Bài tập Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp

§2 HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Hoán vị: Cho một tập hợp A có n phần tử (). Bài toán hoán vị là bài toán sắp xếp, đổi chỗ n phần tử đó vào n vị trí tương ứng.
Định lý: Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Chú ý: 
2. Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với . Bài toán chỉnh hợp là bài toán chọn k phần tử trong n phần tử, cách chọn này có phân biệt thứ tự (công việc, chức vụ...)
Định lý: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là .
3. Tổ hợp: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với . Bài toán tổ hợp là bài toán chọn k phần tử trong n phần tử, cách chọn này không phân biệt thứ tự.
Định lý: Gọi là số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) thì: 
4. Hai tính chất cơ bản của số Cnk
Tính chất 1: Cnk = Cnn-k Tính chất 2: Cnk-1 + Cnk = Cn+1k
B. BÀI TẬP
Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh ( trong đó có 2 bạn A và B) đứng thành một hàng dọc để chào cờ sao cho trong đó có hai bạn A và B đứng kề nhau? (240) 
Cho 10 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn.
	a/ Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu là hai trong số 10 điểm đã cho ?
	b/ Có bao nhiêu véctơ có gốc và ngọn trùng với hai trong số 10 điểm đã cho ?
	c/ Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là ba trong số 10 điểm đã cho ?
Một họ 4 đường thẳng song song cắt một họ khác gồm 3 đường thẳng song song (không song song với 4 đường ban đầu). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên ? (18)
Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song nhau. Trên d1 lấy 5 điểm, trên d2 lấy 3 điểm. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm đã chọn ? (45)
Trên 3 cạnh của một tam giác lần lượt cho 4 , 5 , 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của nó được lấy từ các điểm đã cho? (Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các điểm đã cho?) (421)
Có 4 bi xanh, 3 bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 viên bi trong đó có bi xanh ít hơn bi đỏ? 
Trên một giá sách có 4 cuốn sách Toán , 5 cuốn sách Lý và 6 cuốn sách Hóa. Cần chọn 3 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu 3 cuốn sách đó cùng một môn.
Một nhóm có 4 học sinh khối 10, 5 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho có đúng 1 học sinh khối 11
Có 7 bút xanh, 3 bút đỏ. Có bnhiêu cách chọn ra 3 bút sao cho luôn có đủ 2 loại bút xanh và đỏ? (84)
Có 3 bi trắng, 4 bi vàng, 6 bi đen (tất cả bi đều khác nhau). Có bao nhiêu cách chọn ra:
2 bi cùng màu? b) 3 bi khác màu? c) 3 bi có 2 màu khác nhau?
Trong một cuộc đua thuyền có 16 thuyền cùng xuất phát. Hỏi có bao nhiêu khả năng xếp loại?
4 thuyền về đích đầu tiên ? b) 3 thuyền về nhất, nhì, ba ? 
Một tổ có 7 nam và 5 nữ. Người ta cần chọn ra 4 em để tham gia đồng diễn thể dục, yêu cầu có ít nhất hai em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Từ một hộp có 3 quả cầu trắng, 4 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 quả sao cho trong 5 quả cầu đó có ít nhất 1 quả màu đỏ? (Phải có bi đỏ)
Có 4 bạn nam và 3 bạn nữ. Có bao nhiêu cách xếp họ thành 1 hàng sao cho?
Họ ngồi tùy ý? b)Nam nữ ngồi xen kẽ? (144)
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
	a) Một cách tuỳ ý?
	b) Theo từng môn?
	c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào 1 ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
6 người ngồi bất kỳ
A và F ngồi 2 đầu ghế (48)
A và F luôn ngồi cạnh nhau (240)
Sắp xếp 5 phiếu thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau? (48)
Có hai chiếc hộp, mỗi hộp chứa 5 chiếc thẻ và được đánh số từ 1 đến 5, Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ. Có bao nhiêu cách chọn để trong hai thẻ lấy ra có ít nhất một thẻ mang số chẵn? (16)
Một tổ có 9 học sinh, gồm 5 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách xếp 9 học sinh đó vào một dãy bàn có 9 ghế sao cho các học sinh nữ luôn ngồi cạnh nhau? (17280)
 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? (480)
Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? (1200)
 Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
	a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? (34560.)
	b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau? (120960.)
(*) Từ các số 1, 2, 4, 6, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho số 1 xuất hiện đúng hai lần, các chữ số còn lại suất hiện không quá một lần ?	
Cho 1 đa giác đều có 10 cạnh. 
Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác? (120)
Có bao nhiêu tam giác sao cho 2 cạnh của tam giác cũng là 2 cạnh của đa giác? (10)
Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác? (60)
Có bao nhiêu tam giác không chứa cạnh nào của đa giác? (50) 
 (*) Một lớp có 8 hs A, B, C, D, E, F, G, H.
Có bnhiêu cách sắp xếp 8 hs vào 1 ghế dài 8 chỗ ngồi sao cho A, B không ngồi kế nhau? (30240)
Trong 8 hs trên có 4 nam, 4 nữ được xếp vào 1 bàn dài có 2 dãy ghế ngồi đối diện nhau. Mỗi ghế có 4 hs. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu đối diện 1 nam là 1 nữ? (9216)
(*) Cho một đa giác lồi có n cạnh.
Tìm số đường chéo của đa giác 
Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh? (n = 5)
Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo (không kể đỉnh) ?