Bài tập Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số 
Bước 1: Dự đoán và chứng minh 
Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để 
2. Các phương pháp thường sử dụng
Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương
Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.
Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacôpski 
Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm.
Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác.
Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ và hệ tọa độ
Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA: 
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x, y) = x2 + 11y2 - 6xy + 8x - 28y + 21 
Giải. Biến đổi biểu thức dưới dạng P(x, y) = (x - 3y + 4)2 + 2(y - 1)2 + 3 ³ 3
Từ đó suy ra MinP(x, y) = 3 Û 
Bài 2. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S = 
Giải. 
 S
 S . 
 Với x = y > 0 thì MinS = 2
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
Giải . = 
 S
 S. 
Với , (kÎZ) thì 
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải. 
Với , thì 
Bài 5. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = 19x2+ 54y2 +16z2 -16xz - 24y +36xy
Giải. Biến đổi S Û f(x) = 19x2 - 2(8z -18y)x + 54y2 +16z2 - 24y 
Ta có D¢x = g(y) = (8z -18y)2 - (54y2 +16z2 - 24y) = -702y2 +168zy - 240z2 
Þ D¢y = (84z)2 - 702.240z2 = -161424z2 £ 0 "zÎR Þ g(y) £ 0 "y, zÎR
Suy ra D¢x £ 0 "y, zÎR Þ f(x) ³ 0. Với thì 
Bài 6. Cho x2 + xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 
S = x2 - xy + y2
Giải Xét y = 0 Þ x2 = 3 Þ S = 3 là 1 giá trị của hàm số. 
Xét y ¹ 0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây
 với 
Û u(t2 + t + 1) = t2 - t + 1 Û (u - 1)t2 + (u + 1)t + (u - 1) = 0 (*)
+ Nếu u = 1, thì t = 0 Þ x = 0, y = Þ u = 1 là 1 giá trị của hàm số
+ Nếu u ¹ 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số Û phương trình (*) có nghiệm t 
 Û D = (3u - 1)(3 - u) ³ 0 Û . 
Vậy tập giá trị của u là Þ ; Max u = 3
Min S = 1 Û Û t = 1 Þ 
Max S = 9 Û Maxu = 3 Û t = -1 Þ 
Bài 7. Cho x,yÎR thỏa mãn điều kiện 
 	Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S= 
Giải. Biến đổi 
Û Û 
Do -4x2 £ 0 nên Û 
Với x = 0, y = , thì . 
Với x = 0, y = , thì 
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Giải. Gọi y0 là 1 giá trị của hàm f(x) 
Þ tồn tại x0 sao cho y0 = 
Û 
Û g(x0) = . Ta có g(x) = 0 có nghiệm x0 
Û D¢ = = 
Do y0 = nên
D¢ ³ 0 Û 2y0 - 1 ³ 0 Û . Với x = thì Minf(x) = 
Bài 9. Cho Tìm các giá trị của m sao cho 
Giải. Ta có 
Gọi (P) là đồ thị của y = f(x) Þ (P) = (P1) È (P2) khi đó (P) có 1 trong các hình dạng đồ thị sau đây
A
B
C
P2
P1
A
B
C
P2
P1
A
B
C
P1
P2
 Hoành độ của các điểm đặc biệt trong đồ thị (P): 
Hoành độ giao điểm (P1), (P2) xA = 1; xB = 4 ; Hoành độ đỉnh (P1): .
Nhìn vào đồ thị ta xét các khả năng sau: 
Ÿ Nếu xC Î[xA, xB] Û mÎ[ -3, 3] thì Minf(x) = Min{f(1), f(4)}.
 Khi đó Minf(x) > 1 Û Û 1 < m £ 3 (1)
Ÿ Nếu xC Ï[xA, xB] Û mÏ[ -3, 3] thì Minf(x) = = 
Khi đó Minf(x) > 1 Û (2) 
Ÿ Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra Minf(x) > 1 Û 
Bài 10. (Đề thi TSĐH 2005 khối A)
Cho ;. Tìm Min của S 
Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c, d > 0 ta có: 
Bài 11. (Đề thi TSĐH 2007 khối B)
Cho . Tìm Min của S 
Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số ta có 
S 
Bài 12. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của S = 
Giải: 
Mặt khác, S = = = 
Suy ra 2S ³ ³ Þ Þ MinS =.
Bài 13. Cho x, y, z > 0. Tìm Max của: S = 
Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi và BunhiaCôpski ta có 3 đánh giá sau:
. Từ đó suy ra 
Bài 14. (Đề thi TSĐH 2003 khối B) 
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
x
- 2
2
y ¢
 +
0
-
0
y
-2
2
Cách 1: Tập xác định ;
 Þ 
Cách 2: Đặt 
Þ; 
Bài 15. (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B) 
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của trên đoạn 
x
0
1
y ¢
0
 -
0
+
0
y
4
1
Cách 1. Đặt . Ta có 
Nhìn bảng biến thiên ta có 
Cách 2. Đặt .
Với thì. Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
. Với 
Bài 16. a) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
 b) Cho . Chứng minh rằng: 
Giải. a) TXĐ: ; 
x
1/3
y ¢
 +
0
-
0
y
-1
1
. 
Suy ra . Nhìn BBT
ta có 
b) Theo phần a) thì Û . 
Đặc biệt hóa bất đẳng thức này tại các giá trị ta có:
Û 
Cách 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đặt 
a
a+b
a+b+c
C
A
B
1
2
3
O
x
1
y
. 
Khi đó . 
Do 
Từ đó suy ra 
Bài 17. (Đề 33 III.2, Bộ đề thi TSĐH 1987 – 1995)
 Cho . Tìm Max, Min của A = .
Giải. 1. Tìm MaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có 
 A £. 
Với thì Max A =
2. Tìm MinA: Xét 2 trường hợp sau đây
• Trường hợp 1: Nếu, xét 2 khả năng sau: 
+) Nếu thì A>0 Þ
+) Nếu x £ 0, y £ 0 thì 
|A| £ =
Từ 2 khả năng đã xét suy ra với thì Min A = -1 
• Trường hợp 2: Xét : Đặt Þ Þ 
= 
Û 
Ta có:
Thế vào phần dư của chia cho Þ. 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
t
-1
t1
t2
1
¦¢
+
0
-
0
+
¦
1
1
 suy ra
xảy ra Û ; 
Þ x, y là nghiệm của Þ 
Kết luận: Max A =; 
Bài 18. Cho thoả mãn điều kiện: . 
	Tìm Max, Min của biểu thức: 
Giải. Do nên . 
Vì hàm số nghịch biến trên nên bài toán trở thành.
1. Tìm MaxS hay tìm Min
.
Với thì MaxS = 
2. Tìm MinS hay tìm Max
Cách 1: Phương pháp tam thức bậc hai: 
Không mất tính tổng quát giả sử . Biến đổi và đánh giá đưa về tam thức bậc hai biến z 
Do đồ thị hàm y = f(z) là một parabol quay bề lõm lên trên nên ta có: .
Với thì MinS = 
Cách 2: Phương pháp hình học
 Xét hệ tọa Đề các vuông góc Oxyz. Tập hợp các điểm thoả mãn điều kiện nằm trong hình lập phương ABCDA¢B¢C¢O cạnh 1 với A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A¢(0, 1, 0); B¢(1, 1, 0); C¢(1, 0, 0).
Mặt khác do nên nằm trên mặt phẳng (P): 
y
3/ 2
O
E
1
1
K
3/ 2
J
M
z
x
I
L
N
3/ 2
1
O¢
Vậy tập hợp các điểm thoả mãn điều kiện giả thiết nằm trên thiết diện EIJKLN với các điểm E, I, J, K, L, N là trung điểm các cạnh hình lập phương. Gọi O¢ là hình chiếu của O lên EIJKLN thì O¢ là tâm của hình lập phương và cũng là tâm của lục giác đều EIJKLN. Ta có O¢M là hình chiếu của OM lên EIJKLN. Do OM2 = nên OM lớn nhất Û O¢M lớn nhất 
Û M trùng với 1 trong 6 đỉnh E, I, J, K, L, N. 
Từ đó suy ra: 
Với thì MinS = 
Bài 19. Cho thỏa mãn điều kiện 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải. Sai lầm thường gặp: 
· Nguyên nhân:
 mâu thuẫn với giả thiết
· Phân tích và tìm tòi lời giải :
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại 
— Sơ đồ điểm rơi: 
 Þ Þ Þ 
Ÿ Cách 1: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có 
. Với thì 
Ÿ Cách 2: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có 
Þ 
. Với thì 
Ÿ Cách 3: Đặt 
Do nên suy ra : 
= 
³ 
³ ³ 
³ . Với thì 
B. CÁC ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
I. ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Giải phương trình: 
x
2
3
4
¦¢
 -
0
+
¦
2
Giải. Đặt với 
Nhìn BBT suy ra: 
Þ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Giải phương trình: 
Giải. PT Û . Ta có: 
Þ Þ ¦¢(x) đồng biến
x
-¥
 0
x0 
1
+¥
f ¢
 -
0
+
f
¦(x0)
Mặt khác ¦¢(x) liên tục và 
, 
Þ Phương trình ¦¢(x) = 0 có đúng 1 nghiệm x0 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
Phương trình có không quá 2 nghiệm.
Mà nên phương trình (1) có đúng 2 nghiệm và 
Tìm m để BPT: có nghiệm đúng 
Giải. Û Û 
x
-¥
-6
6
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
¦
Ta có: = 0 Û 
 ;
Nhìn BBT ta có , 
Tìm m để PT: (1) có nghiệm 
Giải. Do Þ nên đặt 
Þ ; . Khi đó (1) Û 
Û (2)
Ta có: 
t
-1
1
¦¢(t)
 -
0
+
¦(t)
4
0
4
Þ Bảng biến thiên
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
Để (2) có nghiệm 
thì 
Û . Vậy để (1) có nghiệm thì .
x
0
2
3
f ¢
-
0
+
+ 
f
0
CT
8
21
Tìm m để hệ BPT: (1) có nghiệm.
Giải. (1) Û (2). 
Ta có: ; 
 ¦¢(x) = 0 Û . Nhìn BBTsuy ra: 
Để (2) có nghiệm thì Û Û -3 £ m £ 7 
Bài 6. Tìm m ³ 0 để hệ: (1) có nghiệm.
Giải
(1) Û Û (2)
m
0
2
+¥
¦¢
 -
0
+
¦
17
1
+¥
Xét . Ta có: 
Nhìn BBT suy ra: ¦(m) ³ ¦(2) = 1,"m ³ 0
kết hợp với suy ra đểhệ (2) 
có nghiệm thì m = 2, khi đó hệ (2) trở thành: 
có nghiệm. Vậy (1) có nghiệm m = 2.
II. ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Chứng minh rằng: , 
x
-¥
0
+¥
f ¢
 -
0
+
f
0
BĐT Û 
Ta có: 
Þ Bảng biến thiên.
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
 Þ (đpcm)
Cho CMR: T = 
x
-¥
+¥
f ¢
+
0
-
f
Ta có: T = .
 Xét hàm số với x > 0 
Ta có . 
Nhìn bảng biến thiên Þ .
Khi đó : 
Đẳng thức xảy ra .
Cho 3 £ n lẻ. Chứng minh rằng: "x ¹ 0 ta có: 
Đặt . 
Ta cần chứng minh < 1
Ta có: 
Þ 
x
-¥
0
+¥
f ¢
+
0
-
f
1
Þ 
Do 3 £ n lẻ nên ¦¢(x) cùng dấu với (-2x) 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
 Þ (đpcm)
t
0
1
+¥
f¢
-
0
+
f
1
1
Bài 4. Chứng minh rằng: "a, b > 0.
Xét f(t) = với 
f¢(t) = 
f¢(t) = 0 Û t = 1 Þ Bảng biến thiên của f(t)
Từ BBT Þ £ f(t) 0 Þ Þ . 
Dấu bằng xảy ra Û a = b > 0.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Cho DABC có . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
Tìm Max, Min của: y = 	
Cho ab ¹ 0. Tìm Min của 
Cho . Tìm Max, Min của 
Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2. 
Tìm p ¹ 0 sao cho nhỏ nhất.
Tìm Min của 
Cho x, y ³ 0 và . Tìm Max, Min của .
Cho . Tìm Max, Min của .
Tìm m để PT: có nghiệm.
Tìm m để PT: có nghiệm.
Tìm m để PT: có 4 nghiệm phân biệt.
Tìm m để PT: có nghiệm duy nhất.
Tìm m để PT: có nghiệm .
Tìm m để PT: có đúng 2 nghiệm .
Tìm m để hệ BPT: có nghiệm.
a. Tìm m để: có 2 nghiệm phân biệt.
 b. Cho . CMR: 
Chứng minh: ,