Bài tập giải toán bằng cách lập phương trình Lớp 9

 Gọi chiều dài của hỡnh chữ nhật đó cho là x (m), với x > 4.
Vỡ chiều rộng bằng nửa chiều dài nờn chiều rộng là: (m)
=> diện tớch hỡnh chữ nhật đó cho là: (m2)
Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thỡ chiều dài, chiều rộng của hỡnh chữ nhật lần lượt là: (m)
khi đú, diện tớch hỡnh chữ nhật giảm đi một nửa nờn ta cú phương trỡnh: 
.=> (thoả món x>4); 
 (loại vỡ khụng thoả món x>4)
Vậy chiều dài của hỡnh chữ nhật đó cho là (m).
Bài 2: Một tam giỏc vuụng cú chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh gúc vuụng hơn kộm nhau 7cm. Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc vuụng đú.
Gọi độ dài cạnh gúc vuụng nhỏ là x (cm) (điều kiện 0< x < 15)
=> độ dài cạnh gúc vuụng cũn lại là (x + 7 )(cm)
Vỡ chu vi của tam giỏc là 30cm nờn độ dài cạnh huyền là 30–(x + x +7)= 23–2x (cm)
Theo định lớ Py –ta- go ta cú phương trỡnh 
 (1) Giải phương trỡnh (1) được nghiệm x = 5; x = 48
Đối chiếu với điều kiện cú x = 5 (TM đk); x = 48 (khụng TM đk)
Vậy độ dài một cạnh gúc vuụng là 5cm, độ dài cạnh gúc vuụng cũn lại là 12 cm, độ dài cạnh huyền là 30 – (5 + 12) = 13cm
Bài 3: Một ca nụ chạy xuụi dũng từ A đến B rồi chạy ngược dũng từ B đến A hết tất cả 4 giờ. Tớnh vận tốc ca nụ khi nước yờn lặng, biết rằng quóng sụng AB dài 30 km và vận tốc dũng nước là 4 km/giờ.
Bài giải: Gọi vận tốc của ca nụ khi nước yờn lặng là x km/giờ ( x > 4)
Vận tốc của ca nụ khi xuụi dũng là x +4 (km/giờ), khi ngược dũng là x - 4 (km/giờ). Thời gian ca nụ xuụi dũng từ A đến B là giờ, đi ngược dũng
 từ B đến A là giờ.
Theo bài ra ta cú phương trỡnh: (4)
 hoặc x = 16. Nghiệm x = -1 <0 nờn bị loại
Vậy vận tốc của ca nụ khi nước yờn lặng là 16km/giờ.
Bài 4: Hai người cựng làm chung một cụng việc trong giờ thỡ xong. Nếu mỗi người làm một mỡnh thỡ người thứ nhất hoàn thành cụng việc trong ớt hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mỡnh thỡ mỗi người phải làm trong bao nhiờu thời gian để xong cụng việc?
Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mỡnh xong cụng việc là x (giờ), ĐK 
Thỡ thời gian người thứ hai làm một mỡnh xong cụng việc là x + 2 (giờ)
Mỗi giờ người thứ nhất làm được(cv), người thứ hai làm được(cv)
Vỡ cả hai người cựng làm xong cụng việc trong giờ nờn mỗi giờ cả hai đội làm được=(cv)
Do đú ta cú phương trỡnh
Û 5x2 – 14x – 24 = 0
D’ = 49 + 120 = 169, 
=> (loại) và (TMĐK)
Vậy người thứ nhất làm xong cụng việc trong 4 giờ, 
người thứ hai làm xong cụng việc trong 4+2 = 6 giờ.
Bài 5: Một ụ tụ dự định đi từ A đến B cỏch nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ thỡ ụ tụ bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phỳt. Do đú để đến B đỳng hạn xe phải tăng vận tốc thờm 6 km/h. Tớnh vận tốc lỳc đầu của ụ tụ.
 Gọi x (km/h) là vt dự định; x > 0 => Thời gian dự định : 
Sau 1 h ụ tụ đi được x km => quãng đường còn lại 120 – x ( km)
Vt lúc sau: x + 6 ( km/h) 
Pt => x = 48 (TMĐK) => KL 
Quảng đường AB dài 156 km. Một người đi xe máy tử A, một người đi xe đạp từ B. Hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ gặp nhau. Biết rằng vận tốc của người đI xe máy nhanh hơn vận tốc của người đI xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe?
Gọi võn tốc của xe đạp là x (km/h), điều kiện x > 0
Thỡ vận tốc của xe mỏy là x + 28 (km/h)
Trong 3 giờ: 
+ Xe đạp đi được quóng đường 3x (km), 
+ Xe mỏy đi được quóng đường 3(x + 28) (km), theo bài ra ta cú phương trỡnh:
3x + 3(x + 28) = 156
Giải tỡm x = 12 (TMĐK)
Trả lời: Vận tốc của xe đạp là 12 km/h và vận tốc của xe mỏy là 12 + 28 = 40 (km/h) 
Bài 6:
	Hai xe khởi hành cựng một lỳc đi từ địa điểm A đến địa điểm B cỏch nhau 100km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km/h nờn đó đến B sớm hơm 30 phỳt, Tớnh vận tốc mỗi xe.
Bài 7:
 Một thửa đất hỡnh chữ nhật cú chu vi bằng 198 m , diện tớch bằng 2430 m2 . Tớnh chiều dài và chiều rộng của thửa đất hỡnh chữ nhật đó cho .
Gọi x ( m ) là chiều dài thửa đất hỡnh chữ nhật ( 49,5 < x < 99 )
Chiều rộng của thửa đất hỡnh chữ nhật là : 99 – x ( m )
Theo đề bài ta cú phương trỡnh : x ( x – 99 ) = 2430
Giải được : x1 = 54 ( nhận ) ; x2 = 45 ( loại )
Vậy chiều dài thửa đất hỡnh chữ nhật là 54 ( m ) 
Chiều rộng của thửa đất hỡnh chữ nhật là : 99 – 54 = 45 ( m )
 Bài 8 Một đội thợ mỏ phải khai thỏc 260 tấn than trong một thời hạn nhất định. Trờn thực tế, mỗi ngày đội đều khai thỏc vượt định mức 3 tấn, do đú họ đó khai thỏc được 261 tấn than và xong trước thời hạn một ngày. 
 Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thỏc bao nhiờu tấn than?
Bài 9: Hai đội cụng nhõn cựng đào một con mương . Nếu họ cựng làm thỡ trong 8 giờ xong
 việc. Nếu họ làm riờng thỡ đội A hoàn thành cụng việc nhanh hơn đội B 12 giờ. Hỏi nếu 
 làm riờng thỡ mỗi đội phải làm trong bao nhiờu giờ mới xong việc.
Bài 10
	Giải bài toỏn sau bằng cỏch lập phương trỡnh hoặc hệ phương trỡnh:
	Một mảnh vườn hỡnh chữ nhật cú chu vi 34m. Nếu tăng thờm chiều dài 3m và chiều rộng 2m thỡ diện tớch tăng thờm 45m2. Hóy tớnh chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.
Gọi chiều dài hcn là x (m); chiều rộng là y (m) (0 < x, y < 17)
Theo bài ra ta cú hpt : (thỏa món đk)
Vậy : chiều dài = 12m, chiều rộng = 5m
Một phũng họp dự định cú 120 người dự họp, nhưng khi họp cú 160 người tham dự nẹn phải kờ thờm 2 dóy ghế phải kờ them một ghế nữa thỡ vừa đủ. Tớnh số dóy ghế dự định lỳc đầu. Biết rằng số dóy ghế lỳc đầu trong phũng nhiều hơn 20 dóy ghế và số ghế trờn mỗi dóy là bằng nhau.
Bài 11
	Một mảnh vườn hỡnh chữ nhật cú chu vi 400m. Biết chiều dài hơn chiều rộng 60m. Tớnh chiều dài và chiều rộng mảnh vườn đú.
Bài 12
 Một thửa đất hỡnh chữ nhật cú chu vi bằng 198 m , diện tớch bằng 2430 m2 . Tớnh chiều dài và chiều rộng của thửa đất hỡnh chữ nhật đó cho .
Gọi x ( m ) là chiều dài thửa đất hỡnh chữ nhật ( 49,5 < x < 99 )
Chiều rộng của thửa đất hỡnh chữ nhật là : 99 – x ( m )
Theo đề bài ta cú phương trỡnh : x ( x – 99 ) = 2430
Giải được : x1 = 54 ( nhận ) ; x2 = 45 ( loại )
Vậy chiều dài thửa đất hỡnh chữ nhật là 54 ( m ) 
Chiều rộng của thửa đất hỡnh chữ nhật là : 99 – 54 = 45 ( m )
Bài 13 
Hai đội cụng nhõn cựng làm một cụng việc. Nếu hai đội làm chung thỡ hoàn thành sau 12 ngày. Nếu mỗi đội làm riờng thỡ dội một sẽ hoàn thành cụng việc nhanh hơn đội hai là 7 ngày. Hỏi nếu làm riờng thỡ mỗi đội phải làm trong bao nhiờu ngày để hoàn thành cụng việc đú?
Bài 14
 Hai cụng nhõn cựng làm một cụng việc trong 16 giờ thỡ xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thỡ họ làm được cụng việc. Hỏi mỗi cụng nhõn làm một mỡnh thỡ trong bao lõu làm xong cụng việc.
Gọi x (giờ), y(giờ) lần lượt là thời gian một mỡnh cụng nhõn I và một mỡnh cụng nhõn II làm xong cụng việc. ĐK: x, y > 16.
Trong 1 giờ: + Cụng nhõn I làm được: (cụng việc)
 + Cụng nhõn II làm được: (cụng việc)
 + Cả hai cụng nhõn làm được: (cụng việc)
Ta cú phương trỡnh: (1)
Trong 3 giờ cụng nhõn I làm được: 3. (cụng việc)
Trong 6 giờ cụng nhõn II làm được: 6. (cụng việc)
Ta cú PT: 3. + 6. = (2)
Từ (1) và (2) ta cú hệ phương trỡnh: 
– (1) ta được : ( tmđk) 
 ( tmđk)
Thay vào (1) ta được : 
Vậy: + Một mỡnh cụng nhõn I làm xong cụng việc hết: 24 giờ
 + Một mỡnh cụng nhõn II làm xong cụng việc hết: 48 giờ
Bài 15 Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh:
	Quóng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe mỏy từ A đến B. Khi đến B, người đú nghỉ 30 phỳt rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lỳc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lỳc bắt đầu đi từ A đến lỳc trở về đến A là 5 giờ. Tớnh vận tốc xe mỏy lỳc đi từ A đến B.
Gọi x (km/h) là vận tốc đi từ A đến B, vậy vận tốc đi từ B đến A là (km/h)
Theo đề bài ta cú:
 (vỡ x > 0)
Bài 16
Một tổ cụng nhõn dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nờn mỗi ngày tổ đó làm tăng thờm 10 sản phẩm so với dự định. Do đú tổ đó hoàn thành cụng việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó làm được bao nhiờu sản phẩm?
LG: Gọi số sản phẩm tổ đó thực hiện trong mỗi ngày là x (sản phẩm). ĐK: 
Do đú:
Số sản phẩm tổ dự định làm trong mỗi ngày là: (sản phẩm). 
Thời gian tổ hoàn thành cụng việc trong thực tế là: (ngày).
Thời gian tổ hoàn thành cụng việc theo dự định là: (ngày).
Vỡ tổ đó hoàn thành cụng việc sớm hơn dự định 2 ngày, do đú ta cú phương trỡnh:
Giải pt: 
PT cú 2 nghiệm phõn biệt: (nhận)
 (loại)
Vậy số sản phẩm tổ đó thực hiện trong mỗi ngày là 40 sản phẩm.
Bài 16
 Hai đội cụng nhõn cựng làm chung một cụng việc thỡ hoàn thành sau 12 giờ, nếu làm riờng thỡ thời gian hoàn thành cụng việc của đội thứ hai ớt hơn đội thứ nhất là 7 giờ. Hỏi nếu làm riờng thỡ thời gian để mỗi đội hoàn thành cụng việc là bao nhiờu?
 Gọi x (giờ) là thời gian một mỡnh đội một làm hoàn thành cụng việc. ĐK: x > 12.
 Thời gian một mỡnh đội hai làm xong cụng việc là: x – 7 (giờ)
 Trong 1 giờ: + Đội một làm được: (CV)
 + Đội hai làm được: (CV)
 + Cả hai đội làm đươc: (CV)
Ta cú: PT: 
Giải PT được nghiệm: 
Bài 17
	Cho tam giỏc vuụng cú diện tớch bằng 54 cm2 và tổng độ dài hai cạnh gúc vuụng bằng 21 cm . Tớnh độ dài cạnh huyền của tam giỏc vuụng đó cho .
	Gọi x ( cm ) là độ dài cạnh gúc vuụng thứ nhất ( 0 < x < 21 )
Độ dài cạnh gúc vuụng thứ hai là : 21 – x ( cm )
Theo đề bài ta cú PT : 
Giải được độ dài hai cạnh gúc vuụng là : 12 cm và 9 cm
Áp dụng định lý Pytago tớnh được cạnh huyền là 15 cm
Bài 18 
 Trờn quóng đường AB, một xe mỏy đi từ A đến B cựng lỳc đú một xe ụtụ đi từ B đến A, sau 4 giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi thỡ xe ụtụ đến A sớm hơn xe mỏy đến B là 6 giờ.
 Tớnh thời gian mỗi xe đi hết quóng đường AB.
Cõu 3. Cỏch 1:
Gọi x(h) là thời gian xe mỏy đi hết quóng đường AB (x > 6)
 (x – 6) (h) là thời gian ụtụ đi hết quóng đường BA 
Vận tốc xe mỏy: ; vận tốc ụtụ: 
Theo đề bài, ta cú phương trỡnh: ⇔ ⇔ 
Giải phương trỡnh trờn được: (thỏa); (khụng thỏa)
Vậy: thời gian xe mỏy đi hết quóng đường AB là 12 giờ; ụtụ đi hết quóng đường BA là 6 giờ.
Một lớp học cú 42 học sinh dự buổi sinh hoạt ngoại khúa được sắp xếp ngồi đều nhau trờn cỏc ghế băng. Nếu ta bớt đi 1 ghế băng thỡ mỗi ghế băng cũn lại phải xếp thờm 1 học sinh. Tớnh số ghế băng lỳc đầu.
Một đoàn xe vận tải nhận chuyờn chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thỡ 1 xe phải điều đi làm cụng việc khỏc, nờn mỗi xe cũn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế cú bao nhiờu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau)
Gọi số xe thực tế chở hàng là x xe ( x N*) thỡ số xe dự định chở hàng là x +1 ( xe ).
Theo dự định mỗi xe phải chở: ( tấn )
Nhưng thực tế mỗi xe phải chở : ( tấn ) 
Ta cú phương trỡnh : -= 0,5
 Giải phương trỡnh ta được : x1 = - 6 ( loại ) ; x2 = 5 ( nhận)
Vậy thực tế cú 5 xe tham gia vận chuyển hàng .
Đổi 20 phỳt = giờ
Gọi vận tốc canụ trong nước yờn lặng là 
Vận tốc canụ khi nước xuụi dũng là và thời gian canụ chạy khi nước xuụi dũng là .
Vận tốc canụ khi nước ngược dũng là và thời gian canụ chạy khi nước ngược dũng là .
Theo giả thiết ta cú phương trỡnh 
pt 
Giải phương trỡnh ta được (loại), (thỏa món)
Vậy vận tốc canụ trong nước yờn lặng là 16 km/h
Gọi x (km/h) là vọ̃n tụ́c của ca nụ lúc nước yờn lặng (Đk: x > 2)
Vọ̃n tụ́c ca nụ xuụi dòng là: x + 2 (km/h)
 Vọ̃n tụ́c ca nụ ngược dòng là: x – 2 (km/h)
 Thời gian ca nụ xuụi dòng 42 km: (h)
 Thời gian ca nụ ngược dòng 20 km: (h)
 Do ca nụ đi hờ́t tụ̉ng cụ̣ng 5 giờ nờn ta có phương trình: 
 42(x – 2) + 20(x + 2) = 5(x + 2)(x – 2)
 42x – 84 + 20x + 40 = 5x2 – 20 
 5x2 - 62x + 24 = 0
Vọ̃y vọ̃n tụ́c ca nụ lúc dòng nước yờn lặng là 12 km/h
Gọi chiều rộng của mảnh vườn hỡnh chữ nhật là x (m) ĐK : x > 0
Thỡ chiều dài của khu vườn hỡnh chữ nhật là : x + 12 (m)
Diện tớch của khu vườn khi đú là: x(x + 12) ( m2)
Nếu tăng chiều dài 12m và chiều rộng lờn 2m thỡ :
Chiều dài mới là : x + 12 + 12 = x + 24 (m)
Chiều rộng mới là : x + 2 (m)
Diện tớch của hỡnh chữ nhật mới là : ( x +2)( x + 24) (m2)
Vỡ diện tớch sau khi thay dổi gấp đụi diện tớch ban đầu nờn : 
(x +2)( x + 24) = 2x( x+ 12)
 x2 -2x – 48 = 0
Vậy chiều rộng của khu vườn hỡnh chữ nhật là 8(m), chiều dài của khu vườn là 20m