Bài tập Nhị thức Niu-tơn Lớp 11

¦ Bài 03
NHỊ THỨC NIU – TƠN
1. Nhị thức Niu-tơn
2. Hệ quả
Với , ta cĩ 
Với , ta cĩ 
3. Chú ý
Trong biểu thức ở vế phải của khai triển 
 Số các hạng tử là 
 Các hạng tử cĩ số mũ của giảm dần từ đến ; số mũ của tăng dần từ đến , nhưng tổng các số mũ của và trong mỗi hạng tử luơn bằng (quy ước );
 Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm hệ số của trong khai triển 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ
Hệ số của ứng với hệ số cần tìm Chọn B.
Câu 2. Khai triển đa thức ta được 
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 	 
	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ 
Hệ số của ứng với 
hệ số cần tìm Chọn C.
Câu 3. Đa thức là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Nhận thấy cĩ dấu đan xen nên loại đáp án B.
Hệ số của bằng nên loại đáp án D và cịn lại hai đáp án A và C thì chỉ cĩ C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là ) Chọn C.
Câu 4. Tìm số hạng chứa trong khai triển 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ
Hệ số của ứng với số hạng cần tìm Chọn C.
Câu 5. Tìm số hạng chứa trong khai triển 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ
Hệ số của ứng với số hạng cần tìm Chọn B.
Câu 6. Tìm số hạng chứa trong khai triển 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ
Hệ số của ứng với số hạng cần tìm Chọn B.
Câu 7. Tìm số hạng khơng chứa trong khai triển 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ
Số hạng khơng chứa ứng với 
 số hạng cần tìm Chọn A.
Câu 8. Tìm số hạng khơng chứa trong khai triển 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ
Số hạng khơng chứa ứng với 
 số hạng cần tìm Chọn A.
Câu 9. Tìm số hạng chứa trong khai triển 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ
Hệ số của ứng với số hạng cần tìm 
Chọn C.
Câu 10. Tìm hệ số của trong khai triển với , biết là số nguyên dương thỏa mãn .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Từ phương trình 
Với , ta cĩ 
Hệ số của ứng với hệ số cần tìm Chọn D.
Câu 11. Tìm hệ số của trong khai triển , biết là số nguyên dương thỏa mãn .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Từ phương trình 
Với , ta cĩ 
Hệ số của ứng với hệ số cần tìm Chọn A.
Câu 12. Tìm số hạng khơng chứa trong khai triển với , biết là số nguyên dương thỏa mãn .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Từ phương trình 
Với , ta cĩ 
Số hạng khơng chứa ứng với 
 số hạng cần tìm Chọn C.
Câu 13. Tìm hệ số của trong khai triển với , biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ 
Số hạng thứ ứng với , kết hợp với giả thiết ta cĩ 
Hệ số của ứng với 
 hệ số cần tìm Chọn B.
Câu 14. Tìm số tự nhiên , biết hệ số của số hạng thứ theo số mũ giảm dần của trong khai triển bằng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ 
.
 số hạng thứ theo số mũ giảm dần của là 
Yêu cầu bài tốn 
Do nên ta chọn thỏa mãn. Chọn C.
Câu 15. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển 
	A. 	B. 	
	C. 	D. ; 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ
Suy ra khai triển cĩ số hạng nên cĩ hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ (ứng với ) và số hạng thứ (ứng với ).
Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là ; . Chọn D.
Câu 16. Tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Tính tổng các hệ số trong khai triển cho 
Khi đĩ Chọn B.
Câu 17. Khai triển đa thức ta được 
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. .	B. . 
	C. .	D. .
Lời giải. Ta cĩ . 
Cho ta được 
Mặt khác 
Từ đĩ suy ra 
Mà là số hạng khơng chứa trong khai triển nên
Vậy Chọn D.
Câu 18. Tìm hệ số của trong khai triển 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ
 số hạng chứa tương ứng với .
Tương tự, ta cĩ .
 số hạng chứa tương ứng với .
Vậy hệ số của cần tìm là . Chọn C.
Câu 19. Tìm hệ số chứa trong khai triển với là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Từ phương trình 
Với , ta cĩ .
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ 
Số hạng chứa trong khai triển tương ứng với .
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển là Chọn A.
Câu 20. Tìm hệ số của trong khai triển với là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Từ phương trình 
Với , khi đĩ .
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ 
.
Số hạng chứa trong khai triển tương ứng với .
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển là . Chọn C.
Câu 21. Tìm hệ số của trong khai triển .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta cĩ
Số hạng chứa trong khai triển tương ứng với .
Kết hợp với điều kiện ta cĩ hệ .
Vậy hệ số cần tìm là Chọn C.
Câu 22. Tìm hệ số của trong khai triển 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Các biểu thức khơng chứa số hạng chứa 
Hệ số của số hạng chứa trong khai triển là 
Hệ số của số hạng chứa trong khai triển là 
Hệ số của số hạng chứa trong khai triển là 
Hệ số của số hạng chứa trong khai triển là 
Vậy hệ số của trong khai triển là . Chọn C.
Câu 23. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Lời giải. Áp dụng cơng thức , ta cĩ 
Cộng vế theo vế, ta được Chọn B.
Câu 24. Tính tổng .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của , ta cĩ
.
Cho , ta được . Chọn B.
Câu 25. Tính tổng .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của , ta cĩ
.
Cho , ta được Chọn A.
Câu 26. Tìm số nguyên dương thỏa mãn .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta cĩ . 	
Lại cĩ ; ; ; ; . 	
Từ và , suy ra 	
.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn C.
Câu 27. Tìm số nguyên dương thỏa mãn .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Xét khai triển .
Cho , ta được . 	
Cho , ta được . 	
Cộng và vế theo vế, ta được 
. Chọn A.
Câu 28. Tính tổng .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của , ta cĩ
.
Cho , ta được Chọn D.
Câu 29. Khai triển đa thức . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển trên.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của , ta cĩ
.
Suy ra .
Hệ số lớn nhất khi 
. Vậy hệ số lớn nhất là . Chọn A.
Câu 30. Khai triển đa thức . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển trên.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của , ta cĩ	
.
Suy ra .
Giả sử là hệ số lớn nhất, khi đĩ 
Vậy hệ số lớn nhất là . Chọn B.