Lý thuyết Hình không gian 11 - 12

Gv: Trần Quốc Nghĩa 1 
A – KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Chứng minh đường thẳng d song song mp() (d  ()) 
Cách 1. Chứng minh // 'd d và ' ( )d   
Cách 2. Chứng minh ( )d   và ( ) / /( )  
Cách 3. Chứng minh d và () cùng vuơng gĩc với 1 đường thẳng hoặc 
cùng vuơng gĩc với 1 mặt phẳng 
2. Chứng minh mp() song song với mp() 
Cách 1. Chứng minh mp() chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song 
song với () (Nghĩa là 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt này 
song song với 2 đường thẳng trong mặt phẳng kia) 
Cách 2. Chứng minh () và () cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc 
cùng vuơng gĩc với 1 đường thẳng. 
3. Chứng minh hai đường thẳng song song: 
Cách 1. Hai mặt phẳng (), () cĩ điểm chung S lần lượt chứa hai 
đường thẳng song song a và b thì ()  () = Sx // a // b. 
Cách 2. () // a, a  ()  ()  () = b // a 
Cách 3. Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng 
thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đĩ. 
Cách 4. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho 2 giao tuyến 
song song 
Cách 5. Một mặt phẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt 
nhau, ta được 3 giao tuyến song song. 
Cách 6. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 hoặc 
cùng vuơng gĩc với một mặt phẳng thì song song với nhau. 
Cách 7. Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, 
định lí Thales đảo, cạnh đối tứ giác đặc biệt,  
Lý thuyết HKG 11-12 2 
4. Chứng minh đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng () 
Cách 1. Chứng minh đường thẳng d vuơng gĩc với hai đường thẳng 
cắt nhau nằm trong (). 
Cách 2. Chứng minh d nằm trong một trong hai mặt phẳng vuơng gĩc 
và d vuơng gĩc với giao tuyến  d vuơng gĩc với mp cịn lại. 
Cách 3. Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuơng 
gĩc với mặt thứ 3. 
Cách 4. Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a  (). 
Cách 5. Đường thẳng nào vuơng gĩc với một trong hai mặt phẳng 
song song thì cũng vuơng gĩc với mặt phẳng cịn lại. 
Cách 6. Chứng minh d là trục của tam giác ABC nằm trong () 
5. Chứng minh hai đường thẳng d và d vuơng gĩc: 
Cách 1. Chứng minh d  () và ()  d. 
Cách 2. Sử dụng định lí 3 đường vuơng gĩc. 
Cách 3. Chứng tỏ gĩc giữa d, d  bằng 900. 
6. Chứng minh hai mặt phẳng () và () vuơng gĩc: 
Cách 1. Chứng minh ()  d và d  (). 
Cách 2. Chứng tỏ gĩc giữa hai mặt phẳng () và () bằng 900. 
Cách 3. Chứng minh a // () mà ()  a 
Cách 4. Chứng minh () // (P) mà ()  (P) 
Gv: Trần Quốc Nghĩa 3 
B – CƠNG THỨC CƠ BẢN 
I. TAM GIÁC 
1. Tam giác thường: 
① 
1 1
. . .sin
2 2 4ABC
abc
S BC AH AB AC A pr
R
    
( )( )( )p p a p b p c    
② 
1
2ABM ACM ABC
S S S    
③ 
2
3
AG AM (G là trọng tâm) 
④ Độ dài trung tuyến:
2 2 2
2
2 4
AB AC BC
AM

  
⑤ Định lí hàm số cosin: 2 2 2 2 . .cosBC AB AC AB AC A   
⑥ Định lí hàm số sin: 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
   
2. Tam giác đều ABC cạnh a, G là trọng tâm: 
① 
 2 23 3
4 4ABC
canh a
S   
② 
3 3
2 2
canh a
AH

  
③ 
2 3
3 3
a
AG AH  
3. Tam giác ABC vuơng tại A: 
① 
1 1
. .
2 2ABC
S AB AC AH BC   
② 2 2 2BC AB AC  
③ 2 .BA BH BC 
④ 2 .CA CH CB 
⑤ 2 .HA HB HC ⑥ . .AH BC AB AC 
A
B H C
G
M
a
A
B CH
A
B H CM
Lý thuyết HKG 11-12 4 
⑦ 
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
  ⑧ 
2
2
HB AB
HC AC
 ⑨ 
1
2
AM BC 
⑩ sin
AC
B
BC
 ⑪ cos
AB
B
BC
 ⑫ tan
AC
B
AB
 ⑬ cot
AB
B
AC
 
4. Tam giác ABC vuơng cân tại A 
① 2 2BC AB AC  
② 
2
BC
AB AC  
II. TỨ GIÁC 
1. Hình bình hành: 
Diện tích: 
. . .sinABCDS BC AH AB AD A  
2. Hình thoi: 
 Diện tích: 
1
. . .sin
2ABCD
S AC BD AB AD A  
 Đặc biệt: khi  060ABC  hoặc  0120BAC  thì các tam giác 
ABC, ACD đều. Khi đĩ 2 2ABCD ABC ADCS S S  
3. Hình chữ nhật: 
.ABCDS AB AD 
4. Hình vuơng: 
 Diện tích: 2ABCDS AB 
 Đường chéo: 2AC AB 
5. Hình thang: 
( ).
2ABCD
AD BC AH
S

 
A B
C
A
B C
D
H
A
B
C
D
A
B C
D
A
B C
D
H
A
B C
D
Gv: Trần Quốc Nghĩa 5 
III. CÁC HÌNH TRONG KHƠNG GIAN 
1. Hình lăng trụ: 
① Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy.Chiều cao 
② Diện tích xung quanh: Sxq = Tổng diện tích các mặt bên 
③ Diện tích tồn phần: Stp = Sxq + S2đáy. 
2. Hình chĩp: 
① Thể tích khối chĩp: V = 
1
3
Sđáy.Chiều cao 
② Diện tích xung quanh: Sxq = Tổng diện tích các mặt bên 
③ Diện tích tồn phần: Stp = Sxq + Sđáy. 
3. Hình trụ: 
① Diện tích xung quanh: xqS = 2 R.h 
② Diện tích tồn phần: tp xqS = S + 2Sđáy 
③ Thể tích của khối trụ : 2V = R .h 
4. Hình nĩn: 
① Diện tích xung quanh: xqS = R. l 
② Diện tích tồn phần: tp xqS = S + Sđáy 
③ Thể tích của khối nĩn: 2
1 1
V = S.h = R .h
3 3
 
5. Hình cầu: 
① Thể tích khối cầu: 3
4
V = R
3
 
② Diện tích mặt cầu: 2S = 4 R 
I
R
l
O
O
O'
A
O
B
Lý thuyết HKG 11-12 6 
C - VÀI HÌNH THƯỜNG GẶP 
HÌNH 1 
Hình chĩp S.ABCD, cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật 
(hoặc hình vuơng) và SA vuơng gĩc với đáy 
H1.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chĩp 
1. Đáy: ABCD là hình vuơng hoặc hình chữ nhật 
2. Đường cao: SA 
3. Cạnh bên: SA, SB, SC, SD 
4. Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA 
5. Mặt bên: SAB là tam giác vuơng tại A. 
SBC là tam giác vuơng tại B. 
SCD là tam giác vuơng tại D. 
SAD là tam giác vuơng tại A. 
H1.2 - Gĩc giữa cạnh bên và đáy 
1. Gĩc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABCD) bằng : 
Ta cĩ: SA  (ABCD) (gt) 
 Hình chiếu của SB lên (ABCD) là AB 
     SB,(ABCD) SB, AB SBA    
2. Gĩc giữa cạnh bên SD và mặt đáy (ABCD) bằng : 
Ta cĩ: SA  (ABCD) (gt) 
 Hình chiếu của SD lên (ABCD) là AD 
     SD,(ABCD) SD, AD SDA    
3. Gĩc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD) bằng : 
Ta cĩ: SA  (ABCD) (gt) 
 Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC 
     SC,(ABCD) SC, AC SCA    
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S

B
A
C
D
S

B
A
C
D
S

Gv: Trần Quốc Nghĩa 7 
H1.3 - Gĩc giữa cạnh bên và mặt bên: 
1. Gĩc giữa cạnh bên SB và mặt bên (SAD) bằng : 
Ta cĩ: AB  (SAD) 
 Hình chiếu của SB lên (SAD) là SA 
     SB,(SAD) SB,SA BSA    
2. Gĩc giữa cạnh bên SD và mặt bên (SAB) bằng : 
Ta cĩ: AD  (SAB) 
 Hình chiếu của SD lên (SAB) là SA 
     SD,(SAB) SD,SA DSA    
3. Gĩc giữa cạnh bên SC và mặt bên (SAB) bằng : 
Ta cĩ: BC  (SAB) 
 Hình chiếu của SC lên (SAB) là SB 
     SC,(SAB) SC,SB BSC    
4. Gĩc giữa cạnh bên SC và mặt bên (SAD) bằng : 
Ta cĩ: DC  (SAD) 
 Hình chiếu của SC lên (SAD) là SD 
     SC,(SAD) SC,SD DSC    
B
A
C
D
S

B
A
C
D
S

B
A
C
D
S

B
A
C
D
S

Lý thuyết HKG 11-12 8 
H1.4 - Gĩc giữa mặt bên và mặt đáy: 
1. Gĩc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD) bằng : 
Ta cĩ: BC  AB tại B (?) 
 BC  SB tại B (?) 
 (SBC)  (ABCD) = BC 
     (SBC), (ABCD) AB,SB SBA    
2. Gĩc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) bằng : 
Ta cĩ: CD  AD tại D (?), 
 CD  SD tại D (?) 
 (SCD)  (ABCD) = CD 
     (SCD), (ABCD) AD,SD SDA    
3. Gĩc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD) bằng : 
 Đáy ABCD là hình chữ nhật: 
Trong (ABCD), vẽ AH  BD tại H 
 BD  SH (?) 
  (SBD), (ABCD) 
   AH,SH SHA    
 Chú ý: Nếu AB < AD thì điểm H ở gần B hơn 
 Nếu AB > AD thì điểm H ở gần D hơn 
 Đáy ABCD là hình vuơng: 
Gọi O = AC  BD 
 AO  BD (?) 
 BD  SO (?) 
     (SBD), (ABCD) SO, AO SOA    
B
A
C
D
S

B
A
C
D
S

B
A
C
D
S

H
B
A
C
D
S

O
Gv: Trần Quốc Nghĩa 9 
H1.5 – Khoảng cách “điểm – mặt” 
1. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) 
Trong mp(SAD), vẽ AH  SD tại H 
 AH  (SCD) (?) 
 d[A,(SCD)] = AH 
2. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) 
Vì AB // (SCD) (?) nên d[B,(SCD)] = d[A,(SCD)] (xem dạng 1) 
3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 
Trong mp(SAB), vẽ AH  SB tại H 
 AH  (SBC) (?) 
 d[A,(SBC)] = AH 
4. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) 
Vì AD // (SBC) (?) nên d[D,(SBC)] = d[A,(SBC)] (xem dạng 3) 
5. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 
 Đáy ABCD là hình chữ nhật: 
 Trong (ABCD), vẽ AI  BD tại I 
 BD  (SAI) (?) 
 Trong (SAI), vẽ AH  SI tại H 
 AH  (SBD) (?) 
 d[A, (SBD)] = AH 
 Chú ý: Nếu AB < AD thì điểm I ở gần B hơn 
 Nếu AB > AD thì điểm I ở gần D hơn 
 Đáy ABCD là hình vuơng: 
 Gọi O = AC  BD 
 AO  BD (?) 
 BD  (SAO) (?) 
 Trong (SAO), vẽ AH  SO tại H 
 AH  (SBD) (?) 
 d[A, (SBD)] = AH 
6. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) 
Vì O là trung điểm của AC nên d[C,(SBD)] = d[A,(SBD)] 
B
A
C
D
S
H
B
A
C
D
S
H
B
A
C
D
S
I
H
B
A
C
D
S
O
H
Lý thuyết HKG 11-12 10 
HÌNH 2 
Hình chĩp S.ABCD, cĩ đáy ABCD là hình thang 
vuơng tại A và B và SA vuơng gĩc với đáy 
H2.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chĩp 
1. Đáy: Hình thang ABCD vuơng tại A và B 
2. Đường cao: SA 
3. Cạnh bên: SA, SB, SC, SD 
4. Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA 
5. Mặt bên: SAB là tam giác vuơng tại A. 
SBC là tam giác vuơng tại B. 
SAD là tam giác vuơng tại A. 
 Chú ý: Nếu AB = BC và AD = 2BC thì AC  CD 
 CD  (SAC)  SCD vuơng tại C 
H2.2 - Gĩc giữa cạnh bên SB và đáy 
1. Gĩc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABCD): 
Ta cĩ: SA  ABCD (gt) 
 Hình chiếu của SB lên (ABCD) là AB 
     SB,(ABCD) SB, AB SBA  
2. Gĩc giữa cạnh bên SD và mặt đáy (ABCD): 
Ta cĩ: SA  ABCD (gt) 
 Hình chiếu của SD lên (ABCD) là AD 
     SD,(ABCD) SD,AD SDA  
3. Gĩc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD): 
Ta cĩ: SA  ABCD (gt) 
 Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC 
     SC,(ABCD) SC, AC SCA  
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
Gv: Trần Quốc Nghĩa 11 
H2.3 - Gĩc giữa mặt bên và mặt đáy: 
1. Gĩc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD): 
Ta cĩ: BC  AB tại B (?) 
 BC  SB tại B (?) 
 (SBC)  (ABCD) = BC 
     (SBC), (ABCD) AB,SB SBA  
2. Gĩc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD): 
Trong (ABCD), vẽ AM  CD tại M 
 SM  CD tại M (?) 
Mà (SCD)  (ABCD) = CD 
     (SCD), (ABCD) AM,SM SMA    
 Chú ý: Nếu AB = BC và AD = 2BC thì AC  CD. Do đĩ M  C. 
H2.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” 
1. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 
Trong mp(SAB), vẽ AH  SB tại H 
 AH  (SBC) (?) 
 d[A,(SBC)] = AH 
2. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) 
Vì AD // (SBC) (?) nên d[D,(SBC)] = d[A,(SBC)] (xem dạng 3) 
3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) 
 Trong (ABCD), vẽ AM  CD tại M 
 CD  (SAM) (?) 
 Trong (SAM), vẽ AH  SM tại H 
 AH  (SCD) (?) 
 D[A,(SCD)] = AH 
 Chú ý: Nếu AB = BC và AD = 2BC thì AC  CD. Do đĩ M  C. 
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
M
B
A
C
D
S
H
B
A
C
D
S
M
H
Lý thuyết HKG 11-12 12 
HÌNH 3 
Hình chĩp tứ giác đều S.ABCD 
H3.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chĩp 
1. Đáy: ABCD là hình vuơng 
2. Đường cao: SO 
3. Cạnh bên: SA = SB = SC = SD 
4. Cạnh đáy: AB = BC = CD = DA 
5. Mặt bên: SAB, SBC, SCD, SAD 
là các tam giác cân tại S và bằng nhau. 
Gọi O là tâm hình vuơng ABCD  SO  (ABCD) 
H3.2 - Gĩc giữa cạnh bên và đáy 
1. Gĩc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD): 
Ta cĩ: SO  (ABCD) (?) 
 Hình chiếu của SA lên (ABCD) là AO 
     SA,(ABCD) SA, AO SAO  
2. Gĩc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABCD): 
Tương tự  SB,(ABCD) 
  SB, BO SBO  
3. Gĩc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD): 
Tương tự     SC,(ABCD) SC,CO SCO  
4. Gĩc giữa cạnh bên SD và mặt đáy (ABCD): 
Tương tự     SD,(ABCD) SD,DO SDO  
 Chú ý:      SAO SBO SCO SDO 
 “Gĩc giữa các cạnh bên với mặt đáy bằng nhau” 
B
A
C
D
S
O
B
A
C
D
S
O
Gv: Trần Quốc Nghĩa 13 
H3.3 - Gĩc giữa mặt bên và mặt đáy: 
1. Gĩc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (ABCD): 
Ta cĩ: OM  AB tại M (?) 
  AB  SM tại M (?) 
Mà (SAB)  (ABCD) = AB 
     (SAB), (ABCD) OM,SM SMO  
2. Gĩc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD): 
Ta cĩ: ON  BC tại N (?) 
  BC  SN tại N (?) 
Mà (SBC)  (ABCD) = BC 
     (SBC), (ABCD) ON,SN SNO  
3. Gĩc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD): 
Ta cĩ: OP  CD tại P (?) 
  CD  SP tại P (?) 
Mà (SCD)  (ABCD) = CD 
     (SCD), (ABCD) OP,SP SPO  
4. Gĩc giữa mặt bên (SAD) và mặt đáy (ABCD): 
Ta cĩ: OQ  AD tại Q (?) 
  AD  SQ tại Q (?) 
Mà (SAD)  (ABCD) = AD 
     (SAD), (ABCD) OQ,SQ SQO  
 Chú ý:      SMO SNO SPO SQO 
 “Gĩc giữa các mặt bên với mặt đáy bằng nhau” 
B
A
C
D
S
O
M
B
A
C
D
S
O
N
B
A
C
D
S
O P
B
A
C
D
S
O
Q
Lý thuyết HKG 11-12 14 
H3.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” 
1. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) 
 Trong mp(ABCD), vẽ OM  CD tại M 
 CD  (SOM) (?) 
 Trong mp(SOM), vẽ OH  SM tại H 
 d[O,(SCD)] = OH 
2. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) 
Vì O là trung điểm của AC nên d[A,(SCD)] = 2d[O,(SCD)] 
3. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) 
Vì O là trung điểm của BD nên d[B,(SCD)] = 2d[O,(SCD)] 
B
A
C
D
S
O M
H
Gv: Trần Quốc Nghĩa 15 
HÌNH 4 
Hình chĩp S.ABC, SA vuơng gĩc với đáy 
H4.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chĩp 
1. Đáy: tam giác ABC 
2. Đường cao: SA 
3. Cạnh bên: SA, SB, SC 
4. Cạnh đáy: AB, BC, CA 
5. Mặt bên: SAB là tam giác vuơng tại A. 
SAC là tam giác vuơng tại A. 
 Chú ý: Nếu ABC vuơng tại B thì SBC vuơng tại B 
 Nếu ABC vuơng tại C thì SBC vuơng tại C 
H4.2 - Gĩc giữa cạnh bên và đáy 
1. Gĩc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC): 
Ta cĩ: SA  (ABC) (gt) 
 Hình chiếu của SB lên (ABC) là AB 
     SB,(ABC) SB, AB SBA  
2. Gĩc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABC): 
Ta cĩ: SA  (ABC) (gt) 
 Hình chiếu của SC lên (ABC) là AC 
     SC,(ABC) SC,AC SCA  
A
B
C
S
A
B
C
S
Lý thuyết HKG 11-12 16 
H4.3 - Gĩc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC): 
1. Tam giác ABC vuơng tại B 
Ta cĩ: BC  AB tại B (?) 
 BC  SB tại B (?) 
 (SBC)  (ABC) = BC 
     (SBC), (ABC) AB,SB SBA  
2. Tam giác ABC vuơng tại C 
Ta cĩ: BC  AC tại C (?) 
 BC  SC tại C (?) 
 (SBC)  (ABC) = BC 
     (SBC), (ABC) AC,SC SCA  
3. Tam giác ABC vuơng tại A 
Trong (ABC), vẽ AM  BC tại M (?) 
  BC  SM tại M(?) 
 (SBC)  (ABC) = BC 
     (SBC), (ABC) AM,SM SMA  
 Chú ý:  M khơng là trung điểm BC 
 Nếu  ABC ACB thì M ở trên đoạn BC và gần B hơn 
 Nếu  ABC ACB thì M ở trên đoạn BC và gần C hơn 
 Nếu AB > AC thì M ở trên đoạn BC và gần C hơn 
 Nếu AB < AC thì M ở trên đoạn BC và gần B hơn 
A
B
C
S
A
B
C
S
A
B
C
S
M
Gv: Trần Quốc Nghĩa 17 
4. Tam giác ABC cân tại A (hoặc đều) 
Gọi M là trung điểm BC 
 BC  AM tại M (?) 
 BC  SM tại M (?) 
Mà (SBC)  (ABC) = SM 
     (SBC), (ABC) AM,SM SMA  
5. Tam giác ABC cĩ   0ABC 90 
Trong (ABC), vẽ AM  BC tại M (?) 
  BC  SM tại M(?) 
 (SBC)  (ABC) = BC 
     (SBC), (ABC) AM,SM SMA  
 Chú ý: M nằm ngồi đoạn BC và ở về phía B 
6. Tam giác ABC cĩ   0ACB 90 
Trong (ABC), vẽ AM  BC tại M (?) 
  BC  SM tại M(?) 
 (SBC)  (ABC) = BC 
     (SBC), (ABC) AM,SM SMA  
 Chú ý: M nằm ngồi đoạn BC và ở về phía C 
A
B
C
S
M
A
B
C
S
M
A
B
M
S
C
Lý thuyết HKG 11-12 18 
H4.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” 
1. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) 
Trong mp(ABC), vẽ BH  AC tại H 
 BH  (SAC) (?) 
 d[B,(SAC)] = BH 
 Chú ý: 
 Nếu ABC vuơng tại A thì H  A và khi đĩ AB = d[B,(SAC)] 
 Nếu ABC vuơng tại C thì H  C và khi đĩ BC = d[B,(SAC)] 
2. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) 
Trong mp(ABC), vẽ CH  AB tại H 
 CH  (SAB) (?) 
 d[C,(SAB)] = CH 
 Chú ý: 
 Nếu ABC vuơng tại A thì H  A và khi đĩ CA = d[C,(SAB)] 
 Nếu ABC vuơng tại B thì H  C và khi đĩ CB = d[B,(SAB)] 
3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 
 Trong (ABC), vẽ AM  BC tại M (?) 
  BC  SM tại M (?) 
 Trong mp(SAM), vẽ AH  SM tại H 
 d[A,(SBC)] = AH 
 Chú ý: Tùy đặc điểm của ABC để các định đúng vị trí của điểm 
M trên đường thẳng BC. 
A
B
C
S
H
A
B
C
S
H
A
B
C
S
M
H
Gv: Trần Quốc Nghĩa 19 
HÌNH 5 
Hình chĩp tam giác đều S.ABC 
H5.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên của hình chĩp 
1. Đáy: Tam giác ABC đều 
2. Đường cao: SO 
3. Cạnh bên: SA = SB = SC = SD 
4. Cạnh đáy: AB = BC = CA 
5. Mặt bên: SAB, SBC, SCA 
là các tam giác cân tại S và bằng nhau. 
Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC  SO  (ABC) 
 Chú ý: Tứ diện đều S.ABC là hình chĩp cĩ đáy và các mặt bên là 
những tam giác đều bằng nhau. 
H5.2 - Gĩc giữa cạnh bên và đáy 
1. Gĩc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC): 
Ta cĩ: SO  (ABC) (?) 
 Hình chiếu của SA lên (ABC) là AO 
     SA,(ABC) SA, AO SAO  
2. Gĩc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC): 
Tương tự  SB,(ABC) 
  SB, BO SBO  
3. Gĩc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABC): 
Tương tự     SC,(ABC) SC,CO SCO  
 Chú ý:   SAO SBO SCO  
 “Gĩc giữa các cạnh bên với mặt đáy bằng nhau” 
B
A C
S
O
B
A C
S
O
Lý thuyết HKG 11-12 20 
H5.3 - Gĩc giữa mặt bên và mặt đáy: 
1. Gĩc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (ABC): 
Ta cĩ: OM  AB tại M (?) 
  AB  SM tại M (?) 
Mà (SAB)  (ABC) = AB 
     (SAB), (ABC) OM,SM SMO  
2. Gĩc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC): 
Ta cĩ: ON  BC tại N (?) 
  BC  SN tại N (?) 
Mà (SBC)  (ABC) = BC 
     (SBC), (ABCD) ON,SN SNO  
3. Gĩc giữa mặt bên (SAC) và mặt đáy (ABC): 
Ta cĩ: OP  AC tại P (?) 
  AC  SP tại P (?) 
Mà (SAC)  (ABC) = AC 
     (SAC), (ABC) OP,SP SPO  
 Chú ý:   SMO SNO SPO  
 “Gĩc giữa các mặt bên với mặt đáy bằng nhau” 
B
A C
S
O
M
B
A C
S
O
N
B
A C
S
O
P
Gv: Trần Quốc Nghĩa 21 
H5.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” 
1. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) 
 Trong mp(ABC), vẽ OM  AB tại M 
 AB  (SOM) (?) 
 Trong mp(SOM), vẽ OH  SM tại H 
 d[O,(SAB)] = OH 
2. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) 
Vì O là trọng tâm của ABC nên 
MC
3
MO
 
 d[C,(SAB)] = 
MC
MO
  d[O,(SAB)] = 3 d[O,(SAB)] 
B
A C
S
O
M
H
Lý thuyết HKG 11-12 22 
HÌNH 6a 
Hình chĩp S.ABC cĩ một mặt bên (SAB) 
vuơng gĩc với đáy (ABCD) 
“Luơn luơn vẽ SH vuơng gĩc với giao tuyến” 
H6a.1 - Gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy 
 Vẽ SH  AB tại H 
 Vì (SAB)  (ABC) nên SH  (ABC) 
 Chú ý: Tùy đặc điểm của tam giác SAB để 
xác định đúng vị trí của điểm H trên 
đường thẳng AB. 
1. Gĩc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC): 
Ta cĩ: SH  (ABC) (?) 
 Hình chiếu của SA lên (ABC) là AH 
     SA,(ABC) SA,AH SAH  
2. Gĩc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC): 
Ta cĩ: SH  (ABC) (?) 
 Hình chiếu của SB lên (ABC) là BH 
  SB,(ABC)   SB,BH SBH  
3. Gĩc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABC): 
Ta cĩ: SH  (ABC) (?) 
 Hình chiếu của SC lên (ABC) là CH 
    SC,(ABC) SC,CH SCH  
B
A C
S
H
B
A C
S
H
Gv: Trần Quốc Nghĩa 23 
H6a.2 - Gĩc giữa mặt bên và mặt đáy: 
 Vẽ SH  AB tại H 
 Vì (SAB)  (ABC) nên SH  (ABC) 
 Chú ý: Tùy đặc điểm của tam giác SAB để 
xác định đúng vị trí của điểm H trên 
đường thẳng AB. 
1. Gĩc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (ABC): 
Vì (SAB)  (ABC) 
nên   0(SAB), (ABC) 90 
2. Gĩc giữa mặt bên (SAC) và mặt đáy (ABC): 
Vẽ HM  AC tại M 
Ta cĩ: 
HM AC
SH AC
 

 
AC (SHM)  , mà SM  (SHM) 
 SM  AC 
     (SBC), (ABC) HM,SM SMH  
3. Gĩc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC): 
Vẽ HN  BC tại N 
Ta cĩ: 
HN BC
SH BC
 

 
BC (SHN)  , mà SN  (SHN) 
 SN  AB 
     (SBC), (ABC) HN,SN SNH  
B
A C
S
H
B
A C
S
H
M
B
A C
S
H
N
Lý thuyết HKG 11-12 24 
HÌNH 6b 
Hình chĩp S.ABCD cĩ một mặt bên (SAB) vuơng 
gĩc với đáy (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật 
hoặc hình vuơng 
“Luơn luơn vẽ SH vuơng gĩc với giao tuyến” 
H6b.1 - Gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy 
 Vẽ SH  AB tại H 
 Vì (SAB)  (ABCD) nên SH  (ABCD) 
 Chú ý: Tùy đặc điểm của tam giác SAB để 
xác định đúng vị trí của điểm H trên 
đường thẳng AB. 
1. Gĩc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD): 
Ta cĩ: SH  (ABCD) (?) 
 Hình chiếu của SA lên (ABC) là AH 
     SA,(ABCD) SA, AH S