Bài tập về Tích phân liên kết

Tích phân liên kết
Trong một số bài toán tính tích phân I =, ta tìm đến tích phân K= và tính I trong các mối ràng buộc với K ( K được gọi là tích phân liên kết với I ) .
Ta đi xác lập các đẳng thức liên hệ giữa I và K : 
	Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn I , K ta tính được I và cả K .
Ta thường gặp trường hợp :
 	* I = K khi đó tính I+K từ đó suy ra I .
 	* K là một tính phân được tính đơn giản , khi đó từ đẳng thức : mI +nK =a ta suy ra I (và K)
	Việc tìm đến tích phân liên kết K , tùy thuộc vào kinh nghiệm của bạn . Thường biểu thức các tích phân (liên kết ) f(x) ,g(x) có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau . 
	Chúng ta hãy tìm hiểu qua một số ví dụ : 
	Bài 1: Tính I = 
Có thể tính trực tiếp tích phân này – Một cách tính gián tiếp ? 
Vì sin2x + cos2x =1 , ta xét tích phân tương tự : K = 
 	Ta có : I +K = = sin2x | = (*)
 	Mặt khác : K-I = = 
 = = (**)
Từ (*) (**) suy ra : I =
Bài 2: Tính I = 
Xét bài toán (tích phân) tương tự : K = 
Bằng phép thay biến x = p/2-t 
Ta có : dx =-dt , x = 0 → t= p/2 , x = p/2→ t= 0 
Khi đó : I = ...= K 
Ta có : I + K = = - = p/2 - 
Tính = = 
= = 
= 
Ta có : I=K và I+K = ln2 → I=K = 
Chú ý : + Bạn có thể không thay biến , tính I-K = ....= 0 → I=K .
Bài 3: I = 
Nếu tính được I = thì ta cũng tính được K = 
Biểu thức của K là biểu thức của I trong đó : sinx được thay bởi cosx và cosx được thay bởi sinx .
Bằng phép thay biến x = p/2-t Ta cm được I = K 
Ta có : I+K = = 
Đặt t = cos2x → dt = -2sin2xdx 
x = 0 → t=1 , x = p/2 → t= -1 
I+K = = ... = p/4
Suy ra : I = p/8 
Chú ý : (cos4x )’= -4 cos3xsinx - xét đến (sin4x )’= 4 sin3xcosx 
 	Ta có: (sin4x + cos4x )’= - sin4x 
Khi đó : 4(I-K) = = - ln()|= 0 → I= K
Bài 4: I = 
* Chọn K = 
Ta có : (1)
* Tính K . Để ý (e2x+3 )’= 2 e2x .
 Khi đó : K = (2)
Từ (1) (2) suy ra : I = .
Bài 5: 
Liên hệ đến hằng đẳng thức : x6 +1 = (x2 +1) ( x4- x2 +1) , ta chọn 
Ta có : I - K = = 
Đặt x = tant → dx = (1+tan2t)dt . x = 0 → t =0 , x = 1 → t = p/4
Khi đó : I-K = và 
suy ra : I = + .
	Đây là nội dung còn nhiều điều tìm hiểu – vấn đề chọ tích phân liên kết đòi hỏi khả năng tư duy linh hoạt của bạn . Bạn suy nghĩ tìm tòi thêm nhé . Mời bạn cùng giải một số bài tập sau :
Bài tập đề nghị : 
Bài 1: a/ 	 b/ 
Bài 2: a/ 	b/ 	c/ 
Bài 3: a/ 	b/ 
Bài 4: a/ 	b/ 
Bài 5: a/ 	b/ 
Bài 6: a/ * 	b/ 
 Bài 7 a/ 	b/ 	c/ 
Bài 8 : a/ * b/ *
Và bạn có thể đề xuất thêm nhiều bài toán mà khi giải nó ta phải xét đến tích phân liên kết phải không nào. Chúc bạn vui – thành công.