
0,25
0,25
0,50
0,25
3.3
(1,0)
 + Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên M, N, O, P cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Tâm là trung điểm H của OM. Suy ra tam giác ba điểm M, N, P thuộc đường tròn đường kính OM, tâm là H.
+ Kẻ , thì E là trung điểm của AB (cố định). Kẻ thì HL // OE, nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra: (không đổi).
+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi, nên H chạy trên đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE cố định
0,5
0,25
0.25
4
(1,5đ)
Nối AO, xét tam giác vuông POM có OA là đường cao
Theo Pi-ta-go ta có: PO2 = PM . PA
Áp dụng Pi-ta-go vào: và lại có: PA .PM = PB . PN ( = PO2)
 mà góc APB chungAPB ~NPM(c.g.c) 
Tương tự tính được : AC = ; BC = 
0.25
0,25
0,5đ
0,5đ
5.
(0,75)
Ta có a2 + b2 - ab ≥ ab
0.25
0,25
Tương tự với a, b, c > 0 thì: 
	Từ đó ta có BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
0,25
Các cách giải khác nhưng đúng yêu cầu đề ra vẫn cho điểm tối đa, phần hình học phải có hình vẽ
Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh
 NghÖ an N¨m häc 2005 – 2006
 M«n: To¸n Líp 9 B¶ng A
 ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ).
Bµi 1: T×m sè tù nhiªn A biÕt r»ng trong ba mÖnh ®Ò sau th× cã 2 mÖnh ®Ò ®óng
 vµ mét mÖnh ®Ò sai.
A + 51 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Ch÷ sè tËn cïng bªn ph¶i cña sè A lµ sè 1.
A – 38 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi 2: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
Bµi 3: Cho hai sè thùc x; y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x > y vµ xy < 0.
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
 P = 
Bµi 4: Cho ®­êng trßn t©m I néi tiÕp tam gi¸c ABC ( cã gãc C tï).
 A’; B ’; C ’ lÇn l­ît lµ tiÕp ®iÓm cña ®­êng trßn (I ) víi c¸c c¹nh BC,CA, AB 
 cña tam gi¸c. Nèi AA’ c¾t ®­êng trßn (I) t¹i E, kÐo dµi C ’B ’ vµ BC c¾t nhau t¹i K.
Chøng minh KE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (I ) .
 b.Tõ A’ kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AA’, ®­êng th¼ng nµy c¾t C’B’ kÐo dµi 
 t¹i F. Chøng minh ®­êng th¼ng BC ®i qua trung ®iÓm cña AF.
===================
Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh
NghÖ an N¨m häc 2005 – 2006
 M«n: To¸n Líp 9 B¶ng B
 ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ).
Bµi 1: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
 x 2 + xy + y2 = 4
 x+ xy + y = 2
 Bµi 2: T×m sè tù nhiªn A biÕt r»ng trong ba mÖnh ®Ò sau th× cã 2 mÖnh ®Ò ®óng
 vµ mét mÖnh ®Ò sai.
 a. A + 51 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
 b. Ch÷ sè tËn cïng bªn ph¶i cña sè A lµ sè 1.
 c. A – 38 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
 Bµi 3: : Cho hai sè thùc x; y tho· m·n ®iÒu kiÖn: x>y vµ xy < 0.
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
 P = 
 Bµi 4: Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®­êng trßn t©m O. M lµ ®iÓm thuéc cung nhá 
 BC ( M ≠ B; C ), E lµ giao ®iÓm cña BC víi AM.
 a. Chøng minh: .
 b. Gäi P lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng AB vµ CM; Q lµ giao ®iÓm cña hai 
 ®­êng th¼ng AC vµ BM. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn cung nhá BC 
 ( M kh«ng trïng víi B vµ C) th× PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®inh.
Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh
 NghÖ an N¨m häc 2005 – 2006
 M«n: To¸n Líp 9 B¶ng C
 ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ).
Bµi 1: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
 x 2 + xy + y2 = 4
 x + xy + y = 2
Bµi 2: Cho hai sè a; b nguyªn d­¬ng tho· m·n ®iÒu kiÖn: lµ mét sè 
 nguyªn d­¬ng. Gäi d lµ ­íc sè cña a vµ b. Chøng minh:
Bµi 3: Cho biÓu thøc:
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P vµ tËp gi¸ trÞ x t­¬ng øng.
 Bµi 4: Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®­êng trßn t©m O. M lµ ®iÓm thuéc cung nhá 
 BC ( M ≠ B; C ).
 a. Chøng minh: MA = MB + MC.
 b. Gäi P lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng AB vµ CM; Q lµ giao ®iÓm cña hai 
 ®­êng th¼ng AC vµ BM. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn cung nhá BC 
 (M kh«ng trïng víi B vµ C) th× PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh
 NghÖ an N¨m häc 2006 – 2007
 M«n: To¸n Líp 9 B¶ng A
 ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ).
 Bµi 1: Chøng minh r»ng:
 a. Víi mäi sè tù nhiªn n > 1 th× sè A = n 6- n 4 + 2n 3 + 2n 2 
 kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph­¬ng. 
 b. C¸c sè a vµ b ®Òu lµ tæng cña hai sè chÝnh ph­¬ng th× tÝch a.b 
 còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi 2: a. H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ x;y ®Ó cã ®¼ng thøc:
 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0
 b.Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh:
 2x + 3y = 1
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng S = 3x 2 + 2y 2.
 Bµi 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
 2 = x2 +6x -1
Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC nhän ( AB < AC) , kÎ ®­êng ph©n gi¸c AD cña gãc BAC vµ ®­êng trung tuyÕn AM ( D;M Î BC). VÏ hai ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c ADM , hai ®­êng trßn nµy c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai lµ I, ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ADM c¾t hai c¹nh AB vµ AC theo thø tù t¹i E vµ F. Tia AD c¾t ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i J.
Chøng minh: 3 ®iÓm I, M,J th¼ng hµng.
Gäi K lµ trung ®iÓm cña EF, tia MK c¾t AC vµ tia BA theo thø tù t¹i P vµ Q.
 Chøng minh tam gi¸c PAQ c©n.
Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh
 NghÖ an N¨m häc 2006 – 2007
 M«n: To¸n Líp 9 B¶ng B
 ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ).
Bµi 1: Chøng minh r»ng:
 a. Víi mäi sè tù nhiªn n > 1 th× sè A = n 6- n 4 + 2n 3 + 2n 2 
 kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph­¬ng. 
 b. C¸c sè a vµ b ®Òu lµ tæng cña hai sè chÝnh ph­¬ng th× tÝch a.b 
 còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi 2: H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ x;y ®Ó cã ®¼ng thøc:
 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0
 Bµi 3: Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh:
 2x + 3y = 1
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng S = 3x 2 + 2y 2.
 Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC nhän ( AB < AC) , kÎ ®­êng ph©n gi¸c AD cña gãc BAC 
 vµ ®­êng trung tuyÕn AM ( D;M Î BC). VÏ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c 
 ADM , ®­êng trßn nµy c¾t c¸c c¹nh AB vµ AC cña tam gi¸c ABC theo thø tù t¹i E 
 vµ F. Gäi K lµ trung ®iÓm cña EF.
 Chøng minh: MK // AD.
Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh
 NghÖ an N¨m häc 2006 – 2007
 H­íng dÉn chÊm
 M«n: To¸n Líp 9 B¶ngA
TT
Lêi gi¶i
§iÓm
Bµi1
4®iÓm
a.Gi¶ sö n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = k 2 , k Î Z
 n4( n2 – 1) + 2n2 (n + 1) = k2
 (n + 1) n 2(n 3 – n2 +2) = k 2
 ( n+ 1)2 n2[( n – 1) 2 + 1] = k 2 
=>( n – 1) 2 + 1 ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Nh­ng ta cã: (n – 1) 2 < ( n- 1) 2 + 1 = n 2 + 2 (1 – n) < n 2
 do n >1 suy ra ( n- 1) 2 + 1 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
 VËy A= n6 – n4 + 2n3 + 2n2 kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph­¬ng.
b. Gi¶ sö a = m2 + n 2 vµ b = p2 + q2
 m;n;p;qÎ Z.
Ta cã: a.b = (m2 + n 2 )( p2 + q2 ) = m2p 2 + m2q 2 +n2p2 +n2q2
= m2p 2 + n2q2 + 2mnpq +m2 q2 +n2p2 – 2mnpq
=(mp +nq)2 + (mq – np)2 §.p.c.m
Bµi 2
6 ®iÓm
a. ( 3 ®iÓm)
5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0 (1)
 25x 2 + 25y 2 + 40xy + 10y – 10x + 10 = 0
25 x2 + 16 y2 + 1 + 40 xy – 10 x – 8 x + 9y2 +18 y +9 = 0
 ( 5x + 4y – 1) 2 + 9 (x – 1) 2 = 0
VËy x = 1, y = - 1 cã ®¼ng thøc (1).
b.¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã:
 (2x + 3y) 2 = ( £ ((3x2 + 2y2 )
 =( 3x2 + 2y2 )
Suy ra: 3x2 + 2y2 ³
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khÝ:
x vµ 2x + 3y = 1
 => 
Bµi 3
4 ®iÓm
 Ta cã: 7x3 – 11x2 + 25x – 12 = 7x3 – 7x2 + 21x – 4x2 + 4x – 12
=7x( x 2 – x +3) – 4( x2 –x + 3) = ( 7x – 4)( x2 –x + 3)
Ph­¬ng tr×nh:
 = x 2 +6x –1
§iÒu kiÖn: x ³ ( do x2 –x +3 ³ )
 £ (7x – 4) +( x2 –x +3) = x2 +6x – 1
= VP
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi:
7x – 4 = ( x2 –x +3) x2 – 8x + 7 = 0
 x = 1 vµ x = 7 tho· nm·n bµi to¸n
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: x = 1 vµ x = 7
Bµi 4
6 ®iÓm
 a. (4 ®Óm)Tø gi¸c AEDM néi tiÕp
=>BE.BA = BD.BM
=>BE = BD.BM/BA (1)
 T­¬ng tù:
CF = CM.CD/CA 
¸p dông tÝnh chÊt cña ph©n gi¸c
 BD/ BA = CD/CA (2)
Theo gt: BM = CM
Thay vµo (1) ta cã: BE = CF
EBI = ICF( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung)
AEI = AFI => IEB = IFC
Suy ra:DBEI = DCFI => IB = IC
=> IM ^ BC (v× M lµ trung ®iÓm cña BC) => IM ®i qua J §.p.cm.
b.( 2 ®iÓm) ( gi¸m kh¶o tù vÏ h×nh)
J
C
I
A
 BBBB
DJ
MJ
B
F
E
Gäi G, H theo thø tù lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE.
DÔ dµng cã tø gi¸c KGMH lµ h×nh thoi.
 =>KM lµ ph©n gi¸c gãc GKH => KG// AD.
=>Chøng minh ®­îc tam gi¸c PAQ c©n.
Sôû Giaùo duïc - Ñaøo taïo
 TP.Hoà Chí Minh
 KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 9-THCS CAÁP THAØNH PHOÁ
 Naêm hoïc 2007 – 2008	 MOÂN TOAÙN	
 	 Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt (khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà)
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC
Caâu 1: (4 ñieåm) Cho phöông trình : ( laø aån soá)
Ñònh ñeå phöông trình treân coù hai ngieäm phaân bieät ñeàu aâm.
Goïi laø hai nghieäm cuûa phöông trình treân. 
Ñònh ñeå A= ñaït giaù trò nhoû nhaát.
Caâu 2 : (4 ñieåm)
a) Cho a, b, c, d laø caùc số dương. Chứng minh: 
b) Cho . Chöùng minh : 
Caâu 3 : (4 ñieåm)
	Giaûi caùc phöông trình : 
a)
b)
c)
Caâu 4 : (2 ñieåm) 
	Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân thì khoâng chia heát cho 9.
Caâu 5 : (4 ñieåm)
	Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O) vaø coù tröïc taâm laø H.
Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M thuộc cung BC không chứa điểm A sao cho töù giaùc BHCM laø moät hình bình haønh.
Laáy M laø ñieåm baát kyø treân cung BC khoâng chöùa A. Goïi N vaø E laàn löôït laø caùc ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua AB vaø AC. Chöùng minh ba ñieåm N , H , E thaúng haøng.
Caâu 6 : (2 ñieåm)
	Cho töù giaùc ABCD coù O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo vaø dieän tích tam giaùc AOB baèng 4 , dieän tích tam giaùc COD baèng 9. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích töù giaùc ABCD.
ÑAÙP AÙN
Caâu 1: (4 ñieåm) Cho phöông trình : ( laø aån soá)
Ñònh ñeå phöông trình treân coù hai ngieäm phaân bieät ñeàu aâm.
Goïi laø hai nghieäm cuûa phöông trình treân. 
Ñònh ñeå A= ñaït giaù trò nhoû nhaát.
Giaûi:
a)
 v 
Ñeå hai nghieäm phaân bieät ñeàu aâm thì 
 b)Ta coù A= = 
A ñaït GTNN laø khi 
Caâu 2 : (4 ñieåm)
a) Cho a, b, c, d laø caùc số dương. Chứng minh: 
b) Cho . Chöùng minh : 
Giaûi :
 a) Ta coù : ( vôùi a, b, c, d laø caùc soá döông)
Coäng boán BÑT treân ta ñöôïc : 
Ta laïi coù :
vaø
	Töø ñoù ta coù ñpcm.
b)Ta coù 
Suy ra : ( 1)
 Töông töï : (2)
Coäng (1) vaø (2) ta coù ñpcm.
Caâu 3 : (4 ñieåm)
	Giaûi caùc phöông trình : 
a) b) c)
Giaûi:
	a) 
	Ñaët , ta coù phöông trình : 
	Vôùi 
	Vôùi 
	b) 
	Ñaët 
	Ñaët 
	Ta coù heä phöông trình: 
	Töø ñoù ta tìm ñöôïc nghieäm x = 4
	c) ( Ñieàu kieän : 
	Ta thaáy khoâng thoûa neân ta chia hai veá cho :
 Xeùt veá phaûi : vaø daáu baèng xaûy ra khi x = 1.
	 Ta coù : 
	 Suy ra veá traøi : vaø daáu baèng xaûy ra khi x = 0.
	Vaäy hai veá khoâng baèng nhau. Phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm.
Caâu 4 : (2 ñieåm) 
	Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân thì khoâng chia heát cho 9.
Giaûi:
	Giaû söû chia heát cho 9 thì ta coù :
	 ( 1)
	Ta thaáy chia heát cho 3 vaø khoâng chia heát cho 9 neân khoâng laø soá chính phöông, do vaäy phöông trình (1) treân khoâng theå coù nghieäm nguyeân.
Vaäy khoâng chia heát cho 9. ( ñpcm)
Caâu 5 :
	Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O) vaø coù tröïc taâm laø H.
a)Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M thuộc cung BC không chứa điểm A sao cho töù giaùc BHCM laø moät hình bình haønh.
b)Laáy M laø ñieåm baát kyø treân cung BC khoâng chöùa A. Goïi N vaø E laàn löôït laø caùc ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua AB vaø AC. Chöùng minh ba ñieåm N , H , E thaúng haøng.
Goïi Mo laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua taâm O cuûa ñöôøng troøn.	
Ta coù CMo song song vôùi BH vì cuøng vuoâng goùc vôùi AC.
BMo song song vôùi CH vì cuøng vuoâng goùc vôùi AB.
Vaäy töù giaùc BHCMo laø moät hình bình haønh.
Ñieåm Mo chính laø vò trí cuûa M maø ta caàn xaùc ñònh.
Ta coù N vaø M ñoái xöùng qua AB neân : ANB=AMB= ACB.
H laø tröïc taâm tam giaùc ABC neân AHB + ACB = 180o
Suy ra : ANB + AHB = 180o.
Töù giaùc AHBN noäi tieáp ñöôïc cho ta : NHB = NAB.
Maø NAB = MAB neân NHB = MAB. ( 1)
Töông töï ta cuõng coù : EHC = MAC ( 2 )
Coäng (1 ) vaø (2 ) ta coù : NHB + EHC = BAC.
Maø ta laïi coù : BAC + BHC = 180o
Neân : NHB + EHC + BHC = 180o
Vaäy N, H , E thaúng haøng.
Caâu 6 : (2 ñieåm)
	Cho töù giaùc ABCD coù O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo vaø dieän tích tam giaùc AOB baèng 4 , dieän tích tam giaùc COD baèng 9. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích töù giaùc ABCD.
Giaûi : 
	Ñaët 
	Ta coù 
	Suy ra : 
	Ta laïi coù 
	Daáu baèng xaûy ra khi x = y = 6. 
	Vaäy dieän tích töù giaùc ABCD ñaït giaù trò nhoû nhaát laø 25.
së gi¸o dôc - ®µo t¹o 
qu¶ng ninh
-------- --------
kú thi chän häc sinh giái tØnh
líp 9 n¨m häc 2004-2005
(b¶ng A)
Bµi 1:
1) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n: n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph­¬ng. 
2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: = 
Bµi 2:
Cho c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau:
 + + x2 = + + y2 
Chøng minh r»ng: x = y
Bµi 3:
Gäi a lµ tham sè thùc sao cho ph­¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 . 
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 
Bµi 4:
Gäi O lµ t©m ®­êng trßn tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA cña tø gi¸c ABCD. Qua A, B, C, D lÇn l­ît vÏ c¸c ®­êng th¼ng dA, dB, dC, dD sao cho dA ^ OA, dB ^ OB, dC ^ OC, dD ^ OD. C¸c cÆp ®­êng th¼ng dA vµ dB, dB vµ dC, dC vµ dD, dD vµ dA t­¬ng øng c¾t nhau t¹i c¸c ®iÓm K, L, M, N.
1) Chøng minh r»ng ba ®iÓm K, O, M th¼ng hµng.
2) §Æt OK = k, OL = l, OM = m. TÝnh ®é dµi ON theo k, l, m. 
h­íng dÉn chÊm thi HSG tØnh n¨m häc 2004-2005
m«n to¸n líp 9 - b¶ng a
-------------------
Bµi
S¬ l­îc lêi gi¶i
Cho ®iÓm
Bµi 1.1
3 ®iÓm
Gi¶ sö tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph­¬ng 
th× n2 + 2006 = m2 víi m lµ sè tù nhiªn => (m-n)(m+n) = 2006 (*).
1,0 ®
Khi ®ã:
- nÕu m vµ n kh¸c tÝnh ch½n lÏ th× (m-n)(m+n) lÎ . M©u thuÉn víi (*)
- nÕu m vµ n cïng tÝnh ch½n lÏ th× (m-n)(m+n) chia hÕt cho 4, nh­ng 2006 kh«ng chia hÕt cho 4. Còng m©u thuÉn víi (*)
Tãm l¹i gi¶ sö trªn kh«ng ®óng. 
VËy kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph­¬ng. 
0,5 ®
1,0 ®
0,5 ®
Bµi 1.2
3 ®iÓm
§K: x3 + 1 ³ 0 (*).
BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh ®· cho (1) = 
0,5 ®
§Æt = u; = v (1) => u2 + v2 = x2 + 2.
Khi ®ã (1) trë thµnh: 2(u2 + v2) = 5u.v 
=> u = 2v ; u = v/2
0,5 ®
0,75 ®
Thay vµo (1); gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh; t×m ®­îc: x = vµ x = 
Thö vµ thÊy c¸c gi¸ trÞ trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) 
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm: x = vµ x = 
1,0 ®
0,25 ®
Bµi 2
3 ®iÓm
Gi¶ sö cã x, y tho¶ m·n + + x2 = + + y2
=> x ³ 1; y ³ 1
- NÕu x=1=y th× x = y (®pcm !)
0,25 ®
1,0 ®
- NÕu x, y kh«ng ®ång thêi = 1 th× b»ng c¸ch nh©n víi BT liªn hîp, ®­îc:
 + + x2 = + + y2 
 (- ) + (-) + (x2 - y2) = 0
(x2- y2)/(+) +(x - y)/(+)+(x2-y2) = 0
 (x - y).((x+y)/(+) +1/(+) +x+y)= 0
 x - y = 0 x = y
(v× : (x+y)/(+) + 1/(+) + x + y > 0)
VËy nÕu x, y tho¶ m·n ®¼ng thøc trªn th× x = y 
1,0 ®
0,5 ®
0,25 ®
Chó ý: Cã thÓ ch/m x = y b»ng c¸ch lo¹i trõ c¸c kh¶ n¨ng x y 
Bµi 3
4 ®iÓm
Do ph­¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 nªn ta cã : 9a2 + 4a > 0 (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3a 
=> x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a (2)
0,5 ®
1,0 ®
Bµi
S¬ l­îc lêi gi¶i
Cho ®iÓm
Khi ®ã: A = = 
0,5 ®
Theo (1) th× 9a2 + 4a > 0 nªn ¸p dông B§T C«si, ta ®­îc A ³ 2.
A = 2 9a2 + 4a = a2 a = -1/2.
DÔ kiÓm tra thÊy víi a = -1/2 th× x1 = -1 vµ x2 = -1/2
1,0 ®
0,5 ®
VËy Anhá nhÊt = 2, ®¹t ®­îc khi a = -1/2 ; x1 = -1 vµ x2 = -1/2
0,5 ®
Bµi 4
H×nh vÏ:
4. 1)
4 ®iÓm
DÔ thÊy AKBO, BLCO, CMDO vµ DNAO lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp.
vµ c¸c ®o¹n th¼ng OA, OB, OC, OD t­¬ng øng lµ ph©n gi¸c c¸c gãc A, B, C, D cña tø gi¸c ABCD.
1,5 ®
Cã ÐKOL + ÐLOM = p - ÐOKB - ÐOLB + p - ÐOLC - ÐOMC
= p - ÐBAO - ÐBCO + p - ÐCBO - ÐCDO
= 2p - ( ÐA + ÐB + ÐC + ÐD )/2 = 2p - p = p 
Tõ ®ã suy ra c¸c ®iÓm K, O, M th¼ng hµng 
1,0 ®
1,0 ®
0,5 ®
4. 2)
3 ®iÓm
Chøng minh t­¬ng tù nh­ trªn, ta ®­îc N, O, L th¼ng hµng. 
Ta chøng minh tø gi¸c KLMN néi tiÕp. ThËt vËy, cã:
ÐNKL + ÐNML = ÐAKO + ÐOKB + ÐDMO + ÐOMC 
= (1/2).( ÐA + ÐB + ÐC + ÐD ) = 2p 
0,25 ®
1,25 ®
Tõ ®ã chøng minh ®­îc OK.OM = ON.OL
Do ®ã ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l 
1,0 ®
0,5 ®
Sôû Giaùo duïc - Ñaøo taïo
 TP.Hoà Chí Minh
 KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 9-THCS CAÁP THAØNH PHOÁ
 Naêm hoïc 2006 – 2007	 MOÂN TOAÙN	
 	 Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt (khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà)
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC
Caâu 1 : (3 ñ)Thu gọn các biểu thức:
	a)
	b) 
	c) 
Caâu 2 : (3 ñ)
Chứng minh : 
Cho . 
 Chứng minh : . 
 Dấu bằng xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu?
Caâu 3 : (4 ñ)
	Giải hệ phương trình và phương trình:
	a)	
	b) 
Caâu 4 : (2 ñ) Cho phương trình : có các hệ số là các số nguyên lẻ. 
Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.
Caâu 5 : (4 ñ)
	Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M lần lượt tại C và D.
 	a)Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.
 	b)Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Tính tích số AC.BD theo CD.