Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử

BÀI TẬP PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
 Bài tâp ví dụ
Bài tâp 1: Phân tích đa thức sau thành tich 3x2 – 8x + 4
*Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
* Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) 
= (x – 2)(3x – 2)
Bài tâp 2: Phân tích đa thức sau thành tich x3 – x2 – 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có, thì x = , chỉ có f(2) = 0 
nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
* Cách 1: 
x3 – x2 – 4 = 
 = 
Cách 2:
 = 
Bài tâp 3: Phân tích f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 thành tich 
Nhận xét: không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. 
Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 
 = 
Vì 
với mọi x nên không phân tích được thành nhân tử nữa
Bài tâp 4: Phân tích đa thức sau thành tich A = x3 + 5x2 + 8x + 4 
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức A có một nhân tử là x + 1
 A = x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) 
 = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
 = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Bài tâp 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:
f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa
Bài tâp 6: 
B = x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
B = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
B = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Bài tâp 7:
C = x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II. PHƯƠNG PHÁP THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
Bài tâp 8 : 
f(x) = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 
 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x) 
 = (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9) 
Bài tâp 9: 
f(x) = x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4 
 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
 = (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 
 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Bài tâp10 : 
f(x) = x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) 
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Bài tâp 11: 
f(x) = x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) 
 = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) 
 = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) 
 = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] 
 = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) 
Ghi nhớ: 
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ;  đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN PHỤ:
Bài tâp 12 : 
f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
 f(x) = (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
 = ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Bài tâp 13: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x 0 ta viết 
A= x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – ) 
 = x2 [(x2 + ) + 6(x - ) + 7 ]
Đặt x - = y thì x2 + = y2 + 2, do đó
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 
= [x(x - )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
 = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 
Bài tâp 14: A = 
 A = 
Đặt = a, xy + yz + zx = b à ta có 
 A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
 = ( x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2
Bài tâp 15: 
B = 
 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại có: a – b2 = - 2() và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;
B = - 4() + 4 (xy + yz + zx)2 
 è 
Bài tâp 16 : C = 
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + ). Ta có:
C = (m + c)3 – 4. 
= 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] 
= 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Bài tâp 17 : A = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
Xét bd = 3 với b, d Z, b với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành
Vậy: A= x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 
Bài tâp 18: B = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức B có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
B = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) 
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c 
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) 
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 
 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
è Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Bài tâp 19: 
C = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
 = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 
 C = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
 PHH sưu tầm 11/2015