Bài tập về Hàm số

Hàm số
I. Hàm số bậc nhất
Bài 1: Cho đường thẳng y = (m - 2) + 2	(d)
a) C/m rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d bằng 1.
c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho các đường thẳng:
	(d1): y = 4mx - (m + 5) với m 0	(d2): y = (3m2 + 1)x + (m2 - 4)
a) C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua một điểm A cố định, đường thẳng (d2) luôn đi qua một điểm B cố định.	
b) Tính khoảng cách AB.	c) Với giá trị nào của m thì (d1) song song (d2)?
d) Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2)? Tìm toạ độ giao điểm khi m = 2.
Bài 3: Cho điểm A(0; -1) và B(-4; 3). Viết phương trình đường thẳng (d) là đường trung trực của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng d với tia Ox.
Bài 4: Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x + 5. Tìm giá trị của m để hàm số y là hàm số đồng biến, nghịch biến?
Bài 5: Cho hàm số y = (3 - )x + 1
	a) Hàm số là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
	b) Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau: 0; 1; ; 3 + ; 3 - 
	c) Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau: 0; 1; 8; 2 + ; 2 - 
Bài 6: Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau đây là hàm số bậc nhất?
	a) y = x + ;	b) S = (t là biến số)
Bài 7: Tìm trên mặt phẳng toạ độ tất cả các điểm.
a) Có tung độ bằng 5.
b) Có hoành độ bằng 2.
c) Có tung độ bằng 0.
d) Có hoành độ bằng 0.
e) Có hoành độ và tung độ bằng nhau.
f) Có hoành độ và tung độ đối nhau.
Bài 8: Cho hàm số y = (m - 3)x.
	a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến? Nghịch biến?
	b) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1; 2).
	c) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm B(1; -2).
	d) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của m tìm được ở các câu b), c).
Bài 9: Cho hàm số y = (a - 1)x + a
	a) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
	b) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3.
	c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm được ở các câu a), b) trên cùng hệ trục toạ độ Oxy và tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được.
Bài 10:	a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau:
	y = x (d1);	y = 2x (d2);	y = -x + 3 (d3)
	b) Đường thẳng (d3) cắt các đường thẳng (d1), (d2) theo thứ tự tại A, B. Tìm toạ độ của hai điểm A, B và tính diện tích tam giác OAB.
Bài 11: Cho hàm số y = ax + 3. Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau:
	a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = -2x.
	b) Khi x = 1 + thì y = 2 + .
Bài 12: Biết rằng với x = 4 thì hàm số y = 2x + b có giá trị 5.
a) Tìm b.
b) Vẽ đồ thị của hàm số ứng với các giá trị của b tìm được ở câu a).
Bài 13: Tìm hệ số a của hàm số y = ax + 1, biết rằng khi x = 1 + thì y = 3 + .
Bài 14: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.
Bài 15: Xác định hàm số trong mỗi trường hợp sau, biết đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc toạ độ:
a) Đi qua điểm A(3; 2).	b) Có hệ số a bằng . c) Song song với đường thẳng y = 3x + 1.
Bài 16: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4).
	a) Tìm hệ số a của đường thẳng đi qua A và B.
	b) Xác định hàm số biết đồ thị của nó là đường thẳng đi qua A và B.
Bài 17: Cho đường thẳng y = (k + 1)x + k	(1)
	a) Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) đi qua gốc toạ độ.
	b) Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - 
	c) Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) song song với đường thẳng y = ( + 1) + 3.
Bài 18:	a) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm A(2; 1).
	b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm B(1; -2).
	c) Vẽ đồ thị của các hàm số với hệ số góc tìm được ở các câu a), b) trên cùng một mặt phẳng toạ độ và chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.
Bài 19: Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = 12x + (5 - m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Bài 20: Tìm giá trị của a để hai đường thẳng y = (a - 1)x + 2 và y = (3 - a)x + 1 song song với nhau.
Bài 21: Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng sau sẽ trùng nhau?
	y = kx + (m - 2)	và	y = (5 - k)x + (4 - m)
Bài 22: Cho đường thẳng y = (1 - 4m)x + m - 2.	(d)
	a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ?
	b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn? Góc tù?
	c) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng .
	d) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ bằng .
Bài 23: Cho đường thẳng y = (m - 2)x + n	 (m 2).	(d)
	Tìm giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau:
	a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1; 2), B(3; 4).
	b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 + .
	c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng -2y + x - 3 = 0.
	d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1.
	e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y - 2x + 3 = 0.
Bài 24: Cho các hàm số :	y = 2x - 2	(d1);	y = x - 2 	(d2);	y = x + 3	(d3)
a) Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
b) Gọi giao điểm của đường thẳng (d3) với (d1) và (d2) theo thứ tự là A, B. Tìm toạ độ của A, B.
c) Tính khoảng cách AB.
Bài 25: 	Cho họ đường thẳng có phương trình : mx + (2m - 1)y + 3 = 0	(1)
 a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2; 1).
 b) Chứng minh rằng các đường thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm toạ độ của điểm M.
Bài 26: Cho hai đường thẳng (d): y = (m2 + 2m)x	;	(d'): y = ax	(a khác 0)
	a) Định a để (d') đi qua A(3; -1).
	b) Tìm các giá trị của m để (d) vuông góc với (d') ở câu a).
Bài 27: 	Cho hàm số : y = mx - 2m - 1	(m khác 0)	(1)
	a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O. Vẽ đồ thị (d1) với m tìm được.
	b) Tính theo m toạ độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lượt với các trục Ox và Oy. Xác định m để tam giác AOB có diện tích bằng 2 (ĐVDT).
	c) Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
II. Hàm số y = ax2
Bài 28: Cho hàm số 
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là -2; 1. Viết phương trình đường thẳng MN.
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đường thẳng MN và chỉ cắt (P) tại một điểm.
Bài 29: Cho hàm số 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Lập phương trình đường thẳng (D) qua A(-2; -2) và tiếp xúc với (P).
Bài 30: Cho hàm số y = x2 và y = x + m	(m là tham số)
a) Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x2 và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B.
b) Tìm phương trình của đường thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P).
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo toạ độ của hai điểm ấy. áp dụng tìm m sao cho khoảng 
cách giữa hai điểm A, B là .
Bài 31: Trong cùng hệ trục toạ độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + m.
a) Tìm a biết (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm được.
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu a) và tìm toạ độ tiếp điểm.
c) Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu b) với trục tung C là điểm đối xứng của A qua trục tung. Chứng tỏ rằng C nằm trên (P) và tam giác ABC vuông cân.
Bài 32: Trong cùng một mặt phẳng toạ độ cho hai đường thẳng:
	(D1) : y = x + 1	;	(D2): x + 2y + 4 = 0
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (D1) và (D2) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán.
b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (P) với a vừa tìm được.
c) Tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A.
Bài 33: Cho (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và điểm A(-2; -1) trong cùng hệ trục toạ độ.
a) Tìm a sao cho A thuộc (P). Vẽ (P) với a vừa tìm được.
b) Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4. Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB.
Bài 34: Cho Parabol (P): và đường thẳng (D) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -2 và 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.	b) Viết phương trình của (D).
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng hoành độ) x sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 35: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho Parabol (P): 
và đường thẳng (D) : y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ (P).	b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 36: Trong cùng hệ trục toạ độ cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) qua điểm Icó hệ số góc m.
	a) Vẽ (P) và viết phương trình của (D).	b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
	c) Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
Bài 37: Trong cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) y = x+2
	a) Vẽ (P) và (D).	b) Bằng phép toán tìm toạ độ của (P) và (D).
	c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (D).
Bài 38:	Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) trong mặt phẳng toạ độ Oxy.
	a) Vẽ (P).
	b) Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lượt có hoành độ -1 và 2. Chứng minh rằng tam giác OAB vuông.
	c) Viết phương trình đường thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số).
	+ Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
	+ Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x1; x2 thoả mãn:
	. Vẽ (d) với m tìm được.
Bài 39: Cho Parabol (P): y = và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + .
a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN.
III. một số bài toán liên quan đến hàm số
Bài 40: Xác định hàm số f(x) biết f(x + 1) = x2 - 2x + 3.
Bài 41: Xác định hàm số g(x) biết g(x - 5) = 2x - 1.
Bài 42: Cho hàm số f(x) = ax2 - bx2 + x + 3 (a, b là hằng số). Cho biết f(2) = 17. Tính f(-2).
Bài 43: Cho hàm số y = f(x). Biết f(x-1) = 3x - 5. Chứng minh rằng hàm số y = f(x) là một hàm số bậc nhất.
Bài 44: Cho hàm số y = f(x) = ax + b. Biết f(1) f(2); f(5) f(6) và f(999) = 1000. Tính f(2010)
Bài 45: Cho hàm số: 
a) Vẽ đồ thị của hàm số trên	b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho .
--------------------------------------------------