Bài tập chương IV - Đại số 10

BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU
__________________________________________________________________________________- 1 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. BẤT ĐẲNG THỨC
1. Tính chất
Điều kiện Nội dung
a < b a + c < b + c (1)
c > 0 a < b ac < bc (2a)
c bc (2b)
a < b và c < d a + c < b + d (3)
a > 0, c > 0 a < b và c < d ac < bd (4)
n nguyên dương
a < b a2n+1 < b2n+1 (5a)
0 < a < b a2n < b2n (5b)
a > 0 a < b a b (6a)
a < b 3 3a b (6b)
2. Một số bất đẳng thức thông dụng
a) a a2 0,  . a b ab2 2 2  .
b) Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b  0, ta có:
a b
ab
2

 . Dấu "=" xảy ra a = b.
+ Với a, b, c  0, ta có:
a b c
abc3
3
 
 . Dấu "=" xảy ra  a = b = c.
Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y.
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Điều kiện Nội dung
x x x x x0, ,   
a > 0
x a a x a    
x a
x a
x a
  
   
a b a b a b    
d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+ a b c a b    ; b c a b c    ; c a b c a    .
e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
Với a, b, x, y  R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )    . Dấu "=" xảy ra ay = bx.
BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU
__________________________________________________________________________________- 2 -
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản
 Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.
– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.
 Một số BĐT thường dùng:
+ A2 0 + A B2 2 0  + AB. 0 với A, B  0. + A B AB2 2 2 
Chú ý:
– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm
GTLN, GTNN của biểu thức.
Bài 1. Cho a, b, c, d, e  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a b c ab bc ca2 2 2     b) a b ab a b2 2 1    
c) a b c a b c2 2 2 3 2( )      d) a b c ab bc ca2 2 2 2( )    
e) a b c a ab a c4 4 2 21 2 ( 1)       f)
a
b c ab ac bc
2
2 2 2
4
    
g) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6      h) a b c d e a b c d e2 2 2 2 2 ( )       
i)
a b c ab bc ca
1 1 1 1 1 1
     với a, b, c > 0
k) a b c ab bc ca     với a, b, c  0
HD: a) a b b c c a2 2 2( ) ( ) ( ) 0      b) a b a b2 2 2( ) ( 1) ( 1) 0     
c) a b c2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 0      d) a b c 2( ) 0  
e) a b a c a2 2 2 2 2( ) ( ) ( 1) 0      f)
a
b c
2
( ) 0
2
 
   
 
g) a bc b ca c ab2 2 2( ) ( ) ( ) 0     
h)
a a a a
b c d e
2 2 2 2
0
2 2 2 2
       
              
       
i)
a b b c c a
2 2 2
1 1 1 1 1 1
0
     
          
     
k)      a b b c c a
2 2 2
0     
Bài 2. Cho a, b, c  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
a b a b
33 3
2 2
  
  
 
; với a, b  0 b) a b a b ab4 4 3 3  
c) a a4 3 4  d) a b c abc3 3 3 3   , với a, b, c > 0.
e)
a b
a b
b a
6 6
4 4
2 2
   ; với a, b  0. f)
aba b2 2
1 1 2
11 1
 
 
; với ab  1.
g)
a
a
2
2
3
2
2



h) a b a b a b a b5 5 4 4 2 2( )( ) ( )( )     ; với ab > 0.
BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU
__________________________________________________________________________________- 3 -
HD: a) a b a b 2
3
( )( ) 0
8
   b) a b a b3 3( )( ) 0  
c) a a a2 2( 1) ( 2 3) 0   
d) Sử dụng hằng đẳng thức a b a b a b ab3 3 3 2 2( ) 3 3     .
BĐT  a b c a b c ab bc ca2 2 2( ) ( ) 0          .
e) a b a a b b2 2 2 4 2 2 4( ) ( ) 0    f)
b a ab
ab a b
2
2 2
( ) ( 1)
0
(1 )(1 )(1 )
 

  
g) a2 2( 1) 0  h) ab a b a b3 3( )( ) 0   .
Bài 3. Cho a, b, c, d  R. Chứng minh rằng a b ab2 2 2  (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng
thức sau:
a) a b c d abcd4 4 4 4 4    b) a b c abc2 2 2( 1)( 1)( 1) 8   
c) a b c d abcd2 2 2 2( 4)( 4)( 4)( 4) 256    
HD: a) a b a b c d c d4 4 2 2 2 2 2 22 ; 2    ; a b c d abcd2 2 2 2 2 
b) a a b b c c2 2 21 2 ; 1 2 ; 1 2     
c) a a b b c c d d2 2 2 24 4 ; 4 4 ; 4 4 ; 4 4       
Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu
a
b
1 thì
a a c
b b c



(1). Áp dụng chứng minh các bất
đảng thức sau:
a)
a b c
a b b c c a
2  
  
b)
a b c d
a b c b c d c d a d a b
1 2    
       
c)
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
2 3
   
    
       
HD: BĐT (1)  (a – b)c < 0.
a) Sử dụng (1), ta được:
a a c
a b a b c


  
,
b b a
b c a b c


  
,
c c b
c a a b c


  
.
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:
a a a
a b c d a b c a c
 
     
Tương tự,
b b b
a b c d b c d b d
 
     
c c c
a b c d c d a a c
 
     
d d d
a b c d d a b d b
 
     
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có:
a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
   
 
       
Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm.
Bài 5. Cho a, b, c  R. Chứng minh bất đẳng thức: a b c ab bc ca2 2 2     (1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:
a) a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )     b)
a b c a b c
22 2 2
3 3
    
  
 
c) a b c ab bc ca2( ) 3( )     d) a b c abc a b c4 4 4 ( )    
BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU
__________________________________________________________________________________- 4 -
e)
a b c ab bc ca
3 3
   
 với a,b,c>0. f) a b c abc4 4 4   nếu a b c 1  
HD:  a b b c c a2 2 2( ) ( ) ( ) 0      .
a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a)
d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1)
f) Sử dụng d)
Bài 6. Cho a, b  0 . Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a ab a b3 3 2 2 ( )     (1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:
a)
abca b abc b c abc c a abc3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
  
     
; với a, b, c > 0.
b)
a b b c c a3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
  
     
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
c)
a b b c c a
1 1 1
1
1 1 1
  
     
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
d) a b b c c a a b c3 3 3 3 3 33 3 34( ) 4( ) 4( ) 2( )        ; với a, b, c  0 .
e*)
A B C
A B C3 3 3 3 3 3sin sin sin cos cos cos
2 2 2
     ; với ABC là một tam giác.
HD: (1)  a b a b2 2( )( ) 0   .
a) Từ (1)  a b abc ab a b c3 3 ( )     
ab a b ca b abc3 3
1 1
( )

  
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b, c) Sử dụng a).
d) Từ (1)  a b a b ab3 3 2 23( ) 3( )    a b a b3 3 34( ) ( )   (2).
Từ đó: VT  a b b c c a a b c( ) ( ) ( ) 2( )        .
e) Ta có:
C A B C
A Bsin sin 2cos .cos 2cos
2 2 2

   .
Sử dụng (2) ta được: a b a b3 33 4( )   .

C C
A B A B3 3 3 3 3sin sin 4(sin sin ) 4.2.cos 2 cos
2 2
    
Tương tự,
A
B C3 3 3sin sin 2 cos
2
  ,
B
C A33 3sin sin 2 cos
2
 
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
Bài 7. Cho a, b, x, y  R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):
a x b y a b x y2 2 2 2 2 2( ) ( )       (1)
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) Cho a, b  0 thoả a b 1  . Chứng minh: a b2 21 1 5    .
b) Tìm GTNN của biểu thức P = a b
b a
2 2
2 2
1 1
   .
c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1   . Chứng minh:
x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82      .
d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 3   . Tìm GTNN của biểu thức:
BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU
__________________________________________________________________________________- 5 -
P = x y z2 2 2223 223 223     .
HD: Bình phương 2 vế ta được: (1)  a b x y ab xy2 2 2 2( )( )    (*)
 Nếu ab xy 0  thì (*) hiển nhiên đúng.
 Nếu ab xy 0  thì bình phương 2 vế ta được: (*)  bx ay 2( ) 0  (đúng).
a) Sử dụng (1). Ta có: a b a b2 2 2 21 1 (1 1) ( ) 5        .
b) Sử dụng (1). P  a b a b
a b a b
2 2
2 21 1 4( ) ( ) 17
   
         
   
Chú ý:
a b a b
1 1 4
 

(với a, b > 0).
c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:
x y z x y z
x y zx y z
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
( )
 
           
 
 x y z
x y z
2
2 9( ) 82
 
    
  
.
Chú ý:
x y z x y z
1 1 1 9
  
 
(với x, y, z > 0).
d) Tương tự câu c). Ta có: P    x y z
2
23 223 ( ) 2010    .
Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) ab bc ca a b c ab bc ca2 2 2+ <2( )     
b) abc a b c b c a a c b( )( )( )      
c) a b b c c a a b c2 2 2 2 2 2 4 4 42 2 2 0     
d) a b c b c a c a b a b c2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( )       
HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a b bc c2 2 22      .
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b) Ta có: a a b c a a b c a b c2 2 2 2( ) ( )( )         .
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
c) a b c a b c b c a c a b( )( )( )( ) 0         .
d) a b c b c a c a b( )( )( ) 0       .
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si
1. Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b  0, ta có:
a b
ab
2

 . Dấu "=" xảy ra a = b.
+ Với a, b, c  0, ta có:
a b c
abc3
3
 
 . Dấu "=" xảy ra  a = b = c.
2. Hệ quả: +
a b
ab
2
2
 
 
 
+
a b c
abc
3
3
  
 
 
3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:
+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.
BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU
__________________________________________________________________________________- 6 -
+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.
Bài 1. Cho a, b, c  0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a b b c c a abc( )( )( ) 8    b) a b c a b c abc2 2 2( )( ) 9    
c)  a b c abc
3
3(1 )(1 )(1 ) 1     d)
bc ca ab
a b c
a b c
     ; với a, b, c > 0.
e) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6     
f)
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
 
  
  
; với a, b, c > 0.
g)
a b c
b c c a a b
3
2
  
  
; với a, b, c > 0.
HD: a) a b ab b c bc c a ca2 ; 2 ; 2       đpcm.
b) a b c abc a b c a b c32 2 2 2 2 233 ; 3       đpcm.
c)  a b c a b c ab bc ca abc(1 )(1 )(1 ) 1          
 a b c abc33    ab bc ca a b c3 2 2 23  
  a b c abc a b c abc abc
33 2 2 23 3(1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1        
d)
bc ca abc
c
a b ab
2
2 2   ,
ca ab a bc
a
b c bc
2
2 2   ,
ab bc ab c
b
c a ac
2
2 2   đpcm
e) VT  a b b c c a2 2 22( )   a b c abc3 3 3 36 6 .
f) Vì a b ab2  nên
ab ab ab
a b ab 22
 

. Tương tự:
bc bc ca ca
b c c a
;
2 2
 
 
.

ab bc ca ab bc ca a b c
a b b c c a 2 2
   
   
  
(vì ab bc ca a b c     )
g) VT =
a b c
b c c a a b
1 1 1 3
     
          
       
=  a b b c c a
b c c a a b
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 3
2
 
        
   

9 3
3
2 2
  .
 Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.
Khi đó, VT =
x y z x z y
y x x z y z
1
3
2
      
          
     

1 3
(2 2 2 3)
2 2
    .
Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a b c a b c
a b c
3 3 3 21 1 1( ) ( )
 
       
 
b) a b c a b c a b c3 3 3 2 2 23( ) ( )( )       c) a b c a b c3 3 3 39( ) ( )    
HD: a) VT =
a b b c c a
a b c
b a c b a c
3 3 3 3 3 3
2 2 2
     
            
     
.
Chú ý:
a b
a b ab
b a
3 3
2 22 2   . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
b)      a b c a b b a b c bc c a ca3 3 3 2 2 2 2 2 22( )        .
Chú ý: a b ab a b3 3 ( )   . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU
__________________________________________________________________________________- 7 -
c) Áp dụng b) ta có: a b c a b c a b c3 3 3 2 2 29( ) 3( )( )       .
Dễ chứng minh được: a b c a b c2 2 2 23( ) ( )      đpcm.
Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh
a b a b
1 1 4
 

(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a)
a b c a b b c c a
1 1 1 1 1 1
2
 
     
   
; với a, b, c > 0.
b)
a b b c c a a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 1
2
2 2 2
 
     
         
; với a, b, c > 0.
c) Cho a, b, c > 0 thoả
a b c
1 1 1
4   . Chứng minh:
a b c a b c a b c
1 1 1
1
2 2 2
  
     
d)
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
 
  
  
; với a, b, c > 0.
e) Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12   . Chứng minh:
xy yz xz
x y y z z x
2 8 4
6
2 2 4 4
  
  
.
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
p a p b p c a b c
1 1 1 1 1 1
2
 
     
    
.
HD: (1) a b
a b
1 1
( ) 4
 
   
 
. Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.
a) Áp dụng (1) ba lần ta được:
a b a b b c b c c a c a
1 1 4 1 1 4 1 1 4
; ;     
  
.
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
b) Tương tự câu a).
c) Áp dụng a) và b) ta được:
a b c a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 1
4
2 2 2
 
     
      
.
d) Theo (1):
a b a b
1 1 1 1
4
 
  
  

ab
a b
a b
1
( )
4
 

.
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12    đpcm.
f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.
Áp dụng (1) ta được:
p a p b p a p b c
1 1 4 4
( ) ( )
  
    
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.
Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a b c a b c
1 1 1 9
  
 
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a) a b c a b c
a b b c c a
2 2 2 1 1 1 3( ) ( )
2
 
       
   
.
b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   . Tìm GTLN của biểu thức: P =
x y z
x y z1 1 1
 
  
.
c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   . Tìm GTNN của biểu thức:
P =
a bc b ac c ab2 2 2
1 1 1
2 2 2
 
  
.
d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   . Chứng minh:
ab bc caa b c2 2 2
1 1 1 1
30   
 
.
BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU
__________________________________________________________________________________- 8 -
e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh:
A B C
1 1 1 6
2 cos2 2 cos2 2 cos2 5
  
  
.
HD: Ta có: (1)  a b c
a b c
1 1 1
( ) 9
 
     
 
. Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.
a) Áp dụng (1) ta được:
a b b c c a a b c
1 1 1 9
2( )
  
    
.
 VT 
a b c a b c
a b c
a b c a b c
2 2 2 2 2 29( ) 3 3( ) 3
. ( )
2( ) 2 2
   
   
   
Chú ý: a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )     .
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
P =
x y z
x y z
1 1 1 1 1 1
1 1 1
     
 
  
=
x y z
1 1 1
3
1 1 1
 
   
   
Ta có:
x y z x y z
1 1 1 9 9
1 1 1 3 4
   
     
. Suy ra: P 
9 3
3
4 4
  .
Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:
Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN
của biểu thức: P =
x y z
kx ky kz1 1 1
 
  
.
c) Ta có: P 
a bc b ca c ab a b c2 2 2 2
9 9
9
2 2 2 ( )
 
      
.
d) VT 
ab bc caa b c2 2 2
1 9

  
=
ab bc ca ab bc ca ab bc caa b c2 2 2
1 1 1 7 
   
       

ab bc caa b c 2
9 7 9 7
30
11( )
3
   
  
Chú ý: ab bc ca a b c 2
1 1
( )
3 3
      .
e) Áp dụng (1):
A B C A B C
1 1 1 9
2 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2 cos2
  
     

9 6
3 5
6
2


.
Chú ý: A B C
3
cos2 cos2 cos2
2
   .
Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
a)
x
y x
x
18
; 0
2
   . b)
x
y x
x
2
; 1
2 1
  

.
c)
x
y x
x
3 1
; 1
2 1
   

. d)
x
y x
x
5 1
;
3 2 1 2
  

e)
x
y x
x x
5
; 0 1
1
   

f)
x
y x
x
3
2
1
; 0

 
BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU
__________________________________________________________________________________- 9 -
g)
x x
y x
x
2 4 4
; 0
 
  h) y x x
x
2
3
2
; 0  
HD: a) Min y = 6 khi x = 6 b) Min y =
3
2
khi x = 3
c) Min y =
3
6
2
 khi x =
6
1
3
 d) Min y =
30 1
3

khi x =
30 1
2

e) Min y = 2 5 5 khi x
5 5
4

 f) Miny =
3
3
4
khi x = 3 2
g) Min y = 8 khi x = 2 h) Min y =
5
5
27
khi x = 5 3
Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) y x x x( 3)(5 ); 3 5      b) y x x x(6 ); 0 6   
c) y x x x
5
( 3)(5 2 ); 3
2
      d) y x x x
5
(2 5)(5 ); 5
2
     
e) y x x x
1 5
(6 3)(5 2 );
2 2
      f)
x
y x
x2
; 0
2
 

g)
 
x
y
x
2
3
2 2


HD: a) Max y = 16 khi x = 1 b) Max y = 9 khi x = 3
c) Max y =
121
8
khi x =
1
4
 d) Max y =
625
8
khi x =
5
4
e) Max y = 9 khi x = 1 f) Max y =
1
2 2
khi x = 2 ( x x22 2 2  )
g) Ta có: x x x32 2 22 1 1 3      x x2 3 2( 2) 27  
x
x
2
2 3
1
27( 2)


 Max y =
1
27
khi x = 1.
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki
1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)
 Với a, b, x, y  R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )    . Dấu "=" xảy ra  ay = bx.
 Với a, b, c, x, y, z  R, ta có: ax by cz a b c x y z2 2 2 2 2 2 2( ) ( )( )      
Hệ quả:
 a b a b2 2 2( ) 2( )    a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )    
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a b2 23 4 7  , với a b3 4 7  b) a b2 2
735
3 5
47
  , với a b2 3 7 
c) a b2 2
2464
7 11
137
  , với a b3 5 8  d) a b2 2
4
5
  , với a b2 2 
BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ 10 MINH HIẾU
__________________________________________________________________________________- 10 -
e) a b2 22 3 5  , với a b2 3 5  f) x y x y2 2
9
( 2 1) (2 4 5)
5
     
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3, 4, 3 , 4 .
b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b
2 3
, , 3 , 5
3 5
 .
c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b
3 5
, , 7 , 11
7 11
 .
d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,2, , .
e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2, 3, 2 , 3 .
f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT a b2 2
9
5
  .
Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm.
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a b2 2
1
2
  , với a b 1  . b) a b3 3
1
4
  , với a b 1  .
c) a b4 4
1
8
  , với a b 1  . d) a b4 4 2  , với a b 2  .
HD: a) a b a b2 2 2 2 21 (1 1 ) (1 1 )( )      đpcm.
b) a b b a b a a a a3 3 2 31 1 (1 ) 1 3 3           
 b a a
2
3 3 1 1 13
2 4 4
 
     
 
.
c) a b a b2 2 4 4 2 2 2
1
(1 1 )( ) ( )
4
      đpcm.
d) a b a b2 2 2 2 2(1 1 )( ) ( ) 4      a b2 2 2  .
a b a b2 2 4 4 2 2 2(1 1 )( ) ( ) 4      a b4 4 2 
Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P x y z1 1 1      .
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P  x y z1 1 1. (1 ) (1 ) (1 )        6
Dấu "=" xảy ra x y z1 1 1      x y z
1
3
   .
Vậy Max P = 6 khi x y z
1
3
   .
Bài 4. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1   . Chứng minh rằng:
x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82     
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:
x x
xx
2
2 2 2
2
1 9
(1 9 )
   
     
  
 x x
xx
2
2
1 1 9
82
 
   
 
(1)
Tương tự ta có: y y
yy
2
2
1 1 9
82
 
   
 
(2), z z
zz
2
2
1 1 9
82
 
   
 
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
P  x y z
x