Bài giảng Cơ học lượng tử

Nguyễn Ngọc Ty
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
1
Giới thiệu
2
Cơ học lượng tử?
Nghiên cứu quy luật chuyển động của các hạt vi mơ.
CƠ HỌC 
CỔ ĐIỂN
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Giới thiệu
3
Câu hỏi:
1. Với kích cỡ nào thì xem là thế giới vi mơ, 
ranh giới để phân biệt vi mơ, vĩ mơ?
2. Kích thước của ngử hydro? của hạt nhân? 
3. Ngành học Nanophysics thuộc thế giới nào? 
Tại sao lại cĩ một ngành học riêng?
Giới thiệu
4
CƠ HỌC 
CỔ ĐIỂN
CƠ HỌC 
LƯỢNG TỬ
Vận tốc
Kích
thước
Giới thiệu
5
CƠ HỌC 
CỔ ĐIỂN
CƠ HỌC 
LƯỢNG TỬ
Kích
thước
Vận tốc
CƠ HỌC NEWTON
(CHCĐ phi tương đối tính)
CƠ HỌC EINSTEIN
(CHCĐ tương đối tính)
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
PHI TƯƠNG ĐỐI TÍNH
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
TƯƠNG ĐỐI TÍNH
(LÝ THUYẾT TRƯỜNG 
LƯỢNG TỬ)
Câu hỏi: Vận tốc chuyển động trung bình của điện tử trong ngtử hydro? trong dây
dẫn cĩ dịng điện chạy qua?
Kiến thức liên quan
• Tốn: tốn tử
• Cơ đại cương
• Cơ lý thuyết
• Điện động lực học
6
Tài liệu tham khảo
1. Cơ học lượng tử - Hồng Dũng NXB Đại học Khoa học Tự nhiên.
2. Cơ học lượng tử - Nguyễn Khắc Nhạp Đại học Sư phạm Tp. HCM.
3. Cơ học lượng tử - Đặng Quang Khang NXB Khoa học và Kỹ thuật 1996.
4. Cơ học lượng tử, Landau.
5. Practical Quantum Mechanics, Siegfried Flugge.
6. Bài tập CƠ HỌC LƯỢNG TỬ, Hồng Dũng, NXB ĐH Quốc gia Tp. 
HCM, 2002.
7. Bài tập VẬT LÝ LÝ THUYẾT tập II, Nguyễn Hữu Mình, NXB Giáo dục, 
1990.
8. Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử (Bài tập và lời giải của các Trường 
Đại học nổi tiếng Hoa Kỳ), Trường ĐHKH&CN Trung Hoa, NXB Giáo 
dục.
7
Một số quy định
• Chuyên cần
• Làm bài tập ở nhà. 
• Chuẩn bị
• Đánh giá
- Quá trình, kiểm tra giữa kì (30%)
- Kiểm tra cuối khĩa (70%)
• Hoạt động phản hồi.
8
Các vấn đề chính
Phần 1: Mở đầu 
1. Các nguyên nhân dẫn đến sự ra đời của cơ học lượng tử
2. Giả thuyết De Broglie. Nguyên lý chồng chất trạng thái.
3. Các đại lượng Vật lý trong cơ học lượng tử. 
4. Phương trình Schrodinger 
5. Sự biến đổi trạng thái theo thời gian. 
Phần 2: Chuyển động một chiều
1. Các dạng chuyển động một chiều đơn giản.
2. Tính chất của các chuyển động một chiều.
3. Mở rộng cho các chuyển động hai, ba chiều. Phương pháp tách biến.
Phần 3: Chuyển động trong trường xuyên tâm
1. Moment động lượng quỹ đạo.
2. Chuyển động trong trường xuyên tâm. Bài tốn nguyên tử hydro.
Phần 4: Lý thuyết nhiễu loạn dừng
Phần 5: Spin. Hệ hạt đồng nhất.
Phần 6: Chuyển động trong điện từ trường. Hiệu ứng Zeemann. 9
Phần 1: Mở đầu
1. Các nguyên nhân dẫn đến sự ra đời của cơ học lượng tử.
2. Giả thuyết De Broglie. Ý nghĩa, tính chất của hàm sĩng. 
Nguyên lý chồng chất trạng thái.
3. Tốn tử. Các đại lượng Vật lý trong cơ học lượng tử.
4. Phương trình Schrodinger 
5. Các tiên đề trong cơ học lượng tử
6. Sự biến đổi trạng thái theo thời gian.
10
1 Sự ra đời của cơ lượng tử
Quan niệm trong cơ học cổ điển:
-Sĩng và hạt là hai dạng tồn tại đối lập nhau.
-Các quy luật của các đối tượng riêng biệt cĩ tính xác định.
- Các quá trình vật lý diễn ra
một cách liên tục.
Bài 1 Sự ra đời của cơ lượng tử
Sự khủng hoảng vật lý học cổ điển khi giải thích kết
quả các hiện tượng mới.
Max Planck Albert Einstein Niels Bohr
Louis de Broglie Erwin Schrodinger Max Born Werner Heisenberg
Bài 1 Sự ra đời của cơ lượng tử
Hiệu ứng quang điện
1. Định luật quang điện thứ nhất (Định luật về giới hạn quang điện)
Hiện tượng quang điện chỉ xãy ra khi ánh sáng kích thích chiếu vào kim loại cĩ bước sĩng
nhỏ hơn hoặc bằng bước sĩng λ0.
λ0 được gọi là giới hạn quang điện của kim loại đĩ:
2. Định luật quang điện thứ hai (Định luật cường độ dịng quang điện bão hịa)
Đối với mỗi ánh sáng thích hợp cĩ λ < λ0 cường dộ dịng quang điện bõa hịa tỉ lệ thuận 
với cường độ của chùm sáng kích thích 
3. Định luật quang điẹn thứ 3 (Định luật về động năng cực đại của các elelctron)
Động năng ban đầu cực đại của các electron khơng phụ thuộc vào cường độ của chùm sáng 
kích thích, mà chỉ phụ thuộc vào bước sĩng của ánh sáng kích thích và bản chất của kim loại 
-Người Đức Rudolt Hertz (1857-1894): 1887
Albert Einstein 
Einstein lúc 4 tuổi. 
Bố Einstein chỉ cho 
cậu cái la bàn bỏ túi, 
và Einstein nhận thấy 
phải cĩ cái gì đĩ làm 
cho kim chuyển 
động, mặc dù rõ ràng 
là "khơng gian trống 
rỗng
Albert Einstein năm 1893 (14 
tuổi). Từ Euclid, Einstein bắt 
đầu hiểu về lý luận logic, đến 12 
tuổi, cậu đã học hình học Euclid. 
Ngay sau đĩ cậu bắt đầu khảo 
cứu giải tích các đại lượng vơ 
cùng bé. 16 tuổi, cậu thực hiện 
thí nghiệm tưởng tượng đầu tiên 
nổi tiếng của mình trong đấy cậu 
hình dung ra sẽ như thế nào khi 
mình chạy cùng với tia sáng.
Conrad Habicht, 
Maurice Solovine và 
Einstein, những 
người lập nên viện 
hàn lâm Olympia
Bảo tàng (nhà) 
Einstein ở 
Kramgasse tại 
Bern, nơi Einstein 
sống cùng với 
người vợ đầu tiên 
trong Năm kỳ diệu
của ơng
Phát xạ vật đen tuyệt đối
Khái niệm lượng tử ra đời
Vật đen: hấp thụ hồn tồn 
năng lượng chiếu tới, 
mọi bước sĩng, mọi gĩc tới
Phát xạ vật đen tuyệt đối
Khái niệm lượng tử ra đời
mT C 
-Định luật dời chỗ Wien 
-Phương trình đường đặc trưng
2
5
1
/: C T
CWien u
e 


4
8: kTRayleigh Jeans u


 
4 /
8:
1kT
Planck u
e 
 



Phổ vạch của nguyên tử
Phổ vạch của nguyên tử
2
1E
n

Nobel Prize in Physics (1922)
a. Tiên đề về các trạng thái dừng
Nguyên tử chỉ tồn tại trong một sồ trạng thái cĩ năng 
lượng xác định, gọi là các trạng thái dừng. Khi ở trong các 
trạng thái dừng thì nguyên tử khơng bức xạ. Trong các trang 
thái dừng của nguyên tử, êlectron chỉ chuyển động quanh hạt 
nhân trên những quỹ đạo cĩ bán kính hồn tồn xác định 
được gọi là quỹ đạo dừng.
b. Tiên đề về sự bức xạ và hấp thụ năng lượng của 
nguyên tử
Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái dừng cĩ 
năng lượng (En) sang trạng thái dừng cĩ năng 
lượng thấp hơn (Em) thì nĩ phát ra một phơtơn cĩ 
năng lượng đúng bằng hiệu En – Em:
ε = hfnm = En – Em
Ngược lại, nếu nguyên tử đang ở trong trạng thái 
cĩ năng lượng Em mà hấp thụ được một phơtơn cĩ 
năng lượng đúng bằng hiệu En – Em thì nĩ chuyển 
lên trạng thái dừng cĩ năng lượng cao En
Hiệu ứng Compton
Nobel Prize for Physics (1927)
September 10, 1892
Wooster, Ohio, USA
21
1. Các hiện tượng Vật lý dẫn đến nghi ngờ về tính 
đúng đắn của VLCĐ? 
2. Mơ tả hiện tượng? Các thí nghiệm phát hiện ra? 
3. Nhà KH nào đã giải thích? Giải thích ntn? 
4. Bế tắc ở đâu? Đề xuất mới?
Bài tập 1001-1006 [8]
2 Giả thuyết sĩng De Broglie (1923)
Trạng thái của hạt trong Cơ học lượng tử 
được mơ tả như thế nào?
Giả thuyết sĩng De Broglie (1923)
23
2
E
p
f
k
h


 
 

 

 
.
,
E p ri t
r t Ae
 
  
  
 
 
• Giả thuyết: một hạt cĩ năng lượng E và xung lượng 
thì nĩ cĩ dạng một sĩng phẳng sao chop

Hạt cĩ năng lượng 1eV 
thì tương ứng với sĩng 
cĩ bước sĩng bao nhiêu?
Câu hỏi: Sĩng phẳng là gì? Số sĩng? Tần số? 
Hằng số Plank cĩ thứ nguyên là gì? => TG vĩ mơ cĩ biểu hiện tính chất sĩng khơng?
Bài tập: Xác định bước sĩng De Broglie của một quả bĩng tennis khối lượng 0.1kg chuyển
động với vận tốc 0.5m/s.
Ý nghĩa vật lý, lịch 
sử?
15 August 1892
Dieppe, France
Nobel Prize in Physics (1929)
Ý nghĩa vật lý, lịch sử của sĩng de Broglie
• Ý nghĩa vật lý: khơng phải là sĩng thực, nĩ chỉ là 
tính chất nội tại của hạt, được biểu hiện qua các hiến 
tượng như giao thoa nhiễu xạ
• Ý nghĩa lịch sử: lần đầu tiên trong lịch sử hạt khẳng 
định được tính chất sĩng của vật chất, đây là nền 
tảng cho cơ học lượng tử.
24
Điều kiện chuẩn hĩa hàm sĩng
• mật độ xác suất tìm thấy hạt
• Hàm sĩng sai khác nhau 1 thừa số pha 
25
   
2 2
, , 1V
V KG
P r t d r r t d r     
   
Câu hỏi: Các điều kiện hàm sĩng phải thỏa?
Cĩ thể khơng chuẩn hĩa hàm sĩng khơng?
Làm sao chuẩn hĩa hàm sĩng? 
 
2
,r t

ie  
Kiểm chứng giả thuyết sĩng De Broglie
• Cho chùm electron nhiễu xạ qua 2 khe
• Hình ảnh giao thoa (vân sáng, tối) bước sĩng, 
năng lượng, động lượng
26
Nguyên lý chồng chất
• Nguyên lý: nếu hạt tồn tại được ở các trạng thái Ψ0, 
Ψ1, , Ψ2, , Ψn thì hệ cũng cĩ thể tồn tại ở trạng 
thái khác là tổ hợp của các trạng thái trên.
• Ý nghĩa chính là xác suất mà hạt cĩ thể tồn tại 
ở trạng thái thứ k.
• Suy ra:
27
0 0 1 1 2 2
1
... n n k k
k
C C C C C


           
2
kC
2 2 2
0 1 ... 1kC C C   
Câu hỏi: So sánh nguyên lý chồng chất trong cơ học lượng tử và cơ học cổ điển.
3. Các tốn tử trong CHLT
Tốn tử: là một phép tốn khi tác dụng lên một hàm sẽ 
tạo ra một hàm mới 
Ví dụ: 
Tốn tử tuyến tính:
Trong CHLT, các đại lượng vật lý được mơ tả bởi các 
tốn tử tuyến tính -> WHY?
   Aˆf x g x
   
   
d f x g x
dx
xf x g x


ˆ ˆ
n n n n
n n
L c c L  
Phép cộng và nhân tốn tử
Phép cộng:
Tính chất: 
Phép nhân:
Tính chất:
Nếu: thì gọi là hai tốn tử giao hốn với nhau
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )C A B Cu x Au x Bu x    
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ. ( ) ( )D A B Du x A Bu x     
ˆ ˆˆ ˆA B B A  
ˆ ˆˆ ˆ. .A B B A
ˆ ˆˆ ˆ. .A B B A ˆ ˆ,A B
Một số tính chất của tốn tử
Giao hốn tử của : 
Phản giao hốn tử :
Tốn tử liên hiệp phức của :
Tốn tử chuyển vị của : 
Tốn tử liên hợp của :
Tốn tử tự liên hợp (hermitic): 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, . .A B A B B A    
 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , . .A B A B A B B A

     
ˆ ˆ,A B
ˆ ˆ,A B
Aˆ * * *ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )Au x v x A u x v x  
Aˆ * *ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )u x Av x dx v x Au x dx        

Aˆ    
*
*ˆ ˆ ˆA A A  
**ˆ ˆ ˆ ˆhay ( ) ( ) ( ) ( )A A u x Av x dx v x A u x dx      
* *ˆ ˆhay ( ) ( ) ( ) ( )u x A v x dx v x Au x dx       
CM?
Thiết lâp dạng các tốn tử 
Các dạng biểu diễn: 
1. Tốn tử tọa độ và xung lượng
2 . Tốn tử momen động lượng
3. Tốn tử năng lượng 
     , , , , , ,x y zx y z p p p E  
ˆ ˆ ˆ, ,
ˆ ˆ ˆ, ,x y z
x x y x z x
p i p i p i
x y z
  
  
     
  
  
ˆ ˆ ˆ
x z y
x z y
L r p
L yp zp
L yp zp i z y
y z
 
 
  
      
  

 
 
2
2
, , ,
2
ˆ , , ,
2
pE V x y z t
m
H V x y z t
m
 
   

ˆ:
ˆ:
A
A





Bài tốn hàm riêng – trị riêng
Khi tốn tử tác dụng lên một hàm số mà thu lại được chính hàm số 
đĩ nhân với một hằng số, ta gọi đây là bài tốn hàm riêng – trị riêng.
Phương trình trị riêng: với
 Phổ trị riêng: gián đoạn hay liên tục.
 Hàm riêng suy biến.
Tốn tử tuyến tính: 
Tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng suy biến cũng là hàm riêng của với cùng 
trị riêng => CM?
ˆ ,A 
Hàm riêng của tốn tử
Trị riêng của tốn tử
Aˆ
Aˆ
 ˆ ˆ ,A A c c c const      
Tính chất hàm riêng, trị riêng 
của tốn tử tuyến tính tự liên hợp
• Trị riêng thực (CM).
• Hệ hàm riêng trực giao và chuẩn hĩa (trực chuẩn).
- Gián đoạn:
- Liên tục:
• Hệ hàm đầy đủ
*
ˆ ( ) ( ) 0 if 
( ) ( )
ˆ 1 if ( ) ( )
n n n
m n nm
m n m
Au x A u x n m
u x u x dx
n mAu x A u x

    
 

*
'
' '
ˆ ( ) ( )
( ) ( ) ( ')
ˆ ( ) ' ( )
A A
A A
A A
Au x A u x
u x u x dx A A
Au x A u x

   
 

Hàm
Delta-
Dirac?
   n n
n
f x c x
Câu hỏi
1. Các đại lượng Vật lý trong CHLT được mơ tả như thế nào? 
Tại sao? 
2. Xác định tốn tử tọa độ, tốn tử xung lượng, tốn tử moment 
động lượng, tốn tử động năng trong biểu diễn tọa độ. 
Chứng minh các tốn tử này tuyến tính hermit. Xác định 
hàm riêng, trị riêng của chúng.
35
1. Giá trị của một đại lượng Vật lý được xác định như thế 
nào trong CHLT? Khi nào ta đo được giá trị chính xác? 
Trị trung bình của một đại lượng Vật lý được xác định 
như thế nào?
2. Khi nào hai đại lượng Vật lý đo được đồng thời?
Trị trung bình
Sử dụng biểu thức định nghĩa:
36
-Hàm sĩng chuẩn hĩa:
- Hàm sĩng chưa chuẩn hĩa:
Sử dụng khai triển hàm sĩng theo các trạng thái riêng của đại lượng A:
   * ˆA x A x dx  
   
 
*
2
ˆx A x dx
A
x dx
 

 

2
2 1
1 2
1
or
ˆ
k k
k k k
k k k
k
k k k
C AC
A C A A
dxA A







   
  
   



CM?
Ký hiệu Dirac
Tích trong
37
Bra-vectơ và Ket vectơ: và
Trị trung bình
   *f x g x dx f g

ˆ ˆA A A     

Đo đồng thời hai đại lượng vật lý
Cho hai tốn tử và tuyến tính hermit. 
Chứng minh:
a. Nếu và cĩ hàm riêng chung thì
.
b. Nếu thì:
- và cĩ hệ hàm riêng chung nếu trị riêng của
chúng khơng suy biến.
- và cĩ các hàm riêng chung nếu cĩ trị riêng
suy biến.
38
Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ ˆ ˆ, 0A B   
ˆ ˆ, 0A B   
Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ
Đo đồng thời hai đại lượng vật lý
39
• Điều kiện để đo được đồng thời hai đại lượng vật lý 
được mơ tả bởi hai tốntử và là hai tốn tử 
này phải giao hốn nhau.
• Ngược lại, nếu hai tốn tử khơng giao hốn nhau thì 
hai đại lượng vật lý tương ứng sẽ khơng đo được 
đồng thời.
Ví dụ: tọa độ và xung lượng
Aˆ Bˆ
Nguyên lý bất định
• Xét hai tốn tử tự liên hợp khơng giao hốn nhau
• Ta chứng minh được
Với
Tìm:
- Hệ thức bất định giữa tọa độ và xung lượng.
- Hệ thức bất định giữa và .
- Hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian 40
ˆ ˆˆ,A B iC   
     22 2 14A B C  
ˆ ˆ ˆ ˆ,A A A B B B     
ˆ
zL 
Bài 4 Phương Trình Schrodinger
• Cách xây dựng
Xuất phát từ sĩng De Broglie
• Hãy chứng minh
Chuyển động của hạt: hạt tự do  trong trường ngồi?
41
   , i t k rr t Ce   
 
   
2 ,
,
2
r t
r t i
m t

  


 
er
Phương trình Schrodinger cho hạt trong trường ngồi
• Động năng 
• Trường ngồi cĩ thế 
42
 ,V r t

     
2 ,
, ,
2
r t
V r t r t i
m t
 
       

  
2
2m
 

• Ý nghĩa pt Schrodinger
   
,
ˆ ,
r t
i H r t
t

 




Các tính chất của phương trình Schrodinger
- Là phương trình tuyến tính  nghiệm thỏa nguyên 
lý chồng chất
- Tuần hồn theo thời gian 
- Nguyên lý nhân quả: 
43
   0t t t   
Phương trình Schrodinger dừng
Trường lực khơng phụ thuộc thời gian :
44
     ,t f t r r
 
   
 
   
   
ˆ
cons
ˆ
t
f t
i Ef tf t Hi E t
f t
H E
t




 
 
    
  

r r
r
r
Pt 
Schrodinger 
dừng
   , ex) p( exp n n
iif t EA E tt t         


  
r r
Trạng thái liên kết và khơng liên kết
- Liên kết: bị giới hạn  phổ gián đoạn
- Khơng liên kết: tự do, khơng bi giới hạn  phổ liên 
tục
45
Schrodinger
46
Nobel Prize in Physics (1933)
Max Planck Medal (1937)
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrưdinger
12 August 1887
Vienna, Austria-Hungary
Trạng thái của mèo, mơ tả theo cách 
hiểu Copenhagen về cơ học lượng tử, 
là chồng chập của sống và chết, cho 
đến khi cĩ người mở hịm ra xem. Thế 
nhưng theo trực giác, trong thế giới vĩ 
mơ, con mèo chỉ cĩ thể ở một trong hai 
trạng thái cơ bản hoặc sống hoặc chết.
Viết phương trình Schrodinger của:
• Hạt mang điện chuyển động trong điện trường đều 
và từ trường đều vuơng gĩc nhau.
• Hạt chuyển động trong trọng trường của TĐ. Mặt 
đất xem như đàn hồi tuyệt đối.
• Điện tử trong nguyên tử hydro.
• Nguyên tử hydro trong điện trường đều.
• Nguyên tử hydro trong từ trường đều.
47
Bài tập
• Phương trình liên tục
• Định lý Ehrenfest 
• Tích phân chuyển động
• Các định luật bảo tồn
48
Bài 5: Biến đổi trạng thái theo thời gian
Cổ điển:
Lượng tử
Xác suất theo thời gian: 
49
Phương trình liên tục
0e ediv jt

 


0div j
t

 


 2 ,
2
ij
m
       
 
0 KGdV P constt



    
 
Tọa độ
Xung lượng
CM: 
50
Phương trình chuyển động
ˆ ˆ ˆ,dx i H x
dt
   
ˆ ˆ ˆ,x x
dp i H p
dt
   
ˆ ˆ ˆˆ ,dA A i H A
dt t
      
x
x x
pd x
dt m
d Vp F
dt x


  

Định lý Ehrenfest: trung bình của những
đại lượng vật lý biến đổi theo thời gian
cùng quy luật với những đại lượng vật lý
tương ứng trong cơ học cổ điển
January 18, 1880
Vienna, Austria
Paul Ehrenfest
Nếu
Thì
51
Tích phân chuyển động
ˆ
0A
t



ˆˆ , 0H A   
ˆ
0dA
dt
 A là một tích phân chuyển động
Định lý 1: Điều kiện đủ để đại lượng A là tích phân
chuyển động là: tốn tử mơ tả nĩ khơng phụ thuộc
tường minh vào thời gian và giao hốn với
Hamiltonian của hệ.
Định lý 2: Nếu Hamiltonian của hệ bất
biến với mộ phép biến đổi tọa độ nào
đĩ thì nĩ giao hốn với tốn tử của
phép biến đổi này
   
            
      
ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ 0
ˆ ˆ, 0
O x x
O H x x H x x H x O x
OH x H x O x
O H
  
     
  
   
1. Định luật bảo tồn năng lượng
- Tính đồng nhất thời gian: 
2. Định luật bảo tồn xung lượng
Xét hạt chuyển động tự do
TH hệ hạt: tự CM
52
Định luật bảo tồn
ˆ ˆ ˆ, 0dH i H H
dt
   
ˆ ˆ ˆ, 0dP i H P
dt
   
Phần 2: Chuyển động một chiều
53
-Các tính chất chung 
-Chuyển động trong hố thế một chiều
-Dao động tử điều hịa.
- Chuyển động trong nhiều hố thế. Cấu trúc vùng năng lượng.
- Chuyển động qua hàng rào thế, hiệu ứng xuyên hầm
- Ứng dụng: Phát xạ của điện tử, sự phân rã alpha
Bài 1: Chuyển động một chiều, các tính chất chung
54
1. Các giá trị riêng thuộc phổ giáng đoạn của phương trình Schrodinger 
một chiều khơng bị suy biến
2. Trạng thái cơ bản, trạng thái kích thích
n=0
n=1
n=2
n=3
Cơ bản
Kích thích 1
Kích thích 2
Kích thích 3
n=1
n=2
n=3
n=4
Cơ bản
Kích thích 1
Kích thích 2
Kích thích 3
Hàm riêng Ψn cắt trục hồnh n lần tại nhưng giá trị x hữu hạn
Chuyển động một chiều, các tính chất chung
55
3. Miền cấm 
V(x)
E
V(x)
E
Cổ điển
Lượng tử
Bài 2: Giếng thế chữ nhật một chiều sâu vơ hạn
56
 
0 0 x a
V x
else
 
 

Phương trình Schrodinger
   
   
2 2
2
2 2
2
ˆ ˆ,
2
2
H E H
m x
E
m x
 
 

  


 



x x
x x
x
V(x)
0 a
Giếng thế chữ nhật một chiều sâu vơ hạn
57
   
   
     
2
2 2
2
2 2
2 0
20
sin cos
mE
x
mE
x
A x B x
 
  
  

 

       
 


x x
x x
x
Với x=0: 
x
V(x)
0 a
     sin 0 cos 0 0A B B     0
Với x=a: 
   sin 0A a a n      a
2 2 2
2
nE
ma



  sin nA x
a

    
 
x
Chuẩn hĩa  
2 sin n x
a a

    
 
x
Giếng thế chữ nhật một chiều sâu vơ hạn, nhận xét
58
1. Năng lượng gián đoạn
2. Năng lương thấp nhất khác 
khơng 
x
V(x)
0 a
1. Năng lượng liên tục, phụ thuộc điều 
kiện ban đầu
2. Năng lương thấp nhất cĩ thể bằng khơng
Cổ điển:
Giếng thế 1 chiều sâu vơ hạn đối xứng sinh viên tự đọc 
sách giáo khoa 
Bài 3: Giếng thế chữ nhật một chiều sâu vơ hạn
59
  0
0
V a x a
V x
else
   
 

Phương trình Schrodinger
     
     
2 2
2
2
ˆ ˆ,
2
2 0
H E H V x
m x
m E V x
 
 

   

      


x x
x x
x
V(x)
0
a-a
V0Miền I
Miền II Miền III
Giếng thế chữ nhật một chiều sâu vơ hạn
60
Xét các trang thái liên kết E<0
   
   1 1
2 2
1 1 2
2
0
k x k x
I III
m E
k k
Ae Be
 
  
   
 

x x
x x
V(x)
0
a-a
Miền I
Miền II Miền III
Nghiệm cho miền I và III
Nghiệm cho miền II
   
 
 
02 2
2 2 2
2 2
2
0
cos sinII
m V E
k k
C k x D k x
 


   
 

x x
x
Hàm sĩng và đạo hàm 
hàm sĩng phải liên tục 
tại biên 
Giếng thế chữ nhật một chiều sâu vơ hạn
61
   
 
1 1
2 2cos sin
k x k x
I III
II
Ae Be
C k x D k x
 

  
 
x x
x
1
1
1
1
2 2
1 2 2 2 2
2 2
1 2 2 2 2
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
k a
k a
k a
k a
Ae C k a D k a
Ak e Ck k a Dk k a
Be C k a D k a
Bk e Ck k a Dk k a




 
 
 
   
1
1
1
1
2 2
2 2 2 2 1
2 2
2 2 2 2 1
cos sin 0
sin cos 0
0
cos sin 0
sin cos 0
k a
k a
k a
k a
k a k a e
k k a k k a k e
k a k a e
k k a k k a k e




 




1 2
2 2
2 1
0k ktgk a tgk a
k k
  
    