Bài hình thi học kỳ 1 môn Toán 9 hay và khó

Bài hình thi học kỳ 1 toán 9 hay và khó
Đề bài:Cho tam giác ABC vuông tại A(AC>AB) .Gọi O là trung điểm của BC và I là trung điểm của AC .Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt OI tại D .Dựng đường tròn tâm T đường kính IC cắt BC tại E và cắt CD tại F
1/Chứng tỏ :Tứ giác CFIE là hình chữ nhật và DI.AB=2EF2
2/Chứng tỏ :AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC và DF.AB=AC.IF
3/BD cắt AC tại M .Từ M kẻ đường thẳng song song với IF cắt ID tại N .Chứng minh :DN.BC2=2ON.CD2 và BD_|_AE
4/Chứng minh rằng :DE cắt NF tại 1 điểm thuộc đường tròn (T)
**5/Đường thẳng qua N vuông góc với AE cắt MF tại P và cắt DC tại Q .Chứng minh rằng (PN/PQ).(PF/PM)=MA/MC
 Kí hiệu dấu / là dấu chia tỉ số nha mọi người
Hướng dẫn giải bài hình
1/Góc CHI=góc CEI=góc DCO=90*=>Tứ giác CHIE là hình chữ nhật
OI là đường trung bình tam giác ABC =>AB//OI và AB=2OI
Mà AB_|_AC=>OI_|_AC .Do tứ giác CHIE là hình chữ nhật nên EF=IC
Áp dụng hệ thức lượng trong ΔCDO: DI.AB=2DI.IO=2IC2=2EF2
2/Dễ thấy OA=OB=OC .Chứng tỏ được :ΔCOD=ΔAOD
=>gócOCD=gócOAD=90* lại có A thuộc đường tròn tâm O đường kính BC
Nên AD là tiếp tuyến đường tròn đường kính BC
Chứng tỏ được :ΔFID~ΔABC =>IF/FD=AB/AC=>IF.AC=FD.AB
3/Ta có IF//BC nên MN//IF//BC ,lại có OD//AB .Áp dụng định lý ta lét và hệ thức lượng trong tam giác DCO
Thì DN/ON=MD/MB=DI/AB=DI/2IO=DI.DO/2IO.DO=DC2/2CO2
2DC2/4CO2=2DC2/BC2=>DN.BC2=2ON.CD2
Chứng tỏ được :ΔCEI~ΔCAB(g-g )=>CE/CI=CA/CB=>CE/CA=CI/CB
Từ đó chứng tỏ:ΔCEA~ΔCIB (c-g-c)=> góc CAE= góc CBI
Dể thấy OB2=OC2=OI.OD=>OI/OB=OB/OD=>ΔOBI~ΔODB (c-g-c) 
=>góc CBI=góc ODB => góc ODB=góc CAE.Dễ chứng tỏ được :AE_|_BD
4/Gọi S là giao điểm của IC và DE ,J là giao điểm của DE và NF
Ta có MN//BC và OD//AB .Áp dụng định lý ta lét ta có : 
ON/NI=1+OI/NI=1+IC/IM=1+IA/IM=2+AM/IM=2+AB/DI
2+2OI/DI=2(1+OI/DI)=2OD/DI
=>ON/NI=2OD/DI (1).Theo như câu 3 ta có :ND/NO=DI/2OI (2)
Lấy (1).(2) vế theo vế =>ND/NI=OD/OI =>NI/ND=OI/OD
Lại có ID//DC ,Áp dụng định lý ta lét ta có : OI/OD=IE/CD=SI/SC
=>NI/ND=SI/SC=>NS//CD (Định lý ta lét đảo )
Từ đó chứng tỏ được : góc SNI=góc CDO=góc CIF= góc EFI
Từ đó chứng tỏ được :ΔIEF~ΔISN (g-g) =>IE/IF=IS/IN =>IE/IS=IF/IN
Lại có góc DIF= góc DOC= góc CIE=>ΔIES~ΔIFN (c-g-c)
=>góc IFN= góc IES =>Từ đó chứng tỏ được NF vuông góc với DE tại điểm J nên J thuộc đường tròn (T)
5/NF cắt BD tại K,BD cắt AE tại H .Gọi V là trung điểm của CD .Qua K kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại L và cắt IV tại G
Theo như câu 4 ta sẽ chứng minh được :
ΔDJK~ΔDHE (g-g)=>DK/DJ=DE/DH=>DK.DH=DJ.DE
ΔDJF~ΔDCE(g-g)=>DJ/DF=DC/DE=>DJ.DE=DF.DC
Mà chứng tỏ được :DF.DC=DI2=>DI2=DK.DH=>DI/DK=DH/DI
=>ΔDIK~ΔDHI (c-g-c)=> góc DIK=góc DHI
Ta có AE_|_BD nên chứng tỏ được :
ΔIMH~ΔDMA(g-g)=>IM/DM=MH/MA=>MI/MH=MD/MA
=>ΔIMH~ΔDMA(c-g-c)=> góc DHI=góc IAD
=>góc DIK=góc IAD => góc AIK= góc IDA
mà góc AIK=góc GKI (do LG//AC)) ,góc IDA=góc IDC=>góc IDC=góc IKG
dễ thấy IV//AD nên góc IAD=góc CIV mà góc CIV=góc KGI
=>góc KGI=góc DIK .Từ đó ta chứng minh được :
ΔICD~ΔIGK(g-g)=>IC/ID=IG/IK=>IC/IG=ID/IK
=>ΔIGC~ΔIKD(c-g-c)=>góc CGI= góc DKI
Ta có IV//AD và AC//LG =>Tứ giác IGAL là hình bình hành =>LG=AI=CI
Có LG=CI là LG//AC=>Tứ giác CGLI là hình bình hành
=>GC//LI =>góc CGI=góc VIL mà góc VIL=góc ILA (do IV//AD)
=>góc ILA=góc DKI .Từ đó ta chứng tỏ được :
ΔDKI~ΔILA (g-g)=>IK/AL=DI/AI
Dễ chứng tỏ được :ΔIAD~ΔΔFCI(g-g)=>DI/AI=FI/FC=>IK/AL=FI/FC
=>IK/IF=AL/FC
Ta có góc DIK=góc DAI=góc DCI=góc DIF=>góc DIK=góc DIF
=>Áp dụng tính chất đường phân giác ta có :IK/IF=NK/NF
Từ đó ta suy ra AL/FC=NK/NF (*)
Ta có LG//AC ,Áp dụng định lý ta lét ta có :
AL/AD=MK/MD=>AL=(MK/MD).AD thế vào biểu thức (*) ta có:
[(MK/MD).AD]/FC=NK/NF=>(MK/MD).(AD/FC)=NK/NF
=>(MK/MD).(NF/NK)=FC/AD=FC/CD
Ta có :PQ//BD(cùng vuông góc với AE) .Áp dụng định lý ta lét ta có:
NF/NK=PF/PM PQ/MD=FP/FM=NP/MK=>MK/MD=NP/PQ
Thế vào biểu thức trên ta có :(NP/PQ).(PF/PM)=FC/CD (a)
Áp dụng định lý ta lét ta lại có :
MC/MA=AC/AM-1=2AI/AM-1=[2(AM+MI)]/AM-1
=1+2MI/MA=1+2ID/AM=1+ID/IO=OD/IO=>MA/MC=IO/DO
Mà IO/DO=FC/CD (do IF//BC )=>MA/MC=FC/CD (b)
Từ (a) và (b) ta có điều phải chứng minh