Đề khảo sát học sinh giỏi cấp trường năm 2014 - 2015 môn: Toán học 6

TRƯỜNG THCS NễNG TRANG-
T.P VIỆT TRè
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
CẤP TRƯỜNG 2014 - 2015
MễN: TOÁN 6
Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng tớnh thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang)
Cõu 1 (1,5 điểm): Thực hiện phộp tớnh.
a)
3 3 3 3324.47 23 7 11 1001 13. 9 9 9 924 47 23 91001 13 7 11
A
   
     

b)M =
2 3 2012
2014
1 2 2 2 ... 2
2 2
    

Cõu 2 (2,5 điểm):
a) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56++ 52012. Chứng tỏ S chia hết cho 65.
b) Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia
cho 19 dư 11.
c) Chứng tỏ: A = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 (với n là số tự nhiờn)
Cõu 3 (2 điểm):
a) Tỡm x, y nguyờn biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
b) Chứng minh rằng: 2 2 2 21 1 1 1 1...4 6 8 (2 ) 4n    
Cõu 4 (2,5 điểm): Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.
a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một gúc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một gúc
bằng (a + 10)o và với tia OB một gúc bằng (a + 20)o
Tớnh ao
b) Tớnh gúc xOy, biết gúc AOx bằng 22o và gúc BOy bằng 48o
c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tớnh số đo gúc kề bự với gúc xOD khi gúc AOC
bằng ao
Cõu 5 (1,5 điểm): Cho 2012 2011 2010 200910 10 10 10 8A     
a) Chứng minh rằng A chia hết cho 24
b) Chứng minh rằng A khụng phải là số chớnh phương.
---- HẾT ----
Lưu ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT
HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015
Mụn: TOÁN 6
Cõ
u í
Nội dung, đỏp ỏn Điể
m
1
1,5
a
Đặt A=B.C
24.47 23 1128 23 1105
24 47 23 71 23 48B
      0,25
1 1 1 13 1 17 11 1001 13
1 1 1 1 39 11001 13 7 11
C
              0,25
Suy ra 1105144A  0,25
b
M =
2 3 2012
2014
1 2 2 2 ... 2
2 2
    

- Đặt A = 1+2+22+23 + ...+22012
- Tớnh được A = 22013 – 1 0,25
- Đặt B = 22014 – 2
- Tớnh được B = 2.(22013 – 1) 0,25
- Tớnh được M = 12 0,25
2
2,5
a
S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56++ 52012. 0,25
S = (5+52+53+54)+55(5+52+53+54)+....+52009(5+52+53+54) 0,25
Vỡ (5+52+53+54) =78065
Vậy S chia hết cho 65 0,25
b
Gọi số cần tỡm là a ta cú: (a-6)  11 ;(a-1)  4; (a-11)  19. 0,25
(a-6 +33)  11 ; (a-1 + 28)  4 ; (a-11 +38 )  19.
(a +27)  11 ; (a +27)  4 ; (a +27)  19.
0,25
Do a là số tự nhiờn nhỏ nhất nờn a+27 nhỏ nhất
Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) .
0,25
Từ đú tỡm được : a = 809 0,25
10 18 1 10 1 9 27n nA n n n      
0,25
99.....9 9 27
n
n n  
9.(11.....1 ) 27
n
n n   0,25
Ta biết số n và số cú tổng cỏc chữ số bằng n cú cựng số dư khi chia
cho 9 do đú 11.....1 9
n
n  nờn 9.(11.....1 ) 27
n
n  . Vậy 27A 0,25
3
2
a
Tỡm x, y nguyờn biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
=>(3y – 1)(2x + 1) = -55
=> 552 1 3 2x y
   (1) 0,25
Để x nguyờn thỡ 3y – 2  Ư(-55) =  1;5;11;55; 1; 5; 11; 55    0,25
+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28
+) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = 73 (Loại)
+) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y =133 (Loại)
+) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 0,25
+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = 13 (Loại)
+) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5
+) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2
+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y = 533
 (Loại)
Vậy ta cú 4 cặp số x, y nguyờn thoả món là
(x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 0,25
b
b/ Chứng minh rằng : 2 2 2 2
1 1 1 1 1...4 6 8 2 4n    
Ta cú
2 2 2 2
1 1 1 1...4 6 8 (2 )A n    
0,25
2 2 2 2
1 1 1 1...(2.2) (2.3) (2.4) (2. )A n     0,25
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...4 2 3 4 4 1.2 2.3 3.4 ( 1)A n n n
                 0,25
1 1 1 1 1 1 1 1 1...4 1 2 2 3 3 4 ( 1)A n n
           
1 1 114 4A n
      (ĐPCM) 0,25
42,5
Vẽ đỳng hỡnh
E
y
x
48
ỗ22ỗ
DC
(a+20)ỗ(a+10)ỗ
aỗ
O BA
Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.
0,25
a
Vẽ tia OC tạo với tia OA một gúc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC
một gúc bằng (a + 10)o và với tia OB một gúc bằng (a + 20)o.Tớnh ao 0,25
Do OC, OD nằm trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB và
 ( 10 )COD COA a a   . Nờn tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD 0,25
=>    AOC COD DOB AOB  
=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o
=> 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o 0,25
b
Tớnh gúc xOy, biết gúc AOx bằng 22o và gúc BOy bằng 48o
Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB 0,25
Ta cú :   180 180 48 132 22o o o o oAOy BOy AOx      
Nờn tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy 0,25
=>     22 132 132 22 110o o o o oAOx xOy AOy xOy xOy         0,25
c
Gọi OE là tia đối của tia OD, tớnh số đo gúc kề bự với gúc xOD khi
gúc AOC bằng ao 0,25
V ỡ tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nờn
     10 2 10 2.50 10 110oo o o o o oAOC COD AOD AOD a a a           0,25
Vỡ  AOx (22 110 )o oAOD  nờn tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD
=>     AOx 22 110 110 22 88o o o o oxOD AOD xOD xOD        
Vậy số đo gúc kề bự với gúc xOD cú số đo là : 180o – 88o = 92o 0,25
5
1,5
a Chứng minh rằng A chia hết cho 24Ta cú :
   3 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 200610 10 10 10 10 8 8.125 10 10 10 10 8A          
0,25
 2009 2008 2007 20068. 125 10 10 10 10 1 8A        (1)
Ta lại cú cỏc số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 cú tổng tổng cỏc chữ số bằng
1, nờn cỏc số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều cú số dư bằng
1
8 chia cho 3 dư 2. 0,25
Vậy A chia cho 3 cú số dư là dư của phộp chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3
Hay dư của phộp chia 6 chia cho 3 (cú số dư bằng 0)
Vậy A chia hết cho 3
Vỡ 8 và 3 là hai số nguyờn tố cựng nhau nờn A chia hết cho 8.3 = 24 0,25
b
Chứng minh rằng A khụng phải là số chớnh phương.
Ta cú cỏc số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều cú chữ số tận cựng là 0
0,25
Nờn 2012 2011 2010 200910 10 10 10 8A      cú chữ số tận cựng là 8 0,25
Vậy A khụng phải là số chỉnh phương vỡ số chớnh phương là những số cú
chữ số tận cựng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9 0,25
Chỳ ý: - Mọi cỏch giải thớch khỏc nếu đỳng ghi điểm tối đa.
-----------HẾT-------------