20 Đề ôn thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán

 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 1 
 Đề 1 
Bài 1 : (2 điểm) 
a) Tớnh : 
b) Giải hệ phương trỡnh : 
Bài 2 : (2 điểm) 
Cho biểu thức : 
a) Rỳt gọn A. 
b) Tỡm x nguyờn để A nhận giỏ trị nguyờn. 
Bài 3 : (2 điểm) 
Một ca nụ xuụi dũng từ bến sụng A đến bến sụng B cỏch nhau 24 km ; cựng lỳc 
đú, cũng từ A về B một bố nứa trụi với vận tốc dũng nước là 4 km/h. Khi đến B 
ca nụ quay lại ngay và gặp bố nứa tại địa điểm C cỏch A là 8 km. Tớnh vận tốc 
thực của ca nụ. 
Bài 4 : (3 điểm) 
Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R, hai điểm C và D thuộc đường trũn, B là 
trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kớnh BA ; trờn tia đối của tia AB lấy 
điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. 
a) Chứng minh ∠ BMD = ∠ BAC, từ đú => tứ giỏc AMHK nội tiếp. 
b) Chứng minh : HK // CD. 
c) Chứng minh : OK.OS = R2. 
Bài 5 : (1 điểm) 
Cho hai số a và b khỏc 0 thỏa món : 1/a + 1/b = 1/2 
Chứng minh phương trỡnh ẩn x sau luụn cú nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) 
= 0. 
 H−ớng dẫn giải 
Bài 3: 
Do ca nô xuất phát từ A cùng với bè nứa nên thời gian của ca nô bằng thời gian bè nứa: 
8
2
4
= (h) 
Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h) (x>4) 
Theo bài ta có: 
24 24 8 24 16
2 2
4 4 4 4x x x x
−
+ = ⇔ + =
+ − + −
2 02 40 0
20
x
x x
x
=
⇔ − = ⇔ 
=
Vởy vận tốc thực của ca nô là 20 km/h 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 2 
Bài 4: 
a) Ta có 
 
BC BD= (GT) → 
 
BMD BAC= (2 góc 
nội tiếp chắn 2 cung băng nhau) 
* Do 
 
BMD BAC= → A, M nhìn HK d−ời 1 góc 
bằng nhau → MHKA nội tiếp. 
b) Do BC = BD (do 
 
BC BD= ), OC = OD (bán 
kính) → OB là đ−ờng trung trực của CD 
→ CD ⊥ AB (1) 
Xet MHKA: là tứ giác nội tiếp, 
 090AMH = (góc 
nt chắn nửa đ−ờng tròn) → 
 0 0 0180 90 90HKA = − = 
(đl) 
→ HK ⊥ AB (2) 
Từ 1,2 → HK // CD 
H K
M A
B
O
C D
S
Bài 5: 
2
2 2
2
0 (*)
( )( ) 0
0 (**)
x ax b
x ax b x bx a
x bx a
 + + =
+ + + + = ⇔ 
+ + =
(*) → 4b2∆ = α − , Để PT có nghiệm 2 2 1 14 0 4
2
a b a b
a b
− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ (3) 
(**) → 2 4b a∆ = − Để PT có nghiệm thì 2 1 14 0
2
b a
b a
− ≥ ⇔ ≥ (4) 
Cộng 3 với 4 ta có: 
1 1 1 1
2 2a b a b
+ ≥ + 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 4 4 4 4 8 42 2 a b a ba b
 
⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ 
 
 (luôn luôn đúng với mọi a, b) 
De 2 
Đề thi gồm cú hai trang. 
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : (4 điểm) 
1. Tam giỏc ABC vuụng tại A cú 
3
tg
4
B = . Giỏ trị cosC bằng : 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 3 
a). 
3
cos
5
C = ; b). 
4
cos
5
C = ; c). 
5
cos
3
C = ; d). 
5
cos
4
C = 
2. Cho một hỡnh lập phương cú diện tớch toàn phần S1 ; thể tớch V1 và một hỡnh cầu cú 
diện tớch S2 ; thể tớch V2. Nếu S1 = S2 thỡ tỷ số thể tớch 1
2
V
V
 bằng : 
a). 1
2
V 6
V pi
= ; b). 1
2
V
V 6
pi
= ; c). 1
2
V 4
V 3pi
= ; d). 1
2
V 3
V 4
pi
= 
3. Đẳng thức 4 2 28 16 4x x x− + = − xảy ra khi và chỉ khi : 
a). x ≥ 2 ; b). x ≤ –2 ; c). x ≥ –2 và x ≤ 2 ; d). x ≥ 2 hoặc x ≤ –2 
4. Cho hai phương trỡnh x2 – 2x + a = 0 và x2 + x + 2a = 0. Để hai phương trỡnh cựng 
vụ nghiệm thỡ : 
a). a > 1 ; b). a < 1 ; c). 
1
8
a > ; d). 
1
8
a < 
5. Điều kiện để phương trỡnh 2 2( 3 4) 0x m m x m− + − + = cú hai nghiệm đối nhau là : 
a). m < 0 ; b). m = –1 ; c). m = 1 ; d). m = – 4 
6. Cho phương trỡnh 2 4 0x x− − = cú nghiệm x1 , x2. Biểu thức 
3 3
1 2A x x= + cú giỏ trị : 
a). A = 28 ; b). A = –13 ; c). A = 13 ; d). A = 18 
7. Cho gúc α nhọn, hệ phương trỡnh 
sin cos 0
cos sin 1
x y
x y
α α
α α
− =

+ =
 cú nghiệm : 
a). 
sin
cos
x
y
α
α
=

=
 ; b). 
cos
sin
x
y
α
α
=

=
 ; c). 
0
0
x
y
=

=
 ; d). 
cos
sin
x
y
α
α
= −

= −
8. Diện tớch hỡnh trũn ngoại tiếp một tam giỏc đều cạnh a là : 
a). 2api ; b). 
23
4
api
 ; c). 23 api ; d). 
2
3
api
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 4 
PHẦN 2. TỰ LUẬN : (16 điểm) 
Cõu 1 : (4,5 điểm) 
1. Cho phương trỡnh 4 2 2( 4 ) 7 1 0x m m x m− + + − = . Định m để phương trỡnh cú 4 
nghiệm phõn biệt và tổng bỡnh phương tất cả cỏc nghiệm bằng 10. 
2. Giải phương trỡnh: 2 2
4 2
3
5 3 ( 1)
1
x x
x x
+ = +
+ +
Cõu 2 : (3,5 điểm) 
1. Cho gúc nhọn α. Rỳt gọn khụng cũn dấu căn biểu thức : 
 2 2cos 2 1 sin 1P α α= − − + 
2. Chứng minh: ( )( )4 15 5 3 4 15 2+ − − = 
Cõu 3 : (2 điểm) 
Với ba số khụng õm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức : 
 ( )21
3
a b c ab bc ca a b c+ + + ≥ + + + + + 
Khi nào đẳng thức xảy ra ? 
Cõu 4 : (6 điểm) 
Cho 2 đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phõn biệt. Đường thẳng 
OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần 
lượt tại điểm thứ hai E, F. 
1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. 
2. Chứng minh tứ giỏc BEIF nội tiếp được trong một đường trũn. 
3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)). Chứng minh 
đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ. 
-----HẾT----- 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 5 
ĐÁP ÁN 
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : (4 điểm) 0,5đ ì 8 
Cõu 1 2 3 4 5 6 7 8 
a). x x 
b). x x 
c). x x 
d). x x 
PHẦN 2. TỰ LUẬN : 
Cõu 1 : (4,5 điểm) 
1. 
Đặt X = x2 (X ≥ 0) 
Phương trỡnh trở thành 4 2 2( 4 ) 7 1 0X m m X m− + + − = (1) 
Phương trỡnh cú 4 nghiệm phõn biệt ⇔ (1) cú 2 nghiệm phõn biệt dương + 
0
0
0
S
P
∆ >

⇔ >
 >
2 2
2
( 4 ) 4(7 1) 0
4 0
7 1 0
m m m
m m
m
 + − − >

⇔ + >

− >

(I) + 
Với điều kiện (I), (1) cú 2 nghiệm phõn biệt dương X1 , X2. 
⇒ phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm x1, 2 = 1X± ; x3, 4 = 2X± 
2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 22( ) 2( 4 )x x x x X X m m⇒ + + + = + = + + 
Vậy ta cú 2 2
1
2( 4 ) 10 4 5 0
5
m
m m m m
m
=
+ = ⇒ + − = ⇒ 
= −
 + 
Với m = 1, (I) được thỏa món + 
Với m = –5, (I) khụng thỏa món. + 
Vậy m = 1. 
2. 
Đặt 4 2 1t x x= + + (t ≥ 1) 
Được phương trỡnh 
3
5 3( 1)t
t
+ = − + 
 3t2 – 8t – 3 = 0 
 ⇒ t = 3 ; 
1
3
t = − (loại) + 
Vậy 4 2 1 3x x+ + = 
⇒ x = ± 1. + 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 6 
Cõu 2 : (3,5 điểm) 
1. 
2 2 2 2cos 2 1 sin 1 cos 2 cos 1P α α α α= − − + = − + 
2cos 2cos 1P α α= − + (vỡ cosα > 0) + 
2(cos 1)P α= − + 
1 cosP α= − (vỡ cosα < 1) + 
2. 
( )( ) ( ) ( ) ( )24 15 5 3 4 15 5 3 4 15 4 15+ − − = − + − + 
 = ( )5 3 4 15− + 
 = ( ) ( )25 3 4 15− + + 
 = ( )( )8 2 15 4 15− + + 
 = 2 + 
Cõu 3 : (2 điểm) 
( )2 0 2a b a b ab− ≥ ⇒ + ≥ + 
Tương tự, 2a c ac+ ≥ 
 2b c bc+ ≥ 
1 2a a+ ≥ + 
1 2b b+ ≥ 
1 2c c+ ≥ 
Cộng vế với vế cỏc bất đẳng thức cựng chiều ở trờn ta được điều phải chứng minh. 
 + 
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 
 + 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 7 
Cõu 4 : (6 điểm) 
+ 
1. 
Ta cú : ABC = 1v 
 ABF = 1v 
⇒ B, C, F thẳng hàng. + 
AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giỏc ACF nờn chỳng đồng quy. ++ 
2. 
ECA = EBA (cựng chắn cung AE của (O) + 
Mà ECA = AFD (cựng phụ với hai gúc đối đỉnh) + 
⇒ EBA = AFD hay EBI = EFI + 
⇒ Tứ giỏc BEIF nội tiếp. + 
3. 
Gọi H là giao điểm của AB và PQ 
Chứng minh được cỏc tam giỏc AHP và PHB đồng dạng + 
⇒ 
HP HA
HB HP
= ⇒ HP2 = HA.HB + 
Tương tự, HQ2 = HA.HB + 
⇒ HP = HQ ⇒ H là trung điểm PQ. + 
Lưu ý : 
- Mỗi dấu “+” tương ứng với 0,5 điểm. 
- Cỏc cỏch giải khỏc được hưởng điểm tối đa của phần đú. 
- Điểm từng phần, điểm toàn bài khụng làm trũn. 
 Đề 3 
I.Trắc nghiệm:(2 điểm) 
O O’ 
B 
A
C 
D
E
F
I
P 
Q
H
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 8 
H[y ghi lại một chữ cái đứng tr−ớc khẳng định đúng nhất. 
Câu 1: Kết quả của phép tính ( )8 18 2 98 72 : 2− + là : 
A . 4 B . 5 2 6+ C . 16 D . 44 
Câu 2 : Giá trị nào của m thì ph−ơng trình mx2 +2 x + 1 = 0 có hai nghiệm phân 
biệt : 
A. 0m ≠ B. 1
4
m < C. 0m ≠ và 1
4
m < D. 0m ≠ và 1m < 
Câu 3 :Cho ABC
 nội tiếp đ−ờng tròn (O) có 
 
0 060 ; 45B C= = . Sđ 
BC là: 
A . 750 B . 1050 C . 1350 D . 1500 
Câu 4 : Một hình nón có bán kính đ−ờng tròn đáy là 3cm, chiều cao là 4cm thì 
diện tích xung quanh hình nón là: 
A 9pi (cm2) B. 12pi (cm2) C . 15pi (cm2) D. 18pi (cm2) 
II. Tự Luận: (8 điểm) 
Câu 5 : Cho biểu thức A= 1 2
1 1
x x x x
x x
+ − +
+
− +
 a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa. 
 b) Rút gọn biểu thức A. 
 c) Với giá trị nào của x thì A<1. 
Câu 6 : Hai vòi n−ớc cùng chảy vào một bể thì đầy bể sau 2 giờ 24 phút. Nếu chảy 
riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. 
Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể? 
Câu 7 : Cho đ−ờng tròn tâm (O) đ−ờng kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm 
C (AB>BC). Vẽ đ−ờng tròn tâm (O') đ−ờng kính BC.Gọi I là trung điểm 
của AC. Vẽ dây MN vuông góc với AC tại I, MC cắt đ−ờng tròn tâm O' tại 
D. 
 a) Tứ giác AMCN là hình gì? Tại sao? 
b) Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp? 
 c) Xác định vị trí t−ơng đối của ID và đ−ờng tròn tâm (O) với đ−ờng tròn 
tâm (O'). 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 9 
 Đáp án 
Câu Nội dung Điểm 
1 C 0.5 
2 D 0.5 
3 D 0.5 
4 C 0.5 
5 
a) A có nghĩa ⇔
0
1 0
x
x
≥

− ≠
⇔
0
1
x
x
≥

≠
0.5 
b) A=
( ) ( )21 1
1 1
x x x
x x
− +
+
− +
0.5 
 = 1x x− + 0.25 
 =2 1x − 0.25 
 c) A<1 ⇒ 2 1x − <1 0.25 
 ⇒ 2 2x < 0.25 
 ⇒ 1x < ⇒x<1 0.25 
 Kết hợp điều kiện câu a) ⇒ Vậy với 0 1x≤ < thì A<1 0.25 
6 2giờ 24 phút=12
5
 giờ 
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ) ( Đk 
x>0) 
0.25 
 Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: x+2 (giờ) 
 Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy đ−ợc : 1
x
(bể) 0.5 
 Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy đ−ợc : 1
2x +
(bể) 
 Trong 1 giờ cả hai vòi chảy đ−ợc : 1
x
+ 1
2x +
(bể) 
 Theo bài ra ta có ph−ơng trình: 1
x
+ 1
2x +
= 1
12
5
 0.25 
 Giaỉ ph−ơng trình ta đ−ợc x1=4; x2=-
6
5
(loại) 0.75 
 Vậy: Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là:4 giờ 
 Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: 4+2 =6(giờ) 
0.25 
7 Vẽ hình và ghi gt, kl đúng 0.5 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 10
I
D
N
M
O'O
A
C
B
 a) Đ−ờng kính AB ⊥ MN (gt) ⇒ I là trung điểm của MN (Đ−ờng 
kính và dây cung) 
0.5 
 IA=IC (gt) ⇒Tứ giác AMCN có đ−ơng chéo AC và MN cắt nhau tại 
trung điểm của mỗi đ−ờng và vuông góc với nhau nên là hình thoi. 
0.5 
 b) 
 090ANB = (góc nội tiếp chắn 1/2 đ−ờng tròn tâm (O) ) 
⇒BN ⊥ AN. 
 AN// MC (cạnh đối hình thoi AMCN). 
⇒BN ⊥ MC (1) 
 
 090BDC = (góc nội tiếp chắn 1/2 đ−ờng tròn tâm (O') ) 
BD ⊥ MC (2) 
 Từ (1) và (2) ⇒ N,B,D thẳng hàng do đó 
 090NDC = (3). 

 090NIC = (vì AC ⊥ MN) (4) 
0.5 
 Từ (3) và (4) ⇒N,I,D,C cùng nằm trên đ−ờng tròn đ−ờng kính NC 
 ⇒ Tứ giác NIDC nội tiếp 0.5 
 c) O∈BA. O'∈BC mà BA vafBC là hai tia đối nhau ⇒B nằm giữa O 
và O' do đó ta có OO'=OB + O'B ⇒ đ−ờng tròn (O) và đ−ờng tròn 
(O') tiếp xúc ngoài tại B 
0.5 

 MDN vuông tại D nên trung tuyến DI = 1
2
MN =MI ⇒ 
 MDI cân 
⇒ 
 
IMD IDM= . 
 T−ơng tự ta có
 
' 'O DC O CD= mà 
 
 0' 90IMD O CD+ = (vì 
 090MIC = ) 
0.25 
 ⇒ 
 
 0' 90IDM O DC+ = mà 
 0180MDC = ⇒ 
 0' 90IDO = 
 do đó ID ⊥ DO ⇒ ID là tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O'). 0.25 
Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 11
 Đề 4 
Câu1 : Cho biểu thức 
 A=
2
)1(
:
1
1
1
1
2
2233
−
−






−
+
+






+
−
−
x
xx
x
x
x
x
x
x
Với x≠ 2 ;±1 
 .a, Ruý gọn biểu thức A 
 .b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x= 226 + 
 c. Tìm giá trị của x để A=3 
 Câu2.a, Giải hệ ph−ơng trình: 



=+
=−+−
1232
4)(3)( 2
yx
yxyx
 b. Giải bất ph−ơng trình: 
3
1524
2
23
++
−−−
xx
xxx
<0 
 Câu3. Cho ph−ơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0 
Xác định m để ph−ơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) 
Câu 4. Cho nửa đ−ờng tròn tâm O , đ−ờng kính BC .Điểm A thuộc nửa đ−ờng tròn đó 
D−ng hình vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi Flà giao 
điểm của AE và nửa đ−ờng tròn (O) . Gọi Klà giao điểm của CF và ED 
a. Chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đ−ờng tròn 
b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ? 
đáp án 
Câu 1: a. Rút gọn A=
x
x 22 −
b.Thay x= 226 + vào A ta đ−ợc A = 
226
224
+
+
c. A = 3 x2-3x-2 = 0=> x = 
2
173 ±
Câu 2 : a)Đặt x - y= a ta đ−ợc pt: a2+3a=4 => a=-1; a=-4 
Từ đó ta có



=+
=−+−
1232
4)(3)( 2
yx
yxyx
* 



=+
=−
1232
1
yx
yx
(1) 
 *



=+
−=−
1232
4
yx
yx
(2) 
Giải hệ (1) ta đ−ợc x=3, y=2 
Giải hệ (2) ta đ−ợc x=0, y=4 
Vậy hệ ph−ơng trình có nghiệm là x=3, y=2 hoặc x=0; y=4 
b) Ta có x3- 4x2- 2x- 15 = (x-5)(x2+x+3) 
mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 với mọi x 
Vậy bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với x-5>0 =>x>5 
Câu 3: Ph−ơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 
• Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 12
O
K
F
E
D
CB
A
• Xét 2m-1≠0=> m≠ 1/2 khi đó ta có 
,∆ = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m 
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) 
với m≠ 1/2 pt còn có nghiệm x=
12
1
−
+−
m
mm
=
12
1
−m
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
12
1
−m
<0 




<−
>+
−
012
01
12
1
m
m =>




<−
>
−
012
0
12
2
m
m
m
=>m<0 
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0 
Câu 4: 
a. Ta có ∠ KEB= 900 
mặt khác ∠ BFC= 900( góc nội tiếp chắn nữa đ−ờng tròn) 
do CF kéo dài cắt ED tại D 
=> ∠ BFK= 900 => E,F thuộc đ−ờng tròn đ−ờng kính BK 
hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đ−ờng tròn đ−ờng kính BK. 
b. ∠ BCF= ∠ BAF 
Mà ∠ BAF= ∠ BAE=450=> ∠ BCF= 450 
Ta có ∠ BKF= ∠ BEF 
Mà ∠ BEF= ∠ BEA=450(EA là đ−ờng chéo của hình vuông ABED)=> ∠ BKF=450 
Vì ∠ BKC= ∠ BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân tại B 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 13
Đề 5 
Bài 1: Cho biểu thức: P = ( )






−
+−








+
+
−
−
−
1
122
:
11
x
xx
xx
xx
xx
xx 
a,Rút gọn P 
b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên. 
Bài 2: Cho ph−ơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*) 
a.Tìm m để ph−ơng trình (*) có 2 nghiệm âm. 
b.Tìm m để ph−ơng trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả m[n 
3
2
3
1 xx − =50 
Bài 3: Cho ph−ơng trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm d−ơng phân biệt x1, x2Chứng 
minh: 
a,Ph−ơng trình ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm d−ơng phân biệt t1 và t2. 
b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 ≥ 4 
Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đ−ờng tròn tâm O . H là trực tâm 
của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. 
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành. 
b, Gọi P và Q lần l−ợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đ−ờng thẳng AB 
và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng. 
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất. 
Bài 5: Cho hai số d−ơng x; y thoả m[n: x + y ≤ 1 
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 
xyyx
5011
22
+
+
Đáp án 
Bài 1: (2 điểm). ĐK: x 1;0 ≠≥ x 
a, Rút gọn: P = 
( )
( )
( )
1
12
:
1
12
2
−
−
−
−
x
x
xx
xx z
 P = 
1
1
)1(
1
2
−
+
=
−
−
x
x
x
x
b. P = 
1
2
1
1
1
−
+=
−
+
xx
x
Để P nguyên thì 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 14
)(121
9321
0011
4211
Loaixx
xxx
xxx
xxx
−=⇒−=−
=⇒=⇒=−
=⇒=⇒−=−
=⇒=⇒=−
Vậy với x= { }9;4;0 thì P có giá trị nguyên. 
Bài 2: Để ph−ơng trình có hai nghiệm âm thì: 
( ) ( )






<+=+
>−+=
≥−+−+=∆
012
06
06412
21
2
21
22
mxx
mmxx
mmm
 3
2
1
0)3)(2(
025
−<⇔







−<
>+−
>=∆
⇔ m
m
mm 
b. Giải ph−ơng trình: ( ) 50)3(2 33 =+−− mm 







−−
=
+−
=
⇔
=−+⇔=++⇔
2
51
2
51
0150)733(5
2
1
22
m
m
mmmm
Bài 3: a. Vì x1 là nghiệm của ph−ơng trình: ax
2 + bx + c = 0 nên ax1
2 + bx1 + c =0. . 
Vì x1> 0 => c. .0
1
.
1
1
2
1
=++





a
x
b
x
 Chứng tỏ 
1
1
x
 là một nghiệm d−ơng của ph−ơng 
trình: ct2 + bt + a = 0; t1 = 
1
1
x
 Vì x2 là nghiệm của ph−ơng trình: 
ax2 + bx + c = 0 => ax2
2 + bx2 + c =0 
vì x2> 0 nên c. 0
1
.
1
2
2
2
=+





+





a
x
b
x
 điều này chứng tỏ 
2
1
x
 là một nghiệm d−ơng của 
ph−ơng trình ct2 + bt + a = 0 ; t2 = 
2
1
x
Vậy nếu ph−ơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm d−ơng phân biệt x1; x2 thì 
ph−ơng trình : ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm d−ơng phân biệt t1 ; t2 . t1 = 
1
1
x
 ; t2 
=
2
1
x
b. Do x1; x1; t1; t2 đều là những nghiệm d−ơng nên 
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 15
 t1+ x1 = 
1
1
x
 + x1 ≥2 t2 + x2 = 
2
1
x
 + x2 ≥ 2 
 Do đó x1 + x2 + t1 + t2 ≥4 
Bài 4 
a. Giả sử đ[ tìm đ−ợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành . 
Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên 
CH AB⊥ và BH AC⊥ => BD AB⊥ và CD AC⊥ . 
 Do đó: ∠ ABD = 900 và ∠ ACD = 900 . 
Vậy AD là đ−ờng kính của đ−ờng tròn tâm O 
 Ng−ợc lại nếu D là đầu đ−ờng kính AD 
của đ−ờng tròn tâm O thì 
tứ giác BHCD là hình bình hành. 
b) Vì P đối xứng với D qua AB nên ∠ APB = ∠ ADB 
nh−ng ∠ ADB =∠ ACB nh−ng ∠ ADB = ∠ ACB 
Do đó: ∠ APB = ∠ ACB Mặt khác: 
∠ AHB + ∠ ACB = 1800 => ∠ APB + ∠ AHB = 1800 
Tứ giác APBH nội tiếp đ−ợc đ−ờng tròn nên ∠ PAB = ∠ PHB 
Mà ∠ PAB = ∠ DAB do đó: ∠ PHB = ∠ DAB 
Chứng minh t−ơng tự ta có: ∠ CHQ = ∠ DAC 
Vậy ∠ PHQ = ∠ PHB + ∠ BHC + ∠ CHQ = ∠ BAC + ∠ BHC = 1800 
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng 
c). Ta thấy ∆ APQ là tam giác cân đỉnh A 
Có AP = AQ = AD và ∠ PAQ = ∠ 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ 
đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất 
 D là đầu đ−ờng kính kẻ từ A của đ−ờng tròn tâm O 
H
O
P
Q
D
CB
A
 Bộ đề ụn thi vào THPT Năm học 2009 - 2010 
 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG - THCS Hoàng Văn Thụ - NĐ 16
Đề 6 
Bài 1: Cho biểu thức: ( ) ( )( )yx xyxyx yyyx xP −+−++−−+= 111))1)(( 
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P. 
b). Tìm x,y nguyên thỏa m[n ph−ơng trình P = 2. 
Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 và đ−ờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm 
M(-1 ; -2) . 
a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B 
phân biệt 
b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung. 
Bài 3: Giải hệ ph−ơng trình : 







=++
=++
=++
27
1
111
9
zxyzxy
zyx
zyx
Bài 4: Cho đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đ−ờng tròn 
);( BCAC ≠≠ . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với 
đ−ờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia 
AM cắt BC tại N. 
a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân . 
b). Khi MB = MQ , tính BC theo R. 
Bài 5: Cho Rzyx ∈,, thỏa m[n : 
zyxzyx ++
=++
1111
 H[y tính giá trị của biểu thức : M = 
4
3
 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) . 
Đáp án 
Bài 1: a). Điều kiện để P xác định là :; 0;1;0;0 ≠+≠≥≥ yxyyx . 
*). Rút gọn 
P:
( )
( )( )( )
(1 ) (1 )
1 1
x x y y xy x y
P
x y x y
+ − − − +
=
+ + −
( ) ( )
( )( )( )
( )
1 1
x y x x y y xy x y
x y x y
− + + − +
=
+ + −
( )( )
( )( )( )1 1
x y x y x xy y xy
x y x y
+ − + − + −
=
+ + −
( ) ( ) ( )( )
( )( )
1 1 1 1
1 1
x x y x y x x
x y
+ − + + + −
=
+ −
( )1
x y y y x