100 câu khảo sát hàm số

www.VNMATH.com
TRAÀN SÓ TUØNG 
---- ›š & ›š ---- 
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 
Naêm 2011 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 
Trang 1 
 KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Câu 1. Cho hàm số y m x mx m x3 21 ( 1) (3 2)
3
= - + + - (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2= . 
 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. 
 · Tập xác định: D = R. y m x mx m2( 1) 2 3 2¢= - + + - . 
 (1) đồng biến trên R Û y x0,¢³ " Û m 2³ 
Câu 2. Cho hàm số mxy
x m
4+
=
+
 (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1= - . 
 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ . 
 · Tập xác định: D = R \ {–m}. my
x m
2
2
4
( )
-¢=
+
. 
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y m0 2 2¢< Û - < < (1) 
 Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ thì ta phải có m m1 1- ³ Û £ - (2) 
 Kết hợp (1) và (2) ta được: m2 1- < £ - . 
Câu 3. Cho hàm số y x x mx3 23 4= + - - (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0= . 
 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0)-¥ . 
 · m 3£ - 
Câu 4. Cho hàm số y x m x m m x3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1= - + + + + có đồ thị (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )+¥ 
 · y x m x m m2' 6 6(2 1) 6 ( 1)= - + + + có m m m2 2(2 1) 4( ) 1 0D = + - + = > 
 x my
x m
' 0
1
é == Û ê = +ë
. Hàm số đồng biến trên các khoảng m m( ; ), ( 1; )-¥ + +¥ 
 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; )+¥ Û m 1 2+ £ Û m 1£ 
Câu 5. Cho hàm số 4 22 3 1y x mx m= - - + (1), (m là tham số). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). 
 · Ta có 3 2' 4 4 4 ( )y x mx x x m= - = - 
 + 0m £ , 0,¢³ "y x Þ 0m £ thoả mãn. 
 + 0m > , 0¢=y có 3 nghiệm phân biệt: , 0, m m- . 
 Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi 1 0 1£ Û < £m m . Vậy ( ];1mÎ -¥ . 
Câu 6. Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + - + - + + . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 
 2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( )0;+¥ . 
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số 
Trang 2 
 · Hàm đồng biến trên (0; )+¥ y x m x m23 (1 2 ) (22 ) 0¢Û += - + - ³ với x 0 )( ;" Î +¥ 
 xf x m
x
x2 23( )
4 1
2+
Û = ³
+
+ với x 0 )( ;" Î +¥ 
 Ta có: xf x xx x x
x
2
2
2
2(6( ) 03) 1 7336
(4 1
0
12)
+ - - ±
+ - = Û =¢ = = Û
+
 Lập bảng biến thiên của hàm f x( ) trên (0; )+¥ , từ đó ta đi đến kết luận: 
 f m m1 73 3 73
12 8
æ ö- + +
³ Û ³ç ÷ç ÷
è ø
KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Câu 7. Cho hàm số y x x mx m3 23 – 2= + + + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 
 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. 
 · PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: 
 x x mx m3 23 – 2 0 (1)+ + + = Û x
g x x x m2
1
( ) 2 2 0 (2)
é = -
ê = + + - =ë
 (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x Û PT (1) có 3 nghiệm phân biệt 
 Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û m
g m
3 0
( 1) 3 0
Dì ¢= - >í
- = - ¹î
 Û m 3< 
Câu 8. Cho hàm số y x m x m m x3 2 2(2 1) ( 3 2) 4= - + + - - + - (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. 
 · y x m x m m2 23 2(2 1) ( 3 2)¢= - + + - - + . 
 (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y 0¢ = có 2 nghiệm trái 
dấu Û m m23( 3 2) 0- + < Û m1 2< < . 
Câu 9. Cho hàm số 3 21 (2 1) 3
3
y x mx m x= - + - - (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 
 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. 
 · TXĐ: D = R ; y x mx m2 – 2 2 –1¢= + . 
 Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y 0¢= có 2 nghiệm phân 
biệt cùng dấu Û 
2 2 1 0
2 1 0
ì ¢ïD = - + >
í
- >ïî
m m
m
1
1
2
m
m
¹ì
ïÛ í
>ïî
Câu 10. Cho hàm số 3 23 2y x x mx= - - + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1= - . 
www.VNMATH.com
Tr n Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 
Trang 3 
 · Ta có: 2' 3 6= - -y x x m . 
 Hàm số có CĐ, CT 2' 3 6 0y x x mÛ = - - = có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x 
 ' 9 3 0 3m mÛ D = + > Û > - (*) 
 Gọi hai điểm cực trị là ( ) ( )1 21 2; ; ;A B xy yx 
 Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 1 1 2' 2 2
3 3 3 3
m my x y xæ ö æ ö æ ö= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
 Þ ( ) ( )1 1 1 22 2
2 22 2 ; 2 2
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö æ ö- + + - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
= =
ø
= =
è
y y x y y mxm m mx x 
 Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: 2 2 2
3 3
m my xæ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y x 1= - Û xảy ra 1 trong 2 trường hợp: 
 TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y x 1= - 
 2 32 1
3 2
m mæ ö- + = ÛçÛ = -÷
è ø
 (thỏa mãn) 
 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y x 1= - 
( ) ( )2 1 2 11 2 1 2
2 2 21 1
2 2
2 2
3 3
2 23 .2 6 0
3 3
æ ö æ ö- + + + - = + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ öÛ + = -
+ +
Û = - Û = - Û
Û =ç ÷
è ø
I I
x m mx x x xx
m m
yy
m
yx
 Vậy các giá trị cần tìm của m là: 30;
2
m ì ü= -í ý
î þ
Câu 11. Cho hàm số y x mx m3 2 33 4= - + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. 
 · Ta có: y x mx23 6¢ = - ; xy
x m
00
2
é =¢ = Û ê =ë
. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0. 
 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB m m3(2 ; 4 )= -
uur
 Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) 
 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û AB d
I d
ì ^
í Îî
 Û m m
m m
3
3
2 4 0
2
ìï - =
í
=ïî
Û m 2
2
= ± 
Câu 12. Cho hàm số y x mx m3 23 3 1= - + - - . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với 
nhau qua đường thẳng d: x y8 74 0+ - = . 
 · y x mx23 6¢= - + ; y x x m0 0 2¢= Û = Ú = . 
 Hàm số có CĐ, CT Û PT y 0¢= có 2 nghiệm phân biệt Û m 0¹ . 
 Khi đó 2 điểm cực trị là: A m B m m m3(0; 3 1), (2 ;4 3 1)- - - - Þ AB m m3(2 ;4 )
uuur
 Trung điểm I của AB có toạ độ: I m m m3( ;2 3 1)- - 
 Đường thẳng d: x y8 74 0+ - = có một VTCP (8; 1)u = -
r
. 
100 Khảo sát hàm số 
Trang 4 
 A và B đối xứng với nhau qua d Û 
I d
AB d
Îì
í ^î
 Û 
38(2 3 1) 74 0
. 0
m m m
AB u
ì + - - - =ï
í
=ïî
uuur r Û m 2= 
Câu 13. Cho hàm số y x x mx3 23= - + (1). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng 
với nhau qua đường thẳng d: x y– 2 – 5 0= . 
 · Ta có y x x mx y x x m3 2 23 ' 3 6= - + Þ = - + 
 Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y 0¢= có hai nghiệm phân biệt m m9 3 0 3D¢Û = - > Û < 
 Ta có: y x y m x m1 1 2 12
3 3 3 3
æ ö æ ö¢= - + - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Tại các điểm cực trị thì y 0¢= , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: 
 y m x m2 12
3 3
æ ö
= - +ç ÷
è ø
 Như vậy đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y m x m2 12
3 3
æ ö
= - +ç ÷
è ø
 nên D có hệ số góc k m1
2 2
3
= - . 
 d: x y– 2 – 5 0= y x1 5
2 2
Û = - Þ d có hệ số góc k2
1
2
= 
 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D 
 Þ k k m m1 2
1 21 2 1 0
2 3
æ ö
= - Û - = - Û =ç ÷
è ø
 Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là 
I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. 
 Vậy: m = 0 
Câu 14. Cho hàm số y x m x x m3 23( 1) 9 2= - + + + - (1) có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với 
nhau qua đường thẳng d: y x1
2
= . 
 · y x m x2' 3 6( 1) 9= - + + 
 Hàm số có CĐ, CT Û m 2' 9( 1) 3.9 0D = + - > m ( ; 1 3) ( 1 3; )Û Î -¥ - - È - + +¥ 
 Ta có my x y m m x m21 1 2( 2 2) 4 1
3 3
æ ö+ ¢= - - + - + +ç ÷
è ø
 Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A x y B x y1 1 2 2( ; ), ( ; ) , I là trung điểm của AB. 
 y m m x m21 12( 2 2) 4 1Þ = - + - + + ; y m m x m
2
2 22( 2 2) 4 1= - + - + + 
 và: x x m
x x
1 2
1 2
2( 1)
. 3
ì + = +
í =î
 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y m m x m22( 2 2) 4 1= - + - + + 
 100 Khảo sát hàm số 
Trang 5 
 A, B đối xứng qua (d): y x1
2
= Û AB d
I d
ì ^
í Îî
 Û m 1= . 
Câu 15. Cho hàm số mxxmxy -++-= 9)1(3 23 , với m là tham số thực. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1=m . 
 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 21 , xx sao cho 221 £- xx . 
 · Ta có .9)1(63' 2 ++-= xmxy 
 + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 21, xx Û PT 0'=y có hai nghiệm phân biệt 21, xx 
 Û PT 03)1(22 =++- xmx có hai nghiệm phân biệt là 21, xx . 
ê
ê
ë
é
--<
+->
Û>-+=DÛ
31
31
03)1(' 2
m
m
m )1( 
 + Theo định lý Viet ta có .3);1(2 2121 =+=+ xxmxx Khi đó: 
 ( ) ( ) 41214442 22122121 £-+Û£-+Û£- mxxxxxx 
 m m2( 1) 4 3 1Û + £ Û - £ £ (2) 
 + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là 313 --<£- m và .131 £<+- m 
Câu 16. Cho hàm số y x m x m x m3 2(1 2 ) (2 ) 2= + - + - + + , với m là tham số thực. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1=m . 
 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 2
1
3
- > . 
 · Ta có: y x m x m2' 3 (1 2 22 ) ( )= - + -+ 
 Hàm số có CĐ, CT y ' 0Û = có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, (giả sử x x1 2< ) 
 mm m m m
m
2 2
5
' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 4
1
D
é
>êÛ = - - - = - - > Û
ê < -ë
 (*) 
 Hàm số đạt cực trị tại các điểm x x1 2, . Khi đó ta có: 
mx x
m
x x
1 2
1 2
(1 2 )
3
2
2
3
ì -
+ = -ï
í -ï =
î
 ( ) ( )x x x x x x x x21 2 1 22 21
2
1
1
3
14
9
Û = + -- >- > 
 m m m m m m2 2 3 29 3 294(1 2 ) 4(2 ) 1 16 12 5 0
8 8
+ -
Û - - - > Û - - > Û > Ú < 
 Kết hợp (*), ta suy ra m m3 29 1
8
+
> Ú < - 
Câu 17. Cho hàm số y x m x m x3 21 1( 1) 3( 2)
3 3
= - - + - + , với m là tham số thực. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 2= . 
 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 22 1+ = . 
 · Ta có: y x m x m2 2( 1) 3( 2)¢= - - + - 
100 Khảo sát hàm số 
Trang 6 
 Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y 0¢= có hai nghiệm phân biệt x x1 2, 
 Û m m20 5 7 0D¢ > Û - + > (luôn đúng với "m) 
 Khi đó ta có: x x m
x x m
1 2
1 2
2( 1)
3( 2)
ì + = -
í = -î
 Û ( )
x m
x x m
2
2 2
3 2
1 2 3( 2)
ì = -ï
í - = -ïî
 m m m2 4 348 16 9 0
4
- ±
Û + - = Û = . 
Câu 18. Cho hàm số y x mx x3 24 – 3= + . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x x1 2, thỏa x x1 24= - . 
 · y x mx212 2 – 3¢= + . Ta có: m m2 36 0,D¢ = + > " Þ hàm số luôn có 2 cực trị x x1 2, . 
 Khi đó: 
1 2
1 2
1 2
4
6
1
4
x x
mx x
x x
ì
ï = -
ï
ï + = -í
ï
ï = -ïî
 9
2
mÞ = ± 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) y x x mx3 23 1= + + + ; x x1 2 2 3+ = ĐS: m 105= - . 
Câu 19. Cho hàm số y m x x mx3 2( 2) 3 5= + + + - , m là tham số. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 
 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ 
là các số dương. 
 · Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương 
 Û PT y m x x m = 2' 3( 2) 6 0= + + + có 2 nghiệm dương phân biệt 
a m
m m m m mm m m mP
m m m
S
m
2
( 2) 0
' 9 3 ( 2) 0 ' 2 3 0 3 1
0 0 3 20
3( 2) 2 0 2
3 0
2
D D
ì = + ¹
ï = - + > ì ì= - - + > - í í í
+ï ï ï+ ï +î
Câu 20. Cho hàm số y x x3 2– 3 2= + (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y x3 2= - sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực 
trị nhỏ nhất. 
 · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). 
 Xét biểu thức g x y x y( , ) 3 2= - - ta có: 
 A A A A B B B Bg x y x y g x y x y( , ) 3 2 4 0; ( , ) 3 2 6 0= - - = - 
 Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y x3 2= - . 
 Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB. 
 Phương trình đường thẳng AB: y x2 2= - + 
 100 Khảo sát hàm số 
Trang 7 
 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
4
3 2 5
2 2 2
5
xy x
y x y
ì =ï= -ì ïÛí í= - +î ï =
ïî
Þ 4 2;
5 5
M æ öç ÷
è ø
Câu 21. Cho hàm số y x m x m x m3 2(1– 2 ) (2 – ) 2= + + + + (m là tham số) (1). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 
 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời 
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. 
 · y x m x m g x23 2(1 2 ) 2 ( )¢= + - + - = 
 YCBT Û phương trình y 0¢= có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thỏa mãn: x x1 2 1< < . 
 Û 
m m
g m
S m
24 5 0
(1) 5 7 0
2 1 1
2 3
Dì ¢ = - - >
ïï = - + >í
-ï = <
ïî
 Û m5 7
4 5
< < . 
Câu 22. Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m m= - + - - + (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số 
đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa 
độ O. 
 · Ta có 2 23 6 3( 1)¢= - + -y x mx m 
 Hàm số (1) có cực trị thì PT 0¢=y có 2 nghiệm phân biệt 
 2 22 1 0x mx mÛ - + - = có 2 nhiệm phân biệt 1 0, mÛ D = > " 
 Khi đó: điểm cực đại A m m( 1;2 2 )- - và điểm cực tiểu B m m( 1; 2 2 )+ - - 
 Ta có 2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m
é = - +
= Û + + = Û ê
= - -êë
. 
Câu 23. Cho hàm số y x mx m x m m3 2 2 3 23 3(1 )= - + + - + - (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1= . 
 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 
 · y x mx m2 23 6 3(1 )¢= - + + - . 
 PT y 0¢= có m1 0,D = > " Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị x y x y1 1 2 2( ; ), ( ; ) . 
 Chia y cho y¢ ta được: my x y x m m21 2
3 3
æ ö ¢= - + - +ç ÷
è ø
 Khi đó: y x m m21 12= - + ; y x m m
2
2 22= - + 
 PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y x m m22= - + . 
Câu 24. Cho hàm số 3 23 2y x x mx= - - + có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song 
song với đường thẳng d: y x4 3= - + . 
100 Khảo sát hàm số 
Trang 8 
 · Ta có: 2' 3 6= - -y x x m . 
 Hàm số có CĐ, CT 2' 3 6 0y x x mÛ = - - = có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x 
 ' 9 3 0 3m mÛ D = + > Û > - (*) 
 Gọi hai điểm cực trị là ( ) ( )1 21 2; ; ;A B xy yx 
 Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 1 1 2' 2 2
3 3 3 3
m my x y xæ ö æ ö æ ö= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
 Þ ( ) ( )1 1 1 22 2
2 22 2 ; 2 2
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö æ ö- + + - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
= =
ø
= =
è
y y x y y mxm m mx x 
 Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: 2 2 2
3 3
m my xæ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: y x4 3= - + 
2 2 4
3
3
2 3
3
m
m
m
ì æ ö- + = -ç ÷ïï è øÛ Û =í
æ öï - ¹ç ÷ïè øî
 (thỏa mãn) 
Câu 25. Cho hàm số 3 23 2y x x mx= - - + có đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo 
với đường thẳng d: x y4 – 5 0+ = một góc 045 . 
 · Ta có: 2' 3 6= - -y x x m . 
 Hàm số có CĐ, CT 2' 3 6 0y x x mÛ = - - = có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x 
 ' 9 3 0 3m mÛ D = + > Û > - (*) 
 Gọi hai điểm cực trị là ( ) ( )1 21 2; ; ;A B xy yx 
 Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 1 1 2' 2 2
3 3 3 3
m my x y xæ ö æ ö æ ö= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
 Þ ( ) ( )1 1 1 22 2
2 22 2 ; 2 2
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö æ ö- + + - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
= =
ø
= =
è
y y x y y mxm m mx x 
 Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: 2 2 2
3 3
m my xæ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Đặt 2 2
3
mk æ ö= - +ç ÷
è ø
. Đường thẳng d: x y4 – 5 0+ = có hệ số góc bằng 1
4
- . 
 Ta có: 
3 391 11 1
5 104 44tan 45 1 1 1 5 11 14 4 4 3 2
k mk kk
k k k k m
é éé = = -+ = -+ ê êê
= Û Û Ûê êê
ê êê- + = - + = - = -ê êêë ëë
o 
 Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: 1
2
m = - 
Câu 26. Cho hàm số y x x m3 23= + + (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 4= - . 
 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho 
·
AOB 0120= . 
 100 Khảo sát hàm số 
Trang 9 
 · Ta có: y x x23 6¢= + ; x y my
x y m
2 40
0
é = - Þ = +¢= Û ê = Þ =ë
 Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4) 
 OA m OB m(0; ), ( 2; 4)= = - +
uur uur
. Để 
·
AOB 0120= thì AOB 1cos
2
= - 
( )
( ) mm m m m m m
m mm m
2 2
2
2 2
4 0( 4) 1 4 ( 4) 2 ( 4)
2 3 24 44 04 ( 4)
ì- < <+
Û = - Û + + = - + Û í
+ + =î+ +
m
m
m
4 0 12 2 3
12 2 3 3
3
ì- < < - +ïÛ Û =í - ±
=ïî
Câu 27. Cho hàm số y x mx m x m3 2 2 3– 3 3( –1) –= + (Cm) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 2= - . 
 2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi 
đường thẳng cố định. 
 · y x mx m2 23 6 3( 1)¢= - + - ; x my
x m
10
1
é = +¢= Û ê = -ë
 Điểm cực đại M m m( –1;2 – 3 ) chạy trên đường thẳng cố định: 
1
2 3
x t
y t
= - +ì
í = -î
 Điểm cực tiểu N m m( 1; 2 – )+ - chạy trên đường thẳng cố định: 
1
2 3
x t
y t
= +ì
í = - -î
Câu 28. Cho hàm số y x mx4 21 3
2 2
= - + (1) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 3= . 
 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. 
 · y x mx x x m3 22 2 2 ( )¢= - = - . xy
x m2
00
é =¢= Û ê =ë
 Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT y 0¢= có 1 nghiệm Û m 0£ 
Câu 29. Cho hàm số 4 2 2( ) 2( 2) 5 5= = + - + - +y f x x m x m m mC( ) . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 
 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị mC( ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 
tam giác vuông cân. 
 · Ta có ( ) 3 2
0
4 4( 2) 0
2
=é¢ = + - = Û ê = -ë
x
f x x m x
x m
 Hàm số có CĐ, CT Û PT f x( ) 0¢ = có 3 nghiệm phân biệt Û m 2< (*) 
 Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: ( ) ( ) ( )A m m B m m C m m20; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1- + - - - - - 
 Þ ( ) ( )AB m m m AC m m m2 22 ; 4 4 , 2 ; 4 4= - - + - = - - - + -
uur uuur
 Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A 
 Û ( ) 1120. 3 =Û-=-Û= mmACAB (thoả (*)) 
100 Khảo sát hàm số 
Trang 10 
 Câu 30. Cho hàm số ( )mCmmxmxy 55)2(2 224 +-+-+= 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời 
các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. 
 · Ta có ( ) 3 2
0
4 4( 2) 0
2
=é¢ = + - = Û ê = -ë
x
f x x m x
x m
 Hàm số có CĐ, CT Û PT f x( ) 0¢ = có 3 nghiệm phân biệt Û m 2< (*) 
 Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: ( ) ( ) ( )A m m B m m C m m20; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1- + - - - - - 
 Þ ( ) ( )AB m m m AC m m m2 22 ; 4 4 , 2 ; 4 4= - - + - = - - - + -
uur uuur
 Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi µA 060= Û A 1cos
2
= 
 Û AB AC
AB AC
. 1
2.
=
uuur uuur
uuur uuur Û 3 32 -=m . 
 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y x m x m4 24( 1) 2 1= - - + - 
Câu 31. Cho hàm số y x mx m m4 2 22= + + + có đồ thị (Cm) . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –