30 bài toán chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp

30 BẦI TOÁN CH ỈNH HỢP, HOÁN VỊ, TỔ HỢP
I NHẮC LẠI KIẾN THỨC:
1.- Chỉnh hợp:
*Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi cỏch sắp xếp k phần tử của tập hợp ấy ( 1 k n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy
Số tất cả cỏc chỉnh hợp chập k của n phần tử được kớ hiệu 
* Cụng thức tớnh số chỉnh hợp chập k của n phần tử khỏc nhau: 
2.- Hoỏn vị:
* Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi cỏch sắp xếp n phần tử của tập hợp X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoỏn vị của n phần tử ấy.
Số tất cả cỏc hoỏn vị của n phần tử được kớ hiệu Pn
* Cụng thức tớnh số hoỏn vị của n phần tử Pn = n! ( n! là n giai thừa)
3.- Tổ hợp:
*Định nghĩa: 
Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử trong n phần tử của tập hợp X ( 0 k n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy
Số tất cả cỏc tổ hợp chập k của n phần tử được kớ hiệu 
* Cụng thức tớnh số tổ hợp chập k của n phần tử 
 II.- BẦI TOÁN MẪU
Bài 1:
Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5
a) cú bao nhiờu số tự nhiờn cú ba chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, lập bởi ba trong cỏc chữ số trờn
b) Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 5 chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, lập bởi cả 5 chữ số trờn
c)Cú bao nhiờu cỏch chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trờn
Giải:
a) Số tự nhiờn cú ba chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, lập bởi ba trong cỏc chữ số trờn là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: 
 = (5!): ( 5 – 3)! = 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số
b) Số tự nhiờn cú 5 chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, lập bởi cả 5 chữ số trờn là hoỏn vị cua 5 phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử):
 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số
c) cỏch chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trờn là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử:
= (5!): [(3!).(5 – 3)! ] = nhúm
Bài 2:
Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dựng 5 chữ số này:
a) Lập được bao nhiờu số tự nhiờn cú 4 chữ số trong đú khụng cú chữ số nào lặp lại? Tớnh tổng cỏc số lập được
b) Lập được bao nhiờu số chẵn cú 5 chữ số khỏc nhau?
c) Lập được bao nhiờu số tự nhiờn cú 5 chữ số, trong đú hai chữ số kề nhau phải khỏc nhau
d) Lập được bao nhiờu số tự nhiờn cú 4 chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, trong đú cú hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn
Giải
a) Số tự nhiờn cú 4 chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, lập bởi 4 trong cỏc chữ số trờn là chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử: 
 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số
Trong mỗi hang (Nghỡn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số cú mặt: 120 : 5 = 24 lần
Tổng cỏc chữ số ở mỗi hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 24 = 15 . 24 = 360
Tổng cỏc số được lập:
 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960
b) Là số chẵn, Chữ số tận cựng cú 2 cỏch chọn (là 2 hoặc 4)
bốn chữ số trước là hoỏn vị của của 4 chữ số cũn lại và cú 
 P4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cỏch chọn
 ố Tất cả cú 24 . 2 = 48 cỏch chọn
c) Cỏc số phải lập cú dạng , trong đú : a cú 5 cỏch chọn, b cú 4 cỏch chọn (khỏc a), c cú 4 cỏch chọn (khỏc b), d cú 4 cỏch chọn (khỏc c), e cú 4 cỏch chọn (khỏc d)
 ố Tất cả cú: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 số
d) Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn, cú 1 cỏch chọn
chọn 2 trong 3 chữ số lẻ, cú 3 cỏch chọn. Cỏc chữ số cú thể hoỏn vị, do đú cú: 
 1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số
Bài 3: 
Cho xAy 1800. Trờn Ax lấy 6 điểm khỏc A, trờn Ay lấy 5 điểm khỏc A. trong 12 điểm núi trờn (kể cả điểm A), hai điểm nào củng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng.
Cú bao nhiờu tam giỏc mà cỏc đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy ?
Giải
Cỏch 1: Tam giỏc phải đếm gồm ba loại:
+ Loại 1: cỏc tam giỏc cú một đỉnh là A, đỉnh thứ 2 thuộc Ax (cú 6 cỏch chọn), đỉnh thứ 3 thuộc Ay (cú 5 cỏch chọn), gồm cú: 6 . 5 = 30 tam giỏc
+ Loại 2: 
Cỏc tam giỏc cú 1 đỉnh là 1 trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, B5 (cú 5 cỏch chọn), 
hai đỉnh kia là 2 trong 6 điểm
 A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Cú cỏch chọn) 
 à Gồm 5 . 15 = 75 tam giỏc 
+ Loại 3: Cỏc tam giỏc cú 1 đỉnh là 1 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh kia là 2 trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm cú: 6. tam giỏc
 ố Tất cả cú: 30 + 75 + 60 = 165 tam giỏc
*Cỏch 2: 
số cỏc tam giỏc chọn 3 trong 12 điểm ấy là 
 Số bộ 3 điểm thẳng hang trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 
Số bộ 3 điểm thẳng hang trong 6 điểm thuộc tia Ay là: 
 ố Số tam giỏc tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giỏc
III.- BÀI TẬP:
1/-Chỉnh hợp. 
Bài 1. Từ cỏc số 1,2,3,4,5,6 lập bao nhiờu số cú 4 chữ số đụi một khỏc nhau ? 
Bài 2. Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 5 chữ số đụi một khỏc nhau ? 
Bài 3. Từ cỏc số 0,1,3,5,7 lập bao nhiờu số gồm 4 chữ số khỏc nhau: 
 a. Chia hết cho 5 ? 
 b. Khụng chia hết cho 5 ? 
Bài 4. Từ cỏc số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiờu số cú 5 chữ số khỏc nhau trong đú: 
 a. Số tạo thành là số chẵn ? 
 b. Một trong 3 chữ số đầu tiờn phải cú mặt số 1 ? 
 c. Nhất thiết phải cú mặt chữ số 5 ? 
 d. Phải cú mặt hai số 0 và 1 ? 
Bài 5. Từ cỏc số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc bao nhiờu số cú 3 chữ số khỏc nhau và nhỏ hơn 276 
2/ Tổ hợp. 
Bài 6. Đề thi trắc nghiệm cú 10 cõu hỏi . Học sinh cần chọn trả lời 8 cõu. 
 a. Hỏi cú mấy cỏch chọn tuỳ ý ? 
 b. Hỏi cú mấy cỏch chọn nếu 3 cõu ủầu là bắt buộc ? 
 c. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn 4 trong 5 cõu ủầu và 4 trong 5 cõu sau? 
Bài 7. Một tổ cú 12 học sinh. Thầy giỏo cú 3 ủề kiểm tra khỏc nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đ ề kiểm tra. Hỏi cú mấy cỏch chọn ? 
Bài 8. Cú 5 tem thư khỏc nhau và 6 bỡ thư khỏc nhau. Người ta muốn chọn từ ủú ra 3 tem thư và 3 bỡ thư và dỏn 3 tem thư lờn 3 bỡ thư ủó chọn. Mỗi bỡ thư chỉ dỏn 1 tem. Hỏi cú bao nhiờu cỏch làm như thế ? 
Bài 9. Một lớp cú 20 học sinh trong ủú cú 2 cỏn bộ lớp. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn 3 người ủi dự Hội nghị sao cho trong ủú cú ớt nhất 1 cỏn bộ lớp ? 
Bài 10. Cú 5 nhà Toỏn học nam, 3 nhà Toỏn học nữ và 4 nhà Vật lý. Muốn lập một Đoàn cụng tỏc cú 3 nguời gồm cả nam lẫn nữ, cần cú nhà Toỏn học lẫn Vật lý. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn ? 
Bài 11. Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong ủú cú 6 nữ, 4 nam. Cú bao nhiờu cỏch chia ủội văn nghệ: 
 a. Thành hai nhúm cú số nguời bằng nhau và mỗi nhúm cú số nữ bằng nhau ? 
 b. Cú bao nhiờu cỏch chọn 5 người trong ủú khụng quỏ một nam ? 
Bài 12. Cú hai đường thẳng song song d1 và d2. Trờn d1 lấy 15 ủiểm phõn biệt, trờn d2 lấy 9 điểm phõn biệt. Hỏi cú bao nhiờu tam giỏc mà cú 3 đỉnh là cỏc điểm đó lấy ? 
Bài 13. Một ủội thanh niờn tỡnh nguyện cú 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch phõn cụng đội thanh niờn tỡnh nguyện đú về giỳp ủỡ ba tỉnh miền nỳi sao cho mỗi tỉnh cú 4 nam và 1 nữ ? 
Bài 14. Trong một mụn học, thầy giỏo cú 30 cõu hỏi khỏc nhau gồm 5 cõu hỏi 
khú, 10 cõu trung bỡnh và 15 cõu dễ. Từ 30 cõu hỏi đú lập ủược bao nhiờu Đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 cõu hỏi khỏc nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải cú đủ 3 loại cõu hỏi và số cõu hỏi dễ khụng ớt hơn 2 ? 
Bài 15. Đội TNXK của một trường cú 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A ; 4 học sinh lớp B ; 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc khụng quỏ 2 trong 3 lớp trờn. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn như vậy ? 
Bài 16. Đội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em gồm 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Cử 8 em đi dự trại hố sao cho mỗi khối cú ớt nhất 1 em. Hỏi cú bao nhiờu cỏch cử như vậy ? 
Bài 17. Một dạ tiệc cú 10 nam và 6 nữ biết khiờu vũ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn ra 3 nam và 3 nữ để ghộp thành 3 cặp nhảy ? 
Bài 18. Bill Gate cú 5 người bạn thõn.ễng muốn mời 5 trong số họ đi chơi xa .Trong 11 người này cú 2 người khụng muốn gặp mặt nhau. Hỏi ngài tỷ phỳ cú bao nhiờu cỏch mời ? 
Bài 19 Một Đội thanh niờn tỡnh nguyện cú 15 người gồm 12 nam và 3 nữ .Hỏi cú bao nhiờu cỏch phõn cụng đội tỡnh nguyện đú về 3 tỉnh miền nỳi sao cho mỗi tỉnh ủều cú 4 nam và 1 nữ ? 
Bài 20. Cho đa giỏc đều 2n đỉnh gồm cỏc đỉnh A1,A2,....A2n (nẻN và n ≥ 2) nội tiếp đường trũn (O). Biết rằng số tam giỏc cú đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1, A2,....,A2n nhiều gấp 20 lần số hỡnh chữ nhật cú cỏc đỉnh là 4 trong 2n đỉnh A1, A2,....,A2n. Tỡm n
Tổng hợp: 
Bài 21. Cú thể lập bao nhiờu số cú 8 chữ số từ cỏc số 1,2,3,4,5,6. trong ủú 1 và 6 cú mặt hai lần, cỏc số cũn lại 1 lần ? 
Bài 22. 
Cú bao nhiờu số chẵn gồm 6 chữ số khỏc nhau trong ủú chữ số ủầu tiờn là số lẻ ? 
Bài 23. Cú bao nhiờu số gồm 6 chữ số khỏc nhau trong ủú cú ủỳng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ ? 
Bài 24, Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 6 chữ số đ ụi một khỏc nhau trong ủú cú mặt số 0 nhưng khụng cú mặt số 1? 
Bài 25 . Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 7 chữ số biết rằng số 2 cú mặt 2 lần, số 3 cú mặt 3 lần, cỏc chữ 
số cũn lại khụng quỏ một lần ? 
Bài 26.Cho hai ủường thẳng d1// d2. Trờn đường thẳng d1 lấy 10 ủiểm phõn biệt, trờn 
Bài 27: cho 5 số: 0, 1, 2, 3, 4. từ cỏc chữ số trờn cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn:
a) Cú 5 chữ số gồm cả 5 chữ số ấy?
b) Cú 4 chữ số, cú cỏc chữ số khỏc nhau?
c) cú 3 chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau?
d) cú 3 chữ số, cỏc chữ số cú thể giống nhau?
Bài 28: Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 4 chữ số lập bởi cỏc chữ số 1, 2, 3 biết rằng số đú chia hết cho 9
Bài 29: Trờn trang vở cú 6 đường kẻ thẳng đứng và 5 đường kẻ nằm ngang đụi một cắt nhau. Hỏi trờn trang vở đú cú bao nhiờu hỡnh chữ nhật
Bài 30 . Đường thẳng xy cú n điểm phõn biệt (n >1). Biết rằng cú 2800 tam giỏc cú Ít nhất 1 đỉnh là cỏc điểm n đó cho. Tỡm n
PHH sưu tầm & GT 11/2015