Bài tập Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

dM'M
CHƯƠNG I: 
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 
I. Phép tịnh tiến: 
u
T : M M  'MM u 
( , )u a b
T : M(x; y) M(x; y). Khi đó: '
'
x x a
y y b
  

 
II. Phép đối xứng trục: Đd: M M  d là trung trực MM’ 
ĐOx: M(x; y) M(x; y). Khi đó: 
'
'
x x
y y
 

 
 ĐOy: M(x; y) M(x; y). Khi đó: 
'
'
x x
y y
  


III. Phép đối xứng tâm: ĐI: M M  'IM IM  
 ĐI(a,b): M(x; y) M(x; y). ⟹
' 2
' 2
x a x
y b y
  

 
IV. Phép quay: Q(I,): M M  
'
( ; ')
IM IM
IM IM
 

 
V. Phép vị tự: V(I,k): M M  ' .IM k IM (k  0) 
  V(I,k)(M) = M, V(I,k)(N) = N  ' ' .M N k MN 
  Cho I(a; b). V(I,k): M(x; y) M(x; y). Khi đó: 
' (1 )
' (1 )
x kx k a
y ky k b
   

  
Chú ý: 
Cho d: ax+by+c = 0. 
Ta cĩ: 
 : '
a
T d d ⟹d//d’ 
 
( , ) : 'I kV d d ⟹d//d’ 
 
( ; 90) : 'OQ d d ⟹d⊥d’ 
 
( , ) : 'I a bD d d 
 M(x,y)⟼M’(x’,y’) 
⟹
2 '
2 '
x a x
y b y
 

 
M∈d⇔ M’∈d’⟹ 
 : 'D d d 
 M(x,y)⟼M’(x’,y’) 
Gọi a là đường thẳng qua 
M và vuơng gĩc với ∆. 
Gọi H = a ∩ ∆. Khi đĩ H 
là trung điểm MM’ 
Gọi K = d ∩ ∆. Khi đĩ d’ 
là M’K 
 ( , ) : ( ; ) ( '; ')I kV O R O R 
⇒ 'R k R 
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG 
Trần Quang – 01674718379 
LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị 2 
DẠNG 1: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT 
Bài 1. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d. Lấy hai điểm P,Q cố 
định trên d. 
a. Tìm trên d điểm M sao cho MA+MB ngắn nhất. 
b. Tìm M và N thuộc d sao cho MN PQ và MA+NB ngắn nhất. 
Bài 2. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm về hai phía của d . Tìm điểm M trên d sao 
cho MA MB lớn nhất ? 
Bài 3. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 và hai điểm cố định AB nằm hai phái ngồi d1 
và d2. Tìm M và N thuộc d1 và d2 sao cho MN⊥ d1 và AM+BN ngắn nhất. 
Bài 4. Cho hình vuồn ABCD cĩ tâm O. Tìm M ∈ AB, N ∈ CD sao cho MN//BC và 
OM+MN+NB ngắn nhất ? Hd: dùng T
BC :O ↦O’ 
Bài 5. Cho gĩc nhọn xOy và hai điểm A, B nằm trong gĩc đĩ. Đường thẳng d bất kì qua A cắt 
Ox, Oy tại P và Q. 
a. CMR diện tích ∆OPQ lớn nhất khi A là trung điểm PQ. 
b. Tìm M và N thuộc Ox, Oy sao cho chu vi ∆AMN nhỏ nhất. 
c. Tìm M và N thuộc Ox, Oy sao cho MA+NB nhỏ nhất. 
Bài 6. CMR trong tất cả các tam giác cĩ chung một cạnh và cùng diện tích thì tam giác cân cĩ 
chu vi nhỏ nhất. 
Bài 7. Cho ∆ABC cĩ m là tia phân giác ngồi gĩc A và M là điểm tùy ý thuộc m. Cmr chu vi 
∆ABC≤∆MBC ? 
Bài 8. Cho ∆ABC. Tìm M,N,P lần lượt nằm trên BC,CA,AB sao cho chu vi ∆MNP nhỏ nhất 
biết: 
a. M và N cho trước? b. M cho trước? c. M,N,P chưa biết ??? 
Hd: c. Giả sử dựng được M. Dựng M1 và M2 đối xứng với M qua AB và AC. Cmr
1 2 2M AM BAC khơng đổi ⇒ M1M2 ngắn nhất khi AM1 và AM2 ngắn nhất (Định lý cosin) mà 
AM1 = AM2 =AM khi M là chân đường cao AH. Tương tự P và N là các chân đường cao. 
Bài 9. Cho ∆ABC cĩ gĩc C ≤ 120o và M là điểm tùy ý nằm trong ∆ABC. Tìm M để 
MA+MB+MC nhỏ nhất ? Hd: Dùng Q(C,60) 
Bài 10. Cho ∆ABC đều và M là điểm tùy ý ngồi ∆ABC. CMR MB≤MA+MC nhỏ 
nhất ? Tìm M để dấu “=” xảy ra ? Hd Dùng Q(A,60). 
Bài 11. Cho tứ giác ABCD cĩ AB=a,BC=b,CD=c,DA=d. CMR 
2
ABCD
ac db
S

 
Hd: Gọi ∆ là trung trực BD. Đ∆: C⟼C’. 
'
1
.sin '
2 2
ABC
ac
S ac ABC  và '
1
.sin '
2 2
ADC
bd
S bd ADC  
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG 
Trần Quang – 01674718379 
LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị 3 
DẠNG II: DỰNG HÌNH 
Bài 1. Cho vecto a , đường thẳng d và d’ cắt nhau, đường trịn (O), (O’). Dựng M và N thỏa: 
a. M ∈ d và N ∈ d’ sao cho MN a 
b. M ∈ d và N ∈ (O) sao cho MN a 
c. M ∈ (O) và N ∈ (O’) sao cho MN a 
Bài 2. Dựng hình bình hành ABCD biết AB = a, BC = b và ( , )AC BD  
Hd: Dựng hbh ACC’B. C năm trên cung chứa gĩc φ trên dây AC’ và BC=b. 
Bài 3. Cho hai đường trịn (O),(O’) cắt nhau tại A và B với OO’=m 2 . Dựng đường thẳng d 
qua A cắt (O),(O’) tại P và Q sao cho PQ = 2m. 
Hd: Gọi M và N là trung điểm AP và AQ ⟹ MN = m. Kẻ ON’ ⊥NO’ ⇒ N’O’=m 2 . 
Bài 4. Cho hai đường trịn (O),(O’) và đường thẳng d. dựng đường thẳng d’ // d và cắt 
(O),(O’) theo các dây cung AB và CD sao cho AB = CD ? 
Hd: Gọi I và I’ là hình chiếu của O và O’ lên d. Dùng T 'II . 
Bài 5. Cho ∆ABC. Dựng tam giác MNP nhận A,B,C làm trung điểm các cạnh MN,NP,PM. 
Bài 6. Cho ∆ABC. Tìm điểm M trên AB và N trên AC sao cho MN//BC và AM = CN. 
Hd: Dựng hbh MNCD. CMR D là chân phân giác trong AD. 
Bài 7. Cho a xác định, đường trịn (O) cĩ hai dây cung AB và CD khơng cắt nhau. Tìm M 
∈(O) ssao cho MA và MB cắt CD tại E và F thì EF a ? 
Hd: dùng : '
a
T A A thì 'A FB AMB khơng đổi 
Bài 8. Cho đường thẳng d, đường trịn (O) và điểm I. Tìm M ∈ d và N ∈ (O) sao cho I là 
trung điểm MN. 
Bài 9. Cho hai đường trịn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d 
a. Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường trịn đĩ sao cho d là đường trung 
trực của đoạn thẳng MM’ 
b. Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) 
tạo thành một gĩc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngồi . 
Bài 10. Cho gĩc nhọn xOy và điểm A cố định nằm trong gĩc. Dựng đường thẳng d qua A cắt 
Ox, Oy tại m và N sao cho A là trung điểm MN? 
Bài 11. Cho điểm A và hai đường trịn (O), (O’). Tìm B và C thuộc hai đường trịn trên sao cho 
∆ ABC đều? 
Bài 12. Cho hai đường thẳng song song d và d’. G là điểm cố định khơng nằm trên d và d’. 
Dựng ∆ ABC đều thỏa mãn: A, B nằm trên d và d’, G là trong tâm tam giác ABC ? 
Bài 13. Cho tam giác ABC cĩ gĩc A = α, điểm M cố định nằm trên AB.Tìm N và P thuộc Bc 
và AC sao cho MP=MN và MN tiếp tuyến với dường trịn ngoại tiếp ∆AMP? 
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG 
Trần Quang – 01674718379 
LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị 4 
Hd: CMR NMP MAP   . Phép  , : 'MQ A A . Khi đĩ suy ra (A’N,AP)=α. Gọi I là giao 
điểmA’N và AP ⟹ NI//AM (hai gĩc đồng vị) hay A’N//AB. 
Bài 14. Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dựng đường thẳng d qua A cắt 
(O) và (O’) tại M,N sao cho: 
a. A là trung điểm MN. b. N là trung điểm AM 
Bài 15. Cho tam giác nhọn ABC. Dựng hình vuơng MNPQ sao cho P và Q nằm trên BC, M và 
N nằm trên AB và AC. 
Bài 16. Cho tứ giác lồi ABCD. Trên các cạnh AB,BC,CD, DA dựng các đỉnh hình thoi MNPQ 
và MN//AC, MQ//BD ? 
Bài 17. Cho gĩc nhọn xOy và điểm A cố định nằm trong gĩc. Dừng đường trịn (O) đi qua A 
và tiếp xúc với Ox, Oy ? 
Bài 18. Cho hai đường trịn (O;r) và (O’;R) khác bán kính và tiếp xúc ngồi với nhau. Điểm M 
cố định nằm trên (O). Dựng đường trịn (I) qua M và tiếp xúc với hai đường trịn trên ? 
Bài 19. Cho đường trịn (O) và đường thẳng d tiếp xúc với nhau tại A. Điểm B cố định trên 
(O). Dựng đường trịn (O’) tiếp xúc với (O) tại B và tiêp xúc với d ? 
Bài 20. Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại C. tìm trên d và d’ điểm A và B sao cho ABC 
vuơng cân tại A 
DẠNG III: QUỸ TÍCH. 
Bài 1. Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường trịn đĩ . 
Chứng minh rằng 
a. Trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường trịn cố định . 
b. Gọi P là đỉnh của tam giác đều AHP. Tìm quỹ tích P? 
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD cĩ A cố định, ABD nội tiếp đg trịn (O;R) cố định và B,D 
di động trên (O;R) nhưng BD = 2a khơng đổi. Tìm quỹ tích: 
a. Trung điểm I của BD. b. Trực tâm H của ABD c. Quỹ tích C 
Hd: c. dựng đường kính AK. CMR K là trục tâm BCD ⇒ AHCK là hbh  
Bài 3. Cho tam giác ABC cố đinh cĩ trực tâm H. Về phía A của nữa mặt phẳng bờ BC, dựng 
hình thoi BCDE. Hạ EE1⊥AC, DD1⊥AB. Gọi M = EE1∩DD1. Tìm quỹ tích: 
a. Điểm D b. Điểm M 
Hd: b. Cmr BHEM là hbh. Dựa vào các cạnh song song suy ra MED HBC và MDE HCB . 
Khi đĩ ∆HBC=∆MED⇒HCDM là hbh. Khi đĩ DM CH cố định. 
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD cĩ hai đỉnh A,B cố định , cịn đỉnh C chạy trên một đường 
trịn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi . 
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG 
Trần Quang – 01674718379 
LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị 5 
Bài 5. Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các 
đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm 
các tam giác MPQ và NPQ ? 
Bài 6. Cho đường trịn (O;R) và hai điểm A,B cố định . Với mỗi điểm M , ta xác định điểm 
M’ sao cho 'MM MA MB  . Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R) . 
Bài 7. Cho đường thẳng a và một điểm G khơng nằm trên a . Với mỗi điểm A nằm trên a ta 
dựng tam giác đều ABC cĩ tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a? 
Bài 8. Cho đường trịn (O) và tam giác ABC . Một điểm M thay đổi trên (O) . Gọi 1M là điểm 
đối xứng với M qua A, 2M là điểm đối xứng với 1M qua B và 3M là điểm đối xứng với 
2M qua C . Tìm quỹ tích điểm 3M ? 
Hd: Gọi D là trung điểm MM3. CMR ABCD là hbh ⇒D cố định. 
Bài 9. Cho đường trịn (O;R) và một điểm I cố định khác O . Một điểm M thay đổi trên 
đường trịn . Tia phân giác gĩc MOI cắt IM tại N . Tìm quỹ tích điểm N . 
Bài 10. Cho đường trịn (O) cĩ đường kính AB . Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và 
PQ là đường kính thay đổi của (O)khác với đường kính AB . Đường thẳng CQ cắt PA ,PB 
lần lượt tại M và N . 
a. Chứng minh Q là trung điểm của CM , N là trung điểm của CQ 
b. Tìm quỹ tích của các điểm M,N khi đường kính PQ thay đổi . 
Bài 11. Cho đường trịn (O;R) và điểm A cố định . Một dây cung thay đổi của (O;R) cĩ 
độ dài bằng m khơng đổi . Tìm quỹ tích các điểm G sao cho 0GA GB GC   . 
Bài 12. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O)bán kính R , các đỉnh B,C cố 
định cịn A thay đổi trên (O) .Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên 
một đường trịn 
Bài 13. Cho nữa đường trịng tâm O đường kính AB. Điểm M di động trên đường trịn. 
Phía ngồi MAB dựng hình vuơng AMNP. Tìm quỹ tích P và N ? 
Bài 14. Cho ∆ABC . Trên Bx, Cy là tia đối của BA, CA lấy D và E di động sao cho 
BD=2CE. Tìm quỹ tích trung điểm M của DE? 
Hd: Dựng Bt//Cy. 
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG 
Trần Quang – 01674718379 
LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị 6 
K
H
O1
O3
O2
O
B C
A
DẠNG 4: ÁP DỤNG PHÉP DỜI HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG ĐỂ CHỨNG MINH. 
Bài 1. Cho ∆ABC cĩ A1, B1, C1 là trung điểm BC, CA, AB. Gọi O1, O2, O3 I1, I2, I3 là tâm 
đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp ∆AB1 C1 , ∆A1 BC1 , ∆A1 B1 C. CMR ∆O1O2 O3 = ∆I1 I2I3 ? 
Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O;R) với AD=R. Dựng các hình bình hành 
DABM và DACN. Cmr tâm đường trịn ngoại tiếp DNM nằm trên (O) ? 
Bài 3. Cho tứ giác lồi ABCD khơng phải hình thang. Gọi M, N là trung điểm AB và CD. Biết 
MN tạo với AD và BC hai gĩc bằng nhau. Cmr AD =BC ? 
Bài 4. Cho hbh ABCD và M nằm trong tam giác MBD. Biết MBC MDC , Cmr AMD BMC ? 
Bài 5. Bên ngồi ∆ABC, dựng hình chử nhật BCDE. Các đường thẳng qua D và E lần lượt 
vuơng gĩc với AB, AC, cắt nhau tại K. Cmr AK⊥BC? 
Hd: Gọi H là trực tâm ∆ABC. Cmr : ;
BE
T BH EK CH DK suy ra H↦K. 
Bài 6. Cho ∆ABC cĩ tâm đường trịn nội tiếp I, diểm P tùy ý nằm trong ∆ABC. Gọi A’, B’, 
C’ là điểm đối xứng với P qua AI, BI, CI. Cmr AA’, BB’, CC’ đồng quy ? 
Hd: Cmr AA’ là trung trực B’C’. Tương tự BB’, CC’ là các trung trực của tam giác A’B’C’. 
Bài 7. Cho ABC với trực tâm H. 
a. Cmr các đường trịn ngoại tiếp các ∆HAB, HBC, HCA cĩ R bằng nhau. 
b. Gọi O1, O2, O3 là tâm của các đường trịn nĩi trên. Chứng minh rằng 
đường trịn đi qua 3 điểm O1, O2, O3 cĩ bán kính bằng bán kính đường 
trịn ngoại tiếp ABC. 
Hd: a. dùng :BCD HBC KBC  
 b. Cmr 1 2 2O BO ABC AOC  ⟹∆OAC=∆BO1 O2 ⟹ AC=O1 O2. 
Bài 8. Cho tứ giác ABCD có A = 600, B = 1500, D = 900, AB = 6 3 , CD = 12. 
Tính độ dài các cạnh AD và BC. 
 Hd: Dựng hbh ABCC’ ⟹góc BAC’=30⟹ BC = 6, AD = 6 3 . 
Bài 9. Cho ABC cân đỉnh A. Điểm M chạy trên BC. Kẻ MD  AB, ME  AC. Gọi D = 
ĐBC(D). Tính 'BD M và chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 
Hd: 'BD M = 1v; MD + ME = BH với BH⊥AC. 
Bài 10. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF 
vuông cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh IMJ 
vuông cân. Hd: Xét phép quay Q(A,90
0
). 
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG 
Trần Quang – 01674718379 
LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị 7 
Bài 11. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. 
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM = 
1
2
FK. 
 Hd: Gọi D = Đ(A)(B). Xét phép quay Q(A,90):D↦F, C↦K 
Bài 12. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm 
cạnh, dựng các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. 
Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh BMN đều. 
Bài 13. Cho OAB và OA’B’ vuơng cân tại O sao cho O nằm giữa B’A và nằm ngồi 
A’B. Gọi G và G’ là trọng tâm OAA’ và OBB’. Cmr OGG’ vuơng cân ? 
Bài 14. Cho ABC. Lấy các cạnh của tam giác đó làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam 
giác các tam giác đều ABC1, CAB1, CAB1. Chứng minh rằng : 
a. AA1, BB1, CC1 bằng nhau? 
b. AA1, BB1, CC1 đồng quy ? 
 Hd: a. Xét các phép quay Q(A,60
0
), Q(B,60
0
). 
 b. Gọi I=AA1∩ CC1. Q(B,60):A↦C1; A1↦C, I↦J. Vì A, A1, I thẳng hàng nên C, C1, J 
thẳng hàng. Xét Q(A,60):C1↦B; C↦B1, J↦I. Tính thẳng hàng suy ra I thuộc BB1. 
Bài 15. Cho ABC đều tâm O. Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE 
sao cho AD + AE = AB. Chứng minh rằng OD = OE và DOE = 120
0
. 
 Hd: Xét phép quay Q(O,120
0
). 
Bài 16. Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông 
góc với CM, cắt AB và AD tại E và F. CM cắt AD tại N. Chứng minh rằng: 
 a) CM + CN = EF b) 
2 2 2
1 1 1
CM CN AB
  Hd: Xét phép quay Q(C,90
0
). 
Bài 17. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao 
cho C và D nằm khác phía với AB. Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm trên đường 
cao AH của ABC. 
 Hd: Lấy trên tia đối của AH một đoạn AK = BC. Gọi O là tâm hình vuông ACIJ. Xét 
phép quay Q(O,90
0
)  IB  CK. Tương tự CD  BK. 
Bài 18. Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. 
Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và 2GH GO  . 
Hd: Gọi A’, B’, C’ là trung điểm BC, CA, AB. Cmr O là trực tâm A’B’C’. Xét V(G,–2) 
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG 
Trần Quang – 01674718379 
LTĐH – TP Đơng Hà, Quảng Trị 8 
Bài 19. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn 
(O). Tìm quĩ tích trọng tâm G của ABC. 
Bài 20. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường 
tròn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O). 
 a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định. 
 b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O của đường tròn ngoại tiếp MPQ, trực 
tâm H của MPQ. 
 HD: a) Kẻ OI  d, OI cắt PQ tại N. 2.OI ON r  N cố định. 
 b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kính NO. 
 Tập hợp các điểm O đường trung trực đoạn OI. 
 Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = V(O,2). 
Bài 21. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh 
tâm O. AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C. 
 a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A. 
 b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định. 
 c) Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của ABC. 
 Hd: a) AO cắt (AMN) tại D. 
2
. .OAOD OMON R    D cố định. 
 b) AO cắt BC tại E. 
2 2
.AE AD AO R   E cố định. 
 c) Tập hợp các điểm I là đường tròn (O1) đường kính EO. 
 Tập hợp các điểm G là đường tròn (O2) = 2
( , )
3
A
V (O1). 
Bài 22. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB 
tại một điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt d tại D, 
CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E. 
 a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
 b) Tứ giác CDNE là hình gì? 
 c) Tìm tập hợp trọng tâm G của MAC. 
 HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD  CDNE là hình thang. 
 c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (K, 
3
R
) 
ảnh của đường tròn (O, R) qua phép 
1
( , )
3
I
V .