Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2016 - 2017 môn thi: Toán 6

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2016-2017
MễN THI : TOÁN 6
Thời gian làm bài: 120 phỳt.
Bài 1: (6,0 điểm).Tớnh nhanh:
	a) A = 
	b) B = (-528) + (-12) + (-211) + 540 + 2225
 	c) M = 
d) D = 
e) So sỏnh: N = và M = 
Bài 2: (3,0 điểm) Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399.
 a) Chứng minh rằng S là bội của -20.
 b) Tớnh S, từ đú suy ra 3100 chia cho 4 dư 1.
Bài 3: (5,0 điểm).
Tỡm hai số tự nhiờn biết tổng của chỳng bằng 504 và ƯCLN của chỳng bằng 42
 Tỡm a để a + 1 là bội của a – 1
Cho K = 1028 + 8. Chứng minh rằng K chia hết cho 72
Bài 4: (4,0 điểm). Trờn đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ cỏc tia OB, OC sao cho: gúc MOC = 1150; gúc BOC = 700. Trờn nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD (D khụng cựng nằm trong nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM) sao cho gúc AOD = 450.
a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC khụng? vỡ sao?
b) Tớnh gúc MOB và gúc AOC ?
c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng.
Bài 5: (2,0 điểm). Trong một cuộc thi có 50 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 20 điểm, còn trả lời sai bị trừ 15 điểm. Một học sinh được tất cả 650 điểm. Hỏi bạn đó trả lời được mấy câu đúng ?
Họ và tờn thớ sinh:.............................................Số bỏo danh: ................................
(Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh bỏ tỳi)
Bài 1 (6,0 điểm)
A = = 
= 3.
2đ
 b) B = (-528) + (-12) +(-211)+ 540+2225
 B = (-528+(-12)+540)+(-211+211)+2014. Vậy B = 2014
2.0đ
c) M = 
- Đặt A = 1+3+32+33 + ...+32012
- Tớnh được A = 32013 – 1
1.0 đ
- Đặt B = 32014 – 3
- Tớnh được B = 3.(32013 – 1)
0.5đ
- Tớnh được M = 
0.5đ
Bài 2
3 điểm
 Tổng S cú 100 số hạng chia thành 25 nhúm , mỗi nhúm cú 4 số hạng :
 S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399
 = (1 – 3 + 32 – 33) + (34 – 35 + 36 – 37) +...+(396 – 397 + 398 – 399) 
1 đ
= ( - 20 ) + 34( - 20 ) +...+ 396( - 20 ) -20 Vậy S -20
1 đ)
b) S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399
 3S = 3 – 32 + 33 – 34 +...+399 – 3100 
0.5 đ
Cộng từng vế của 2 đẳng thức ta được : 
 3S + S = ( 3+1 ) S = 4S = S là một số nguyờn nờn 1 – 3100 4 hay 3100 – 1 4 3100 chia cho 4 dư 1 	
0.5đ
Bài 3a) gọi a,b là hai số cần tỡm a, b N*,a>b, a = 42a’, b =42b’ trong đú a’, b’ N* [a’,b’]=1 vỡ a>b nờn a’>b’
0.5đ
a+b=504 suy ra a’+b’ = 12 cú cỏc cặp a’,b’ thỏa món là (11;1);(7;5)
suy ra cỏc cặp số thảo man bài toỏn là (462;42); (294;210)
0.5đ
 b) Để a +1 là bội của a -1 nờn thỡ là số nguyờn
a -1 = {-1,1,2} nờn a ={0,2,3}
c) Lập luận được K chia hết cho 9 vỡ tổng cỏc chữ số là 9 và chia hết cho 8 vỡ ba chữ số tận cựng là 008. Vậy K chia hết cho 72
2 đ
2 đ
Bài 4
4 điểm
A
C
B
D
O
a) Nếu OB nằm giữa 2 tia OA, OC thỡ ta cú :
 = 1850 > 1800 (vụ lý)
M
Vậy OB nằm giữa 2 tia OM, OC.
1.0đ
b) Do tia OB nằm giữa 2 tia OM, OC nờn :
0.5đ
 = 1150 - 700 = 450
0.5đ
Hai gúc là 2 gúc kề bự nờn :
= 1800
0.5đ
c) Hai gúc và là 2 gúc kề bự 
 =1800- 450 = 1350
0.5đ
Hai gúc là gúc cú cạnh chung OA. Cũn 2 cạnh OD, OB nằm trong 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AM nờn : 
= 450 + 1350 = 1800 OD, OB là 2 tia đối nhau. D, O, B thẳng hàng.
0.5đ
Bài 5. Nếu bạn đó trả lời được 50 câu thì tổng số điểm là 50 x 20 = 1.000 (điểm)
 Nhưng bạn chỉ được 650 điểm còn thiếu 1.000 – 650 = 350 (điểm). Thiếu 350 điểm vì trong số 50 câu bạn đã trả lời sai một số câu. Giữa câu trả lời đúng và trả lời sai chênh lệch nhau 20 + 15 = 35(điểm). Do đó câu trả lời sai của bạn là 350:35 =10 (câu)
 Vậy số câu bạn đã trả lời đúng là 50 – 10 = 40 (câu)
2
1. Tỡm số tự nhiờn x biết tổng cỏc chữ số của x bằng y, tổng cỏc chữ số của y bằng z và x + y + z = 60.
Giải: Từ đầu bài ta cú x là số cú 2 chữ số. Đặt x = 
x = 10a + b -> y = a + b, z cú 2 trường hợp :
* Nếu y = a + b 9 -> z = a + b ta cú : ( 10a + b) + ( a + b ) + ( a + b ) = 60 -> 4a + b = 20
 b 4 -> b = 0; 4; 8 -> a = 5, 4, 3 loại a = 3, b = 8 ( do a + b > 9)
* Nếu y = a + b 10 -> z = a + b – 9
 Ta cú : ( 10a + b ) + ( a + b ) + ( a + b – 9 ) = 60
 -> 4a + b = 23 -> a = 4 , b = 7
 -> = 44, 47, 50.
2. Cho cỏc số nguyờn dương a, b, c, d, e, f biết :
	 và af – be = 1 Chứng minh : d ≥ b + f
Giải: d = d( af – be ) = adf – bed = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed ) = f( ad – bc ) + b ( cf – ed )
 ≥ f.1 + b.1 = f + b
3.So sánh phân số: Với 
 . Vậy < 
 b) So sánh tổng S = với 2. ( n N*)
Với n 2 ta có: . Từ đó ta có:
 S = . Vậy S < 2
4. Cho x, m, nN*. Hãy so sánh hai tổng sau:
 	A = và B = 
5. So sỏnh C = và D= 
6. So sỏnh: N = và M = 
7. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thoả mãn đẳng thức
1. Tớnh tổng: S = 
2. So sánh tổng S = với 2
3. Cho tổng gồm 2014 số hạng: 
Chứng minh rằng: 
4. Tỡm cỏc số nguyờn a, b biết rằng: 
5. A = 
6. Cho A ; Tính 
7. Chứng minh rằng : 
8. CM : S = <1
 => <1
 VT = 
 Do 
 = 
S = 
	 = 
Mà = S - 	
Suy ra S = ( S - ) hay 
Suy ra S = 6 - = 6 - = 
2. So sánh tổng S = với 2. ( n N*)
Với n 2 ta có: . Từ đó ta có:
 S = . Vậy S < 2
3. Ta cú . 
Suy ra: 
 Đặt M = 
Lấy tách thành 2009 số 1 thì B được viết dưới dạng 
=
= . Nên 
Ta cú: 
Do đú: 
Chứng minh rằng : 
Ta cú
 (ĐPCM)