Bài tập môn Đại số 10 chương II

BÀI TẬP ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG II
Dạng 1:TÌM TẬP XÁC ĐỊNH
y = 	
y = 	
y = 
y = 
y = 	
y = 
y = 
y = + 
y = + 
y = 
y = 
y= + 
y = 	
. 
y = 	 
y =
y = 	 
y = 
y = - 	 
y = +
y = - 	
y = 
y = 
y = 
y = 	
Dạng 2:XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA CÁC HÀM SỐ 
	Trong 
	Trên 	
	Trên 	 
y = 	Trên (0, +¥) 
y = 	Trên 
	Trong 
Dạng 3:XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA CÁC HÀM SỐ 
y = 
y =
y = x4 - 3x2 - 1 
y = 	
y = |x + 2| - |x - 2| 	 
y = 	 	
Dạng 4:HÀM BẬC NHẤT
A) Vẽ các ĐTHS sau
y = 2|x - 2|- |2x + 2|-3	
y = - |x + 1|+|x - 2|
y = |x - 2|- 2x + |x - 1|	
y = |x + 2| + |x - 2|	
B)Tìm tọa độ giao điểm
y = 2x - 3 	và 	y = 1 - x 
y = -4x + 1 	và 	y = 3x - 2
C)Tìm các hệ số a và b của hàm bậc nhất
Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của k sao cho đồ thị của hàm số 
y = -2x +k(x+1)
Đi qua điểm M(-2,3)
Song song với đường thẳng 
Vuơng gĩc với đường thẳng 
Xác định a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b biết 
a/ Đi qua 2 điểm A(-1, -20) và B(3, 8)
b/ Đi qua C(4, -3) và song song với đường thẳng y = -x + 1
c/ Đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2
d/ Đi qua E(4, 2) và vuông góc với đường thẳng y = -x + 5
e/ Đi qua M(-1, 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5
Trong mỗi trường hợp sau, xác định a và b sao cho đường thẳng y= ax+b
a)Cắt đường thẳng y = 2x +5 tại điểm có hoành độ bằng -2 và cắt đường thẳng y= -3x+4 tại điểm có tung độ bằng -2. 
b)Song song với đường thẳng và đi qua giao điểm của hai đường thẳng và y= 3x+5.
Tìm điểm A sao cho đường thẳng y=2mx+1-m luôn đi qua A, dù m lấy bất kỳ giá trị
nào.
Tìm điểm B sao cho đường thẳng y= mx-3-x luôn đi qua B, dù m lấy bất kỳ giá trị nào.
Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho 
Ba đường thẳng y=2x, y= -3-x và mx+5 phân biệt và đồng quy.
Ba đường thẳng y= -5(x+1), y=mx+3 và y=3x+m phân biệt và đồng quy.
Cho Cho 2 đường thẳng D1 : y = (2m -1)x +4m - 5 ; D2 : y = (m – 2) x + m+4
Tìm 2 điểm cố định của 2 đường thẳng
Định m để đồ thị D1 song song với D2
Dạng 5: HÀM BẬC HAI
Tìm Parabol y = ax2 + 3x - 2, biết rằng Parabol đó :
a/ Qua điểm A(1; 5) b/ Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2
c/ Có trục đối xứng x = -3 d/ Có đỉnh I(-; -)
e/ Đạt cực tiểu tại x = 1
Tìm Parabol y = ax2 + bx + c biết rằng Parabol đó :
a/ Đi qua 3 điểm A(-1; 2) ; B(2; 0) ; C(3; 1)
b/ Có đỉnh S(2; -1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3.
c/ Đạt GTLN tại I(1; 3) và đi qua gốc tọa độ.
d/ Đạt GTNN bằng 4 tại x = -2 và đi qua B(0; 6)
e/ Cắt Ox tại 2 điểm có hoành độ là -1 và 2, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng -2
Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m - 1
a/ Định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
b/ Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) khi m = 1
c/ Tìm giao điểm của đồ thị (P) với đường thẳng y = -x - 1
d/ Vẽ đường thẳng này trên cùng hệ trục tọa độ của (P)
Cho (P) : y = x2 - 3x - 4 và (d) : y = -2x + m. Định m để (P) và (d) có 2 điểm chung phân biệt.
Cho (P) : y = - + 2x - 3 và (d) : x - 2y + m = 0.Định m để (P) và (d) tiếp xúc nhau. Xác định tọa độ tiếp điểm.
Xác định phương trình Parabol:
y = ax2 + bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x = 
y = ax2 + bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = - 2
y = ax2 + bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)
y = ax2 + bx + c qua A(2 ; -3) và đỉnh I ( 1; - 4)
y = x2 + bx + c biết rằng qua diểm A(1 ; 0) và đỉnh I có tung độ đỉnh yI = -1 
Xác định parabol (p): biết (P)
Cắt trục hồnh tại x =1 và x = 2 
Qua A(1;-1) và trục đối xứng x = 2
Đạt GTNN bằng khi x = -1
Qua A(1;5) và B(-2;8)
Đỉnh I(2;-2)
Qua A(-1;6) và tung độ đỉnh bằng 
Xác định hàm số bậc hai (p): , biết (P)
Qua A(0;-1), B(1;-1) và C(-1;1)
Đỉnh I(1;4) và qua A(3;0)
Đạt GTNN bằng -1 qua A(2;-1) và B(0;3)
Đạt GTNN bằng tại và qua A(1;1)
Đạt GTLN bằng -5 tại x = 2 và nhận giá trị bằng 4 khi x = 1
Cho parabol (p) . Tìm 2 điểm A, B thuơc (P) đối xứng nhau qua I(1;1)
Hàm số bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có giá trị nhỏ nhất bằng khi và nhận giá trị bằng 1 khi x=1.
a)Xác định các hệ số a,b và c. Khảo sát sự biến thiên ,vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa nhận được .
b) Xét đường thẳng y=mx, ký hiệu bởi (d). Khi (d) cắt (P) tại hai điểm A và B phân biệt, hãy xác định tọa độ trung điểm của đọan thẳng AB.
Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị
Dựa vào đồ thị tìm x để f(x) >0
Dựa vào đồ thị tìm x để f(x) 0
Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi xR
a) c)
b) d)
Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tìm m để phương trình f(x) = m cĩ nghiệm
Tìm m để bất phương trình f(x) < m cĩ tập nghiệm là R
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a); d) ; 
b); e) ; 
c); f) ; 
Cho hàm số: 
a)Tìm m để hàm số đồng biến trên 
b) Tìm m để hàm số đạt GTNN bằng 2 trên 
c) Tìm quỹ tích đỉnh I của parabol
Dạng 6 :PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VI-ÉT
Cho phương trình : x2 – ( m+2)x + m2 – 1 = 0	(1)
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm m thoả mãn x1 – x2 = 2 .
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phương trình cĩ hai nghiệm khác nhau 
Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình :x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = 0 (1) 
Tìm các giá trị của m để phương trình cĩ nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt .
Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất , lớn nhất .
Cho phương trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 
Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 . 
Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 và x2 khơng phụ thuộc vào m . 
Với giá trị nào của m thì x1 và x2 cùng dương . 
Cho phương trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham số ) 
Xác định m để phương trình cĩ một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm cịn lại . 
Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 
Tìm giá trị của m để phương trình sau cĩ ít nhất một nghiệm x 0 :(m + 1) x2 - 2x + (m - 1) = 0
Cho phương trình x2-2(m+1)x+m-4=0 (x là ẩn)
Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu.
CMR phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m.
CM biểu thức khơng phụ thuộc m.
Cho phương trình : x2 – mx + m – 1 = 0 .
Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức .
 . Từ đĩ tìm m để M > 0 .
Tìm giá trị của m để biểu thức P = đạt giá trị nhỏ nhất .
Cho phương trình (m2 + m + 1 )x2 - ( m2 + 8m + 3 )x – 1 = 0
a) Chứng minh x1x2 < 0 .
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2 . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức : 	S = x1 + x2 .
Cho phương trình : 3x2 + 7x + 4 = 0 . Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 khơng giải phương trình lập phương trình bậc hai mà cĩ hai nghiệm là : và .
Tìm m để phương trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + 1 ) = 0 cĩ 4 nghiệm phân biệt .
Giải và biện luận phương trình : (m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3 
Tìm các giá trị của m sao cho phương trình : 
a) vơ nghiệm 	b) Cĩ hai nghiệm phân biệt	c) Cĩ bốn nghiệm phân biệt
Tìm các giá trị của m sao cho cĩ ba nghiệm phân biệt
Cho phương trình: . Tìm m để phương trình trên cĩ: 
a) Một nghiệm	b) Hai nghiệm phân biệt	c) Cĩ bốn nghiệm phân biệt.
DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH
A)Giải các phương trình:
 |x + 4| - 2| x -1| = 5x	
 (x –1)2 = 9(x + 1)2 
 (x2 + 3x – 4 )3 + (2x2 – 5x + 3 )3 = (3x2 – 2x – 1)3
 (x+3x+1) = (x-x-1)	 
 2x3 + 5x2 - 3x = 6
B)Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m
C)PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
 = 1 - 2x 	 
 = x - 3
 = 3x +1	
 = 
 = 
 + x - 2 = 0
 = 
5 = 4x2 - 12x + 15 
x2 - 3x + = 7
2 - = 4 
 - = 2 
 + = 
 + = 4
 + = + 
x + = 2
x2 + 3x + 1 = (x + 3)
(4x - 1) = 2x3 + 2x +1
D)ĐẶT ẨN PHỤ
 (đặt ).
 Đặt thì .
 Đặt 
DẠNG 8:HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
A)Giải hệ sau
B)Giải và biện luận các hệ phương trình:
Tìm tất cả các giá trị của m để mỗi hệ phương trình sau thỏa mãn yêu cầu cho trước 
a) cĩ nghiệm duy nhất.
b) cĩ vơ số nghiệm.
c) vơ nghiệm.
d) () cĩ nghiệm duy nhất x, y là các số nguyên.
Cho hệ phương trình : (I)
a) Giải phương trình và biện luận hệ (I) theo tham số m .
b) Khi hệ (I) cĩ nghiệm (x,y) , hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với m.
Xác định m để hệ pt cĩ nghiệm duy nhất (x, y) mà biểu thức x2+ y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Xác định m để hệ pt cĩ nghiệm duy nhất (x, y) mà biểu thức x.y đạt giá trị lớn nhất
C)Giải hệ 3 ẩn:
D)Hệ phương trình bậc hai: 
Loại 1: Hê gồm một phương trình bậc nhất và một pt bậc hai
Cách giải: Dùng phép thế, từ phương trình bậc nhất rút x (hoặc y), thế x (hoặc y) vào pt thứ 2 giải tìm y (hoặc x).
Giải các hệ phương trình sau:
. Tìm m để hệ phương trình: cĩ nghiệm hai nghiệm phân biệt (x1;y1) và (x2;y2) sao cho:(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 4
Tìm m để hệ phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất: 
Cho hệ phương trình: xác định các giá trị của m để hệ phương trình cĩ nghiệm duy
Loại 2. Hệ đối xứng loại 1 : Hệ thay x bởi y và y bởi x thì từng pt của hệ khơng đổi
Cách giải: 
Đặt S = x + y,P = xy giải hệ tìm S,P Þ x,y là nghiệm phương trình: X2-SX+P=0
Chú ý hệ cĩ nghiệm: (x;y) và (y;x)
( Hoặc đặt S = x – y, P = xy, giải hệ tìm S, P rồi tìm x, y)
Giải các hệ phương trình sau:
Loại 3: Hệ đối xứng loại 2: hệ thay x bởi y và y bởi x thì pt1 thành pt 2 và ngược lại.
Cách giải:
-Trừ vế theo vế hai phương trình ta được một phương trình.
-Đặt (x-y) nhân tử chung được phương trình tích Þtrường hợp x = y thay vào hệ để giải và xét trường hợp cịn lại.
Giải các hệ phương trình sau:
Loại 4:Hệ đẳng cấp:
Cách giải:
Phương pháp 1: Khử số hạng tự do dẫn tới phương trình . Đặt y = kx Þ
Xét x = 0 thay vào hệ. Xét nếu cĩ nghiệm k0 thì thế y = k0x vào hệ để xét hệ với một ẩn x.
Phương pháp 2: Từ hệ khử số hạng x2 (hoặc y2) để dẫn tới phương trình khuyết x2 (hoặc y2). Từ phương trình này tính x qua y (hoặc y qua x) rồi thế vào một trong hai phương trình ban đầu ta cĩ phương trình trùng phương ẩn y (hoặc ẩn x).
Giải các hệ phương trình sau:
Tìm m sao cho hệ phương trình sau cĩ nghiệm:
E)HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ:
Giải các hệ: phương trình sau:
(a > 0)	
Tìm a để hệ phương trình cĩ 2 nghiệm: 
Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm: 
F)ĐẶT ẨN PHỤ
Giải các hệ phương trình sau:
`
(ĐH Khối A – 2006) Giải hệ phương trình: 
BÀI TẬP HÌNH HỌC 10
A)Chứng minh đẳng thức vectơ 
Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, ta thường sử dụng:
	– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
	– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
	– Tính chất của các hình.
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: 
	a) 	b) .
Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:
	a) Nếu thì 	b) .
	c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: .
	d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN cĩ chung trung điểm.
Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh: .
Cho DABC. Bên ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh: .
Cho tam giác ABC, cĩ AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
	a) Chứng minh: .
	b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: .
Cho DABC cĩ M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường trịn ngoại tiếp. Chứng minh:
	a) 	b) 	c) .
Cho hai tam giác ABC và A¢B¢C¢ lần lượt cĩ các trọng tâm là G và G¢. 
	a) Chứng minh .
	b) Từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác cĩ cùng trọng tâm.
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: .
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
	a) 	b) .
Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
	a) 	b) 	c) .
Cho DABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
	a) 	c) 	c) .
Cho DABC cĩ trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
	a) Chứng minh: và .
	b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: .
Cho hình bình hành ABCD, đặt . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ theo .
Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ theo các vectơ .
Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ theo các vectơ .
Cho DABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho .
	a) Tính theo 	b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Cho DABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
	a) Chứng minh: 	
	b) Đặt . Tính theo .
Cho DABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC.
	a) Tính .
	b) Gọi G là trọng tâm DABC. Tính .
Cho DABC cĩ trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
	a) Chứng minh: .
	b) Đặt . Tính theo .
B)Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
	Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đĩ đối với hình vẽ. Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng , trong đĩ O và đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
	– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
	– Hình bình hành.
	– Trung điểm của đoạn thẳng.
	– Trọng tâm tam giác, 
 Cho DABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: .
 Cho đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I . M là điểm tuỳ ý khơng nằm trên đường thẳng AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI.
	a) Chứng minh: .
	b) Tìm các điểm D, C sao cho: .	
 Cho hình bình hành ABCD.
	a) Chứng minh rằng: .
	b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: .	
Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. 
	a) Chứng minh: .
	b) Xác định điểm O sao cho: .
Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta cĩ: .
Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: 
	a) 	b) 
	c) 	d) .
 Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) .
 Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) .
 Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) .	
 Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
	a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho , , . Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
	b) So sánh 2 véc tơ .
 Cho tứ giác ABCD.
	a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: (G đgl trọng tâm của tứ giác ABCD).
	b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta cĩ: .
 Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh:
	a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA¢, BB¢, CC¢, DD¢.
	b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A¢B¢C¢D¢.
 Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao cho các vectơ đều bằng với mọi điểm M:
	a) 	b) 
	c) 	d) .
C)Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
	· Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đĩ thoả mãn đẳng thức , với k ¹ 0.
	· Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức , với O là một điểm nào đĩ hoặc .
Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
	HD: . 
Cho DABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: , , . 
	a) Tính . (HD: )
	b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm DAIB).
Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho , , .
	a) Tính theo .
	b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD = AF, AB = AE. Chứng minh:
	a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.
	b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
Cho DABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: , 	. Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
Cho DABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: , . Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của DABC.
Cho DABC. Lấy các điểm M N, P: 
	a) Tính .	b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Cho DABC. Về phía ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam giác RIP và JQS cĩ cùng trọng tâm.
Cho tam giác ABC, A¢ là điểm đối xứng của A qua B, B¢ là điểm đối xứng của B qua C, C¢ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ cĩ chung trọng tâm.
Cho DABC. Gọi A¢, B¢, C¢ là các điểm định bởi: , , . Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ cĩ cùng trọng tâm.
Trên các cạnh AB, BC, CA của DABC lấy các điểm A¢, B¢, C¢ sao cho:
	 Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ cĩ chung trọng tâm.
Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. Gọi A¢, B¢, C¢ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.
	a) Chứng minh ba đường thẳng AA¢, BB¢, CC¢ đồng qui tại một điểm N.
	b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luơn đi qua trọng tâm G của DABC.
Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: , . Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của DABC.
Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho . 
	a) Chứng minh .
	b) Tính . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức , .
	a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
	b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính .
Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho .
	a) Chứng minh rằng cĩ một và chỉ một điểm G thoả mãn .
	b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho . Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn .
	a) Tìm điểm I thoả mãn .
	b) Chứng minh đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định.
Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn .
	a) Tìm điểm I sao cho .
	b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định.
	c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luơn đi qua một điểm cố định.
D)Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
	Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đĩ để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
	– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đĩ.
	– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi đường trịn cĩ tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng khơng đổi.
Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
	a) 	b) .
	HD: a) Đường trịn đường kính AB	b) Trung trực của AB.
Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
	a) 	b) 
	c) 	d) .
	HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm DABC).
	 b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường trịn tâm D, bán kính BA.
Cho DABC.
	a) Xác định điểm I sao cho: .
	b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:
	luơn đi qua một điểm cố định.
	c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: .
	d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 
Cho DABC.
	a) Xác định điểm I sao cho: .
	b) Xác định điểm D sao cho: .
	c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
	d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: .
E)Toạ độ trên trục
Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là -2 và 5.
	a) Tìm tọa độ của .	
	b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
	c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho .
	d) Tìm tọa độ điểm N sao cho .
Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là -3 và 1.
	a) Tìm tọa độ điểm M sao cho .
	b) Tìm tọa độ điểm N sao cho .
Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(-2), B(4), C(1), D(6).
	a) Chứng minh rằng: .
	b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: .
	c) Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh: .
Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C cĩ tọa độ lần lượt là a, b, c.
	a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
	b) Tìm tọa độ điểm M sao cho .
	c) Tìm tọa độ điểm N sao cho .
Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý. 
	a) Chứng minh: .
	b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng các đoạn IJ và KL cĩ chung trung điểm.
F)Toạ độ trên hệ trục
Viết tọa độ của các vectơ sau: 
	a) .
	b) .
 Viết dưới dạng khi biết toạ độ của vectơ là:
	a) .
	b) .
 Cho . Tìm toạ đ