Bài giảng 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - Phần 2

 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tới hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
 BÀI GIẢNG 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
---phần 2--- 
Biên soạn: Trịnh Phương Liên 
BÀI TOÁN 2. TÌM GIAO TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
Cách giải 
 Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta làm như sau: 
Cách 1. 
 ớc 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d; 
 ớc 2: Tìm giao tuyến  của (P) và (Q); 
 ớc 3: Trong mặt phẳng (Q), tìm giao điểm I của d và ; 
 ớc 4: Kết luận I chính là giao điểm của d và (P). 
Cách 2. Tìm giao điểm của  với một đường thẳng d thuộc (P). Khi đó, giao điểm của d với  
cũng là giao điểm của và (P). 
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (P) có hai cạnh AD và BC không song song. Gọi 
S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và K  ,K S K B  là điểm trên đoạn thẳng SB. 
a) Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng (SAD) 
b) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mặt phẳng (AKD) 
Giải 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tới hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
a) Do AD và BC không song 
song, nên gọi E là giao điểm 
của AD và BC 
Vì  AD SAD E  là giao điểm 
của đường thẳng SC với (SAD) 
b) Gọi I SO KD  
Trong mp(SAC) có AI SC L  
Ta có  AI AKD L là giao 
điểm của SC với mặt phẳng 
(AKD) 
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB là đáy lớn. Gọi I, J, K là 3 điểm nằm 
trên SA, AB, BC. 
a) Tìm giao tuyến của đường thẳng IK với mp(SBD) 
b) Tìm giao tuyến của mp(IJK) với SC, SD. 
Giải 
a) Chọn mp(SAK) .IK 
Ta đi tìm giao tuyến của  SAK và  SBD . Có S là điểm chung thứ nhất. 
Gọi E AK BD  E là điểm chung thứ hai 
SE là giao tuyến của  SAK và  SBD . 
  .F IK SE IK SBD F     
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tới hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
b) Ta tìm giao tuyến của  SCD và  IJK 
Gọi Q IK CD Q   là điểm chung thứ 
nhất 
Kéo dài AC cắt IK tại P. Ta có IP là 
giao tuyến của hai mặt phẳng (SCA) và 
(IJK) 
Gọi R IP SC R   là điểm chung thứ 
hai. 
giao tuyến của  SCD và  IJK là .QR 
Kéo dài QR SD T  . 
Vậy giao tuyến của mp(IJK) với SC, SD 
lần lượt là R, T. 
Bài tập 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AB. Gọi I và J lần lượt là 
trung điểm của SA, SB và M là điểm tuỳ ý trên SD. 
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC). 
b) Tìm giao điểm K của IM với mặt phẳng (SBC). 
c) Tìm giao điểm N của SC với mặt phẳng (IJM). 
 d) Gọi H là giao điểm của IN và JM. Khi M chạy trên SD, chứng minh rằng H chạy trên một 
đường thẳng cố định. 
HD. 
a) SO với O là giao điểm của AD và BC, 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tới hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
b) Giao của SO và IM, 
c) Giao của SC và KJ, 
d) SG với G là giao của AC và BD. 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh 
SC. 
a. Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mp(SBD). Chứng minh rằng IA = 2IM. 
b. Tìm giao điểm P của đường thẳng SD với mp(ABM). 
c. Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(SBD). 
HD a. Ta có: I =AM SO nên I = AMmp(SBD). AM và SO là hai đường trung tuyến của 
tam giác SAC 
Nên I là trọng tâm tam giác SAC  AI = 2IM 
b. Mp(SBD) chứa SD cắt mp(ABM) theo giáo tuyến BI vì B và I đều là các điểm chung của hai 
mp đó. 
Trong mp(SBD) đường thẳng SD cắt BI tại P. Do đó: P = SDmp(ABM). 
c. Mp(SCN) chứa MN cắt mp(SBD) theo giao tuyến SH, trong đó H = NCBD 
Trong mp(SCN) đường thẳng MN cắt SH tại K. Do đó: K =MNmp(SBD). 
Bài 3. Cho tứ giác ABCD và một điểm  S ABCD . Trên đoạn SC lấy điểm M không trùng với S 
và C . Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM) 
HD. 
Ta có  SD SBD . 
Tìm giao tuyến của (AMB) và (SDB) 
+ Ta có B là điểm chung thứ nhất 
+ Gọi O AC BD  . Trong mặt phẳng (SAC) gọi K AM SO  
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tới hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
K là điểm chung thứ hai 
 giao tuyến của (AMB) và (SDB) là đường thẳng BK. 
Trong mp(SDB) gọi N BK SD  
N là giao điểm của SD và mặt phẳng (ABM). 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh SC. 
a. Tìm giao điểm của AM và mp(SBD) 
b. Lấy một điểm N trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và mp(AMN). 
HD. a. Ta chọn mp(SAC) chứa AM, tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD). 
Gọi O = ACBD. Ta có: SO=mp(SAC) mp(SBD). Giao tuyến SO cắt AM tại I 
Do đó: I(SBD)  I = AMmp(SBD). 
b. Ta chọn mp(SBD) chứa SD, tìm giao tuyến của mp(SBD) và mp(AMN). 
Gọi H = ANBD. Ta có: HI là giao tuyến của hai mp(AMN) và mp(SBD) 
Trong mp(SBD) giao tuyến HI cắt SD tại K. Vậy K = SDmp(AMN). 
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên trong 
DBCD. Tìm giao điểm của: 
a. MN và (ABO). b. AO và (BMN). 
HD a. Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD). 
b. Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO). 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm 
lần lượt trên SA, AB, BC. 
a. Tìm giao điểm của IK với (SBD). 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tới hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
b. Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC. 
HD a. Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK). 
b. Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD và (SCD). 
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lấy hai điểm M, N sao cho MN không song song với 
CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD. 
a. Tìm giao tuyến của (OMN) với (BCD) 
b. Tìm giao điểm của BC với (OMN) 
c. Tìm giao điểm của BD với (OMN) 
HD. a. Gọi    I MN CD OI OMN BCD     . 
b. Gọi  P BC OI P BC OMN     
c. Gọi  Q BD OI Q BD OMN     
Bài 8. Trong mặt phẳng   cho hình thang ABCD , đáy lớn AB. Gọi I, J, K là các điểm trên 
, ,SA AB BC (K không là trung điểm của BC). Tìm giao điểm của : 
a. IK và  SBD b. SD và  IJK 
HD. a. Tìm giao tuyến của  SAK và  SBD . Gọi P AK BD   SAK  SBD SP  . Gọi 
 Q IK SP Q IK SBD     
b. Tìm giao tuyến của  SDB và  IJK . Gọi M JK BD   IJK  SBD QM  . Gọi 
 N QM SD N SD IJK    