Bài tập về Vectơ

BÀI TẬP VỀ VECTƠ
1/ Chứng minh: 
2/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác . D là điểm đối xứng của A qua O
	a/ Chứng minh: 
	b/ K là trung điểm của AH, I là trung điểm của BC. C/m: 
3/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường chéo BD lần lượt cắt AF và CE tại M, N. Chứng minh: .
4/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng . Chứng minh: .
5/ Chứng minh rằng: trung điểm của hai đoạn tẳng AD và BC trùng nhau.
6/ Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) .
Xác định các điểm M, N, P sao cho: 
Cmr: 
7/ Cho hai tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng với A qua C.Cmr: với một điểm O bất kì ta có : 
8/ Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy điểm O tùy ý . Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M và N, cắt AD và BC tại E và F. Chứng minh: 
9/ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC, gọi N là giao điểm của AM và BE. Tính tổng: .
10/Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm . Chứng minh:
11/Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh: 	
12/ Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. C/m: .
13/Cho bốn điểm A, B, C, D, . Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF. Chứng minh:
a) 	b) 	c) 
14/ Cho tam giác ABC, bên ngoài của tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. C/mr: 
15/Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G.Tính: .
16/Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = m. Tính: .
17/Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a , trọng tâm G. Tính: 
18/Cho tứ giác ABCD, I, J, K lần lượt là trung điểm của AC, BD, IJ . Chứng minh: với mọi M ta có:
.
19/ Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G nội tiếp đường tròn (O).M là trung điểm của BC. Chứng minh: 
	a) 	b) c) . 
Suy ra: Ba điểm H, O và G thẳng hàng.
20/ Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm nằm trong tam giác, H, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC, CA. Chứng minh:
21/ Cho tứ giác ABCDvà O là điểm bất kì. Chứng minh:
Nếu ABCD là hình bình hành thì: .
Nếu thì ABCD là hình bình hành .
22*/ Cho tam giác ABC: AB = c , BC = a, CA = b .CM là phân giác trong của góc .
	a) Biểu thị theo các vectơ , .
	b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh:	
23/ Cho tam giác ABC. I, J là các điểm thoả . Chứng minh:
	a) 	b) Ba điểm B, I, J thẳng hàng. c) Dựng điểm J thoả điều kiện trên.
24/Cho tam giác ABC có trung tuyến BM, I là trung điểm của BM, J là điểm thoả: .
Biểu thị theo các vectơ , . Suy ra ba điểm A, I, J thẳng hàng.
25/Cho tam giác ABC. B’ đối xứng với B qua C. E, F được xác định bởi: .
Biểu thị theo các vectơ , . Suy ra ba điểm B’, E, F thẳng hàng.
26/Cho tam giác ABC. I, K lần lượt là trung điểm của BC, BI và H thoả:
 Chứng minh: A, H, K thẳng hàng.
27/Cho tam giác ABC, trọng tâm G. M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AB và AG, M’ đối xứng với M qua B.
Biểu thị theo các vectơ , . Suy ra ba điểm M’, N, I thẳng hàng. 
28/Cho tam giác ABC, trọng tâm G. I, J thoả: . Phân tích các vectơ theo các 
vectơ , . Suy ra ba điểm I, J, G thẳng hàng. 
29/Cho tam giác ABC, I là trung điểm của AB, D đối xứng với A qua C, J là điểm thoả: 
. Phân tích các vectơ theo các vectơ , . Suy ra ba điểm I, J, D thẳng hàng. 
30/ Cho tam giác ABC,trọng tâm G. I, J lần lượt là trung điểm của AG, AB ,D là điểm thoả: 
Phân tích các vectơ theo các vectơ , . Suy ra ba điểm I, J, D thẳng hàng. 
31/Cho tam giác ABC,trọng tâm G. M, N là các điểm thoả: ,G’ đối xứng với A qua G. Biểu thị theo các vectơ , . Suy ra ba điểm M, N, G’ thẳng hàng.
32/ Cho tam giác ABC.Dựng các điểm:
	a) I thoả: 	b)K thoả: 
33/Cho tam giác ABC,trọng tâm G. Dựng điểm M thoả: .
34/Cho tam giác ABC.Dựng các điểm M, N, P thoả:
	a) 	b)	c)
35/ Cho hình bình hành ABCD tâm O, Dựng các điểm M, N thoả:
	a) 	b) 
36/Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc d sao cho:
	a) nhỏ nhất. 	b)nhỏ nhất.
37/ Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm M sao cho: 
38/Cho tam giác ABC,trọng tâm G. Dựng các điểm I, J, K thoả: , ,
. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác IJK.
39/ Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính: , 
40/ Cho nửa lục giác đều ABCD tâm O, đường kính AD, bán kính R .Tính: 
41/Cho hai điểm A, B phân biệt. Có thể tìm được bao nhiêu điểm M thoả một trong các điều kiện sau:	
a) 	b)	c)