Bài tập Phân thức đại số

 1 
Phiếu 6: Phân thức đại số 
I. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
VẤN ĐỀ I. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa 
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 a) 
169
4
2
2


x
x
 b) 
44
12
2 

xx
x
 c) 
1
4
2
2


x
x
 d) 
xx
x


22
35
 e) 
x x
x
2
2
5 6
1
 

 f) 
x x
2
( 1)( 3) 
 g) 
x
x x
2
2 1
5 6

 
Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 a) 
x y
2 2
1

 b) 
x y x
x x
2
2
2
2 1

 
 c) 
x y
x x
2
5
6 10

 
 d) 
x y
x y
2 2
( 3) ( 2)

  
VẤN ĐỀ II. Tìm điều kiện để phân thức bằng 0 
Bài 3. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: 
 a) 
x
x
2 1
5 10


 b) 
x x
x
2
2

 c) 
x
x
2 3
4 5


 d) 
x x
x x
2
( 1)( 2)
4 3
 
 
 e) 
x x
x x
2
( 1)( 2)
4 3
 
 
 f) 
x
x x
2
2
1
2 1

 
Bài 4. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: 
 a) 
x
x x
2
2
4
3 10

 
 b) 
x x
x x x
3
3 2
16
3 4

 
 c) 
x x x
x x
3 2
3
1
2 3
  
 
VẤN ĐỀ III. Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa 
Bài 5. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: 
 2 
 a) 
x
2
3
1
 b) 
x
x
2
3 5
( 1) 2

 
 c) 
x
x x
2
5 1
2 4

 
 d) 
x
x x
2
2
4
4 5

  
 e) 
x
x x
2
5
7

 
Bài 6. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: 
 a) 
x y
x y
2 2
2 1

 
 b) 
x y x
2 2
4
2 2  
II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
VẤN ĐỀ I. Phân thức bằng nhau 
Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) 
y xy
x
x
3 6
( 0)
4 8
  b) 
x x
y
y y
2 2
3 3
( 0)
2 2

 

 c) 
x y
x y
y x
2( ) 2
( )
3( ) 3
 
 

 d) 
xy xy
a y
a ay
2
2 8
( 0, 0)
3 12
   e) 
x x
y
y y
1 1
( 2)
2 2
 
 
 
 f) 
a a
b
b b
2 2
( 0)
5 5

 

Bài 8. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) 
x x
x
x x x x
3 3
2
2 2
( 0)
( 2 4)
 
 
  
 b) 
x x(x y
x y
x y y x
2 2
3 3 )
( )
 
  
 
 c) 
x y a x y
a x y
a a x y
2
2
3 ( )
( 0, )
3 9 ( )
 
   

Bài 9. Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau: 
 a) 
x
x x
2
2
5 6

 
 và 
x
1
3
Bài 10. Cho hai phân thức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: 
i) x N ii) x Z iii) x Q 
 a) 
x x
A
x
(2 1)( 2)
3(2 1)
 


, 
x
B
2
3

 
Bài 11. Cho ba phân thức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp 
sau: 
i) x N ii) x Z iii) x Q 
 3 
 a) 
x
A
1
5

 , 
x x
B
x
( 1)( 2)
5( 2)
 


, 
x x
C
x
( 1)(3 2)
5(3 2)
 


VẤN ĐỀ II. Rút gọn phân thức 
Bài 12. Rút gọn các phân thức sau: 
 a) 
x5
10
 b) 
xy
y
y
4
( 0)
2
 c) 
x y
xy
xy
2 3
21
( 0)
6
 
 d) 
x y2 2
4

 e) 
x y
x y
x y
5 5
( )
3 3



 f) 
x x y
x y
y x
15 ( )
( )
3( )
 


Bài 13. Rút gọn các phân thức sau: 
 a) 
x
x x
x x
2
2
16
( 0, 4)
4

 

 b) 
x x
x
x
2
4 3
( 3)
2 6
 
 

 c) 
x x y
y x y
y x y
3
2
15 ( )
( ( ) 0)
5 ( )

  

 d) 
x y y x
x y
x y
5( ) 3( )
( )
10( )
  


 e) 
x y x y
x y
x y x y
2 2 5 5
( )
2 2 5 5
  
 
  
f) 
x xy
x y y
xy y
2
2
( , 0)
3 3

 

 g) 
ax ax a
b x
b bx
2
2
2 4 2
( 0, 1)
5 5
 
  

 h) 
x xy
x x y
x x y
2
3 2
4 4
( 0, )
5 5

 

 i) 
x y z
x y z
x y z
2 2
( )
( 0)
 
  
 
 k) 
x x y y
x x y
x xy
6 3 3 6
7 6
2
( 0, )
 
  

Bài 14. Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: 
 a) 
x x x
A
x x x
2 2
3
(2 2 )( 2)
( 4 )( 1)
 

 
 với x
1
2
 b) 
x x y xy
B
x y
3 2 2
3 3
 


 với x y5, 10   
Bài 15. Rút gọn các phân thức sau: 
 a) 
a b c
a b c
2 2
( ) 
 
 b) 
a b c ab
a b c ac
2 2 2
2 2 2
2
2
  
  
 c) 
x x x
x x x
3 2
3 2
2 7 12 45
3 19 33 9
  
  
Bài 16. Rút gọn các phân thức sau: 
 a) 
a b c abc
a b c ab bc ca
3 3 3
2 2 2
3  
    
 b) 
x y z xyz
x y y z z x
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
  
    
 4 
 c) 
x y z xyz
x y y z z x
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
  
    
 d) 
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
2 2 2
4 2 2 4 2 2 4 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
    
    
 e) 
a b c b c a c a b
ab ac b bc
2 2 2
2 2 3 2
( ) ( ) ( )    
  
 f) 
x x x x
x x x x
24 20 16 4
26 24 22 2
... 1
... 1
    
    
Bài 17. Tìm giá trị của biến x để: 
 a) P
x x
2
1
2 6

 
 đạt giá trị lớn nhất ĐS: 
P khi x
1
max 1
5
   
 b) 
x x
Q
x x
2
2
1
2 1
 

 
 đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: Q khi x
3
min 1
4
  
Bài 18. Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y: 
 a) 
x a a a x
x a a a x
2 2 2
2 2 2
( )(1 ) 1
( )(1 ) 1
   
   
 b) 
xy x y x
x y
y x
2
3 3 2 2 9 1 1
, 1
1 3 1 3
    
   
   
 c) 
ax a axy ax ay a
x y
x y
2
( 1, 1)
1 1
   
    
 
 d) 
x a x
x a
2 2
( )
2
 

 e) 
x y
x y ay ax
2 2
( )( )

 
 f) 
ax x y ay
ax x y ay
2 2 3 3
4 6 9 6
  
  
III. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC 
VẤN ĐỀ I. Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức 
Bài 19. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của 
chúng: 
 a) 
x xy
,
16 20
 b) 
x y
1 3
,
4 6
 c) 
xy y
,
8 15
 5 
 d) 
x y
y x
,
2 2
 e) 
xy yz xz
, ,
8 12 24
 f) 
xy yz zx
z x y
, ,
2 3 4
Bài 20. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của 
chúng: 
 a) 
x
5
2 4
, 
x
4
3 9
, 
x
7
50 25
 b) 
x
a4 2
, 
y
a4 2
, 
z
a
2
4 
 c) 
a
b
2
2
, 
x
a b2 2
, 
y
a b
2 2
 d) 
x
3
2 6
, 
x
x x
2
2
6 9

 
 e) 
x x
2
1
2 1 
, 
x x
2
2
2
 f) 
x
x
4
2
1
1


, x2 1 
Bài 21. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau: 
 a) 
x
x x
2
2 7 15 
, 
x
x x
2
2
3 10

 
, 
x
1
5
 b) 
x x
2
1
3 2  
, 
x x
2
1
5 6 
, 
x x
2
1
4 3  
 c) 
x
3
3
1
, 
x
x x
2
2
1 
, 
x
x 1
 d) 
x
x xy y z
2 2 2
2  
, 
y
x yz y z
2 2 2
2  
, 
z
x xz y z
2 2 2
2  
VẤN ĐỀ II. Thực hiện các phép toán trên phân thức 
Bài 22. Thực hiện phép tính: 
 a) 
x x5 1
5 5
 
 b) 
x y y2
8 8

 c) 
x x x
xy xy
2
1 4 
 
 d) 
xy x y xy x y
xy xy
2 2 2 2
5 4
3 3
 
 e) 
x x x
a b a b a b
1 1 3  
 
  
 f) 
2 3 2 3
5 4 3 4
2 2
 

xy y xy y
x y x y
 g) 
x xy xy y y x
x y y x x y
2 2 2 2
2 2  
 
  
Bài 23. Thực hiện phép tính: 
 a) 
x x2 4 2
10 15
 
 b) 
x x x3 2 1 2
10 15 20
 
  c) 
x x
x x
2
2
1 3
2 2 2 2
 

 
 6 
 d) 
242
1
12
2
2
21
xxx
x
x
x





 e) 
x x y
xy y xy x
2 2
2 

 
 f) 
x
x xx x
2
2
6 1
6 3 24
 
 
 g) 
x xy y x x y
xy y x
2
2 10 5 2
2
  
  h) 
x
x y x y x y
2 2
2 1 3
 
  
 i) 
x y
x y
x y
2 2
 

Bài 24. Thực hiện phép tính: 
 a) 
2 2 2 2
2 4
2 2 4
x y
x xy xy y x y
 
  
 b) 
xy x y
x y y x x xy y
3 3 2 2
1 3 
 
   
 c) 
x y x x y
x xy y x x xy
2 2 2 2
2 16 2
2 4 2
 
 
  
 d) 
x x x x x x
2 4 8 16
1 1 2 4 8 16
1 1 1 1 1 1
    
     
Bài 25. Thực hiện phép tính: 
a) 
x x1 3 3
2 2
 
 b) 
x y x y y
x x
2
2( )( ) 2  
 c) 
x x
x y x y
3 1 2 3 

 
 d) 
xy x
x y y x
2
1
2 2


 
 e) 
2 2
4 1 7 1
3 3
x x
x y x y
 
 
Bài 26. Thực hiện phép tính: 
 a) 
x x4 1 3 2
2 3
 
 b) 
x x
x x x x
2
3 9
3 3

 
 
 c) 
x
x x x
2 2
3 1
1


 
 d) 
x
x x x
2
1 4 10 8
3 2 3 2 9 4
 
 
  
 e) 
x
xx x x
2 2
3 2 1 2
2 2 1

 
 
 f) 
x x
x y x y
3
5 5 10 10

 
 g) 
a a a
aa a a
2
3 2
4 3 5 1 2 6
11 1
  
 
  
 h) 
x y x y
xy y
2 2
5 3 2 
 i) 
x y y
x y x xy
2 2 2
9 3
9 3


 
 k) 
12
23
1
6
12
23
222 






xx
x
xxx
x
 l) 
2
3 6
2 6 2 6
x
x x x


 
 m) 
x
x
x
4
2
2
1
1
1

 

 n) 
a a a a
2 3
5 10 15
1 ( 1) 1
 
   
 7 
Bài 27. Thực hiện phép tính: 
 a) 
x
x y
1 6
. b) 
x
xy
y
2
22
.3 c) 
2
3 2
15 2
.
7
x y
y x
 d) 
x y
x y x
2
3
2
.
5
 e) 
5 10 4 2
.
4 8 2
x x
x x
 
 
 f) 
2 36 3
.
2 10 6
x
x x

 
 g) 
x y xy
x yx y
2 2
2 2
9 3
.
2 6


 h) 
x y x y
xy y x
2 2 2
3 3 15
.
5 2 2


 i) 
a b a b
a b a ab b
3 3
2 2
2 2 6 6
.
3 3 2
 
  
Bài 28. Thực hiện phép tính: 
 a) 
x
x
2
2 5
:
3 6
 b) 
x y
x y
2 5
2 2 18
16 :
5
 
 
 
 c) 
x y
xy
3 5
225
:15
3
 d) 
x y x y
xyx y
2 2
2
:
36
 
 e) 
a ab a b
b a a b
2
2 2
:
2 2
 
 
 f) 
x y x xy
y x x y
2
2 2
:
3 3
 
 
 g) 
2
2
1 4 2 4
:
4 3
x x
x x x
 

 h) 
12
9
:
44
155
2
2




xx
x
x
x
 i) 
12
64
:
77
486
2
2




xx
x
x
x
 k) 
12
36
:
55
244
2
2




xx
x
x
x
 l) 
12
49
:
55
213
2
2




xx
x
x
x
 m) 
1
66
:
)1(
33 2
2 



x
x
x
x
Bài 29. Thực hiện phép tính: 
 a) 
2
1 2 1
: 2
1
   
     
    
x
x
x x x x
 b) 
2
2
961
106
:
13
2
31
3
xx
xx
x
x
x
x











 c) 

















 933
3
:
3
1
9
9
23 x
x
xx
x
xxx
 d) 
1 2 3
: :
2 3 1
   
 
   
x x x
x x x
Bài 30. Rút gọn các biểu thức sau: 
 a) 
x y
x y
1 1
1 1


 b) 
x x
x x
x x
x x
1
1
1
1






 c) 
x
x
x
1
1
1



 d) x
x
x
2
2
2
1
1
2
1
1





 e) 
x y
y x
x y x y
x y x y

 

 
 f) 
a x x
a a x
a x x
a a x






 8 
Bài 31. Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị 
nguyên: 
 a) 
x x
x
3 2
2
1
 

 b) 
x x
x
3 2
2 4
2
 

 c) 
x x x
x
3 2
2 2 2
2 1
  

 d) 
x x x
x
3 2
3 7 11 1
3 1
  

 e) 
x
x x x x
4
4 3 2
16
4 8 16 16

   
Bài 32. * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các 
nhị thức bậc nhất: 
 a) 
x
x x
2
2 1
5 6

 
 b) 
x x
x x x
2
2 6
( 1)( 2)( 4)
 
  
 c) 
x x
x x x
2
3 3 12
( 1)( 2)
 
 
Bài 33. * Tìm các số A, B, C để có: 
 a) 
x x A B C
xx x x
2
3 3 2
2
1( 1) ( 1) ( 1)
 
  
  
 b) 
x x A Bx C
xx x x
2
2 2
2 1
1( 1)( 1) 1
  
 
  
Bài 34. * Tính các tổng: 
 a) 
a b c
A
a b a c b a b c c a c b( )( ) ( )( ) ( )( )
  
     
 b) 
a b c
B
a b a c b a b c c a c b
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
  
     
Bài 35. * Tính các tổng: 
 a) A
n n
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 ( 1)
    

 HD: 
k k k k
1 1 1
( 1) 1
 
 
 b) B
n n n
1 1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
    
 
 HD: 
k k k k k k
1 1 1 1 1
( 1)( 2) 2 2 1
 
   
    
Bài 36. * Chứng minh rằng với mọi m N , ta có: 
 a) 
m m m m
4 1 1
4 2 1 ( 1)(2 1)
 
   
 b) 
m m m m m m
4 1 1 1
4 3 2 ( 1)( 2) ( 1)(4 3)
  
     
 c) 
m m m m m m
4 1 1 1
8 5 2( 1) 2( 1)(3 2) 2(3 2)(8 5)
  
     
 9 
 d) 
m m m m m
4 1 1 1
3 2 1 3 2 ( 1)(3 2)
  
    
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II 
Bài 37. Thực hiện phép tính: 
 a) 
xx x x
2 2 2
8 2 1
1( 3)( 1) 3
 
  
 b) 
x y x y y
x y x y x y
2
2 2
2
2( ) 2( )
 
 
  
 c) 
x x
x x x x x x
3 3 2 3 2
1 1 3
2
 
 
  
 d) 
xy x a y a x b y b
ab a a b b a b
( )( ) ( )( )
( ) ( )
   
 
 
 e) 
x x
x x x x
3 2
1 1
1 1 1 1
  
   
 f) 
x x x
x xx
3 2
2
2 20 5 3
2 24
  
 
 
 g) 
x y x y x y xy
x y x y xy x y
2 2
2 2
. 1 .
2
    
   
     
 h) 
a b b c b c c a c a a b
1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
 
     
 i) 
a b c a b c
a b c a c ac b
2 2
2 2 2
( ) ( )
( )( 2 )
     
    
 k) 
x y x y x y
xy x y y x x
2 2 2 2
1
:
   
   
   
Bài 38. Rút gọn các phân thức: 
 a) 
x x
x
2
2
25 20 4
25 4
 

 b) 
x xy y
x y
2 2
3 3
5 10 5
3 3
 

 c) 
x
x x x
2
3 2
1
1

  
 d) 
x x x
x
3 2
4
4 4
16
  

 e) 
x x x x
x
4 3 2
2 2
4 20 13 30 9
(4 1)
   

Bài 39. Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức: 
 a) 
a b c ab
a b c ac
2 2 2
2 2 2
2
2
  
  
 với a b c4, 5, 6    b) 
x xy
x xy
2
2
16 40
8 24


 với 
x
y
10
3
 
 c) 
x xy y x xy y
x y x y
x
x y
x y
2 2 2 2
2
   

 
 

 với x y9, 10  
Bài 40. Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức 
với bậc của tử thức nhỏ hơn bậc chủa mẫu thức: 
 10 
 a) 
x
x
2
2
3
1


 b) 
x
x
2
2
1
1


 c) 
x x x x
x
4 3 2
2
4 5
1
   

 d) 
x x x
x
5 4
2 3
1
  

Bài 41. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên: 
 a) 
x
1
2
 b) 
x
1
2 3


 c) 
x x
x
3 2
2
1
 

 d) 
x x
x
3 2
2 4
2
 

Bài 42. Cho biểu thức: 
x x
P
x x
2
3 3
( 1)(2 6)


 
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Tìm giá trị của x để P 1 . 
Bài 43. Cho biểu thức: 
x
P
x xx x
2
2 5 1
3 26

  
  
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 c) Tìm x để P
3
4

 . 
 d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P cũng có giá trị nguyên. 
 e) Tính giá trị của biểu thức P khi x2 –9 0 . 
Bài 44. Cho biểu thức: 
a a
P
a a a
2
2 2
( 3) 6 18
1
2 6 9
  
   
  
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 c) Với giá trị nào của a thì P = 0; P = 1. 
Bài 45. Cho biểu thức: 
x x
P
x x
2
2
1
2 2 2 2

 
 
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 c) Tìm giá trị của x để P
1
2
  . 
Bài 46. Cho biểu thức: 
x x x x
P
x x x x
2
2 5 50 5
2 10 2 ( 5)
  
  
 
. 
 11 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Tìm giá trị của x để P = 1; P = –3. 
Bài 47. Cho biểu thức: 
x
P
x x x x
2 3 6 5
2 3 2 1 (2 3)(2 3)

  
   
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 c) Tìm giá trị của x để P = –1. 
Bài 48. Cho biểu thức: 
x
P
x x x x
1 2 2 10
5 5 ( 5)( 5)

  
   
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 c) Cho P = –3. Tính giá trị của biểu thức Q x x29 –42 49  . 
Bài 49. Cho biểu thức: P
x x x
2
3 1 18
3 3 9
  
  
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 c) Tìm giá trị của x để P = 4. 
Bài 50. Cho biểu thức: 
x x x
P
x x x x
2
2
2 10 50 5
5 25 5
 
  
 
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 c) Tìm giá trị của x để P = –4. 
Bài 51. Cho biểu thức: 
x x
P
x
2
3
3 6 12
8
 


 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 c) Tính giá trị của P với x
4001
2000
 . 
Bài 52. Cho biểu thức: 
x x x x
P
x xx x x
2
3 2
1 1 2 1
. :
1 11 2 1
   
  
     
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 12 
 c) Tính giá trị của P khi x
1
2
 . 
Bài 53. Cho biểu thức: 
x x x x
P
x x x x
2
2 5 50 5
2 10 2 ( 5)
  
  
 
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 c) Tìm giá trị của x để P = 0; P = 
1
4
. 
 d) Tìm giá trị của x để P > 0; P < 0. 
Bài 54. Cho biểu thức: 
x x x
P
x xx
2
2
1 3 3 4 4
.
2 2 2 2 51
   
   
  
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của 
biến x? 
Bài 55. Cho biểu thức: 
x x x
P
x x x
2
2 2 2
5 2 5 2 100
.
10 10 4
   
  
   
. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Rút gọn biểu thức P. 
 c) Tính giá trị của P khi x = 20040. 
Bài 56. Cho biểu thức: 
x x
P
x x
2
2
10 25
5
 


. 
 a) Tìm điều kiện xác định của P. 
 b) Tìm giá trị của x để P = 0; P
5
2
 . 
 c) Tìm giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị nguyên.