4 Đề thi thử đại học đợt I năm học 2012-2013 môn: Toán

www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 1 
SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA 
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN 
 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013 
 Môn: Toán - Khối A 
 (Thời gian làm bài: 180 phút) 
Phần I: Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) 
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số ( )Cxxy 43 23 +−= 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M(2; 0), N, P sao cho 
tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. 
Câu II. (2 điểm) 
1. Giải phương trình: ( )2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
. 
2. Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
21 1
21 1
x y y
y x x
 + = − +

+ = − +
Câu III. (1 điểm) Giải phương trình: 3 23 3 5 8 36 53 25x x x x− = − + − 
Câu IV. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc 
với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích 
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a. 
Câu V. (1 điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 3xy yz zx+ + = . Chứng minh rằng: 
( )( )( )
1 4 3
2xyz x y y z z x
+ ≥
+ + +
Phần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần. 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VIa.(2 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I(2; 1) và AC = 2BD. 
Điểm 10;
3
M   
 
 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B 
biết B có hoành độ dương. 
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip có phương trình chính tắc ( )
2 2
: 1
25 9
x yE + = . 
Viết phương trình đường thẳng song song với Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB = 4. 
CâuVIIa. (1 điểm) Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức ( ) ( )221 2 1 3n nP x x x x= − + + , biết 
rằng 
2 1
1 5
n
n nA C
−
+− = . 
B. Theo chương trình nâng cao. 
Câu VIb.(2 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22, biết rằng 
các đường thẳng AB, BD lần lượt có phương trình là 3 4 1 0x y+ + = và 2 3 0x y− − = . Tìm tọa độ 
các đỉnh A, B, C, D. 
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của Elip (E) biết rằng có một 
đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là 
( )12 2 3+ 
Câu VIIb. (1 điểm) Tìm số nguyên dương n sao cho: 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 2 
( )1 2 2 3 3 4 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2. 3.2 . 4.2 . ... 2 1 2 . 2013n nn n n n nC C C C n C ++ + + + +− + − + + + = 
..Hết. 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I KHỐI A 
Câu Nội dung Điểm 
( )Cxxy 43 23 +−= 
+ Tập xác định: D = ℝ 
+ Giới hạn: lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞ 0.25 
+ Đaọ hàm 2
0
' 3 6 ; ' 0
2
x
y x x y
x
=
= − = ⇔ 
=
BBT: 
x - ∞ 0 2 + ∞ 
y’ + - + 
y 
- ∞ 
 4 
0 
 + ∞ 
0.25 
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( );0 , 2;−∞ +∞ , nghịch biến trên khoảng ( )0;2 
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, 4CDy = 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, 0CTy = 
0.25 
I.1 + Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 0) và nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng 
8
6
4
2
2
4
6
15 10 5 5 10 15-1 1 2
0.25 
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc k là: 
( )2−= xky 
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: ( ) 432 23 +−=− xxxk 
( )( ) ( )

=−−−=
==
⇔=−−−−⇔
02
2
022 2
2
kxxxg
xx
kxxx A 
0.25 I.2 
+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P ( ) 0=⇔ xgpt có hai nghiệm phân biệt 0.25 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 3 
khác 2 ( ) (*)04
9
02
0
≠<−⇔



≠
>∆
⇔ k
g
+ Theo định lí viet ta có: 



−−=
=+
2.
1
kxx
xx
NM
NM
+ Các tiếp tuyến tại M, N vuông góc với nhau ( ) ( ) 1'.' −=⇔ NM xyxy 
( )( )
3
2230118916363 222 ±−=⇔=++⇔−=−−⇔ kkkxxxx NNMM (thỏa(*)) 
0.5 
( ) ( )2 cos sin 2 cos sin1 1
sin cos 2 cos cos cos sin1
cos sin 2 sin cos .sin 2 sin
x x x x
pt
x x x x x x
x x x x x x
− −
⇔ = ⇔ =
−
+ −
 0.25 
Điều kiện: 
sin 2 0 2
cos sin 0
4
k
x
x
x x
x k
pi
pi
pi
 ≠≠ 
⇔ 
− ≠  ≠ +

 0.25 
Khi đó pt ( )2sin 2 2 sin cos 2
2 4
x x x x k kpi pi⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ℤ 0.25 
II.1 
Đối chiếu với điều kiện, pt đã cho có nghiệm là ( )2
4
x k kpi pi= − + ∈ℤ 0.25 
( )
( )
2 2
2 2
21 1 1
21 1 2
x y y
y x x
 + = − +

+ = − +
Điều kiện: 
1
1
x
y
≥
 ≥
Trừ hai vế của pt (1) và (2) cho nhau ta được: 
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
21 21 1 1
0
1 121 21
1 0
1 121 21
x y y x y x
x y x y x y
x y x y
x yx y
x y
x y x y
x yx y
x y
+ − + = − − − + −
− +
−
⇔ + + − + =
− + −+ + +
 +
 ⇔ − + + + =
 
− + −+ + + 
⇔ =
0.5 
II.2 
Thay x = y vào pt (1) ta được: 
( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
2
2
2
21 1 21 5 1 1 4
4 2 2 2
1 121 5
1 12 2 1 0 2
1 1 21 5
x x x x x x
x x
x x
xx
x x x
x x
+ = − + ⇔ + − = − − + −
− −
⇔ = + + −
− ++ +
  
⇔ − + + − = ⇔ =  
− + + +   
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2 
0.5 
III 
( ) ( )33 3 5 2 3 2 *pt x x x⇔ − = − − + 
Đặt ( )332 3 3 5 2 3 3 5y x y x− = − ⇔ − = − 0.5 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 4 
Ta có hệ phương trình: 
( ) ( )
( )
3
3
2 3 2 5 **
2 3 3 5
x y x
y x

− = + −

− = −
Trừ vế với vế hai phương trình của hê ta đươc: 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0
x y x x y y x y
x y x x y y
x y
 
− − + − − + − = − −
 
 ⇔ − − + − − + − + =
 
⇔ =
0.5 
Thay x=y vào (**) ta được: 
( )3 3 2
1 2 3
2 3 3 5 8 36 51 22 0
5 3 5 32, ,
4 4
x x x x x
x x x
− = − ⇔ − + − =
+ −
⇔ = = =
M H
I
E C
A
D
B
S
K
T
 Vì ( )CB AB CB SAB
CB SA
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
 SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB) 
( )( ) ( )  0, , 30SC SAB SC SB CSB⇒ = = = 0.cot 30 3 2SB BC a SA a⇒ = = ⇒ = 
0.25 
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 
3
2
.
1 1 2
. 2. ( )
3 3 3S ABCD ABCD
aV SA S a a dvtt= = = 0.25 
+ Từ C dựng CI // DE 
2
aCE DI⇒ = = và ( )/ /DE SCI 
( ) ( )( ), ,d DE SC d DE CSI⇒ = 
Từ A kẻ AK CI⊥ cắt ED tại H, cắt CI tại K 
Ta có: ( ) ( ) ( )SA CI CI SAK SCI SAK
AK CI
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
 theo giao tuyến SK 
Trong mặt phẳng (SAK) kẻ ( )HT AK HT SCI⊥ ⇒ ⊥
( ) ( )( ), ,d DE SC d H SCI HT⇒ = = 
0.25 
IV 
+ Ta có: 
2
2
3
.1 1 . 32
. .
2 2 5
2
ACI
a aCD AI aS AK CI CD AI AK
CI a
a
= = ⇒ = = =
 
+  
 
 0.25 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 5 
Kẻ KM//AD 1 1( )
2 3 5
HK KM aM ED HK AK
HA AD
∈ ⇒ = = ⇒ = = 
Lại c ó: 
2
2
2.
. 385
sin
1992
5
a
a
SA HT SA HKSKA HT
SK HK SK a
a
= = ⇒ = = =
+
Vậy ( ) 38,
19
d ED SC = 
Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương ( )( )( )
1 1 4
, ,
2 2xyz xyz x y y z z x+ + +
 ta được: 
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )2 2 23
1 4 1 1 4
2 2
3
xyz x y y z z x xyz xyz x y y z z x
x y z x y y z z x
+ = + +
+ + + + + +
≥
+ + +
0.25 
Ta có: ( )( )( ) ( ) ( )( )2 2 2x y z x y y z z x xyz zx yz xy zx yz xy+ + + = + + + 
Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương xy, yz, zx: 
( )
3
2 2 2
. . 1 1 1 1
3
xy yz zx
xy yz zx x y z xyz+ + ≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≤ 
 
Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương , ,zx yz xy zx yz xy+ + + : 
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
8 2
3
zx yz xy zx yz xy
zx yz xy zx yz xy
 + + + + +
+ + + ≤ = 
 
0.5 
V 
Từ (1) và (2) suy ra: ( )( )( )2 2 2 8x y z x y y z z x+ + + ≤ 
Vậy ( )( )( ) 3
1 4 3 3
28xyz x y y z z x
+ ≥ =
+ + +
. 
0.25 
I
A C
B
D
M
N
L
Gọi N’ là điểm đối xứng với N qua I ( )' 4; 5N⇒ − 
0.25 
Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0 
Khoảng cách từ I đến AB là: 
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d
+ −
= =
+
0.25 
VIa
1 
Vì AC = 2BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x, trong tam giác vuông ABI có: 0.25 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 6 
2 2 2
1 1 1 5 5
4
x BI
d x x
= + ⇒ = ⇒ = 
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x+3y-1=0 với đường tròn tâm I bán kính 5 
Tọa độ B là nghiệm của hệ: 
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
1 4
1 4 34 3 1 0 1
13
12 1 5 25 20 5 0 1
5
1; 1
xy
xx y y x
x
yx y
x x
x loai
B
−
=
−+ − = = = 
⇔ ⇔ ⇔=   
= −
− + − =   
− − =  = −

⇒ −
0.25 
Gọi pt đường thẳng song song với Oy là (d): x = a (với 0a ≠ ). Tung độ giao điểm 
của (d) và (E) là: ( )2 2 22 225 31 9. 25 525 9 25 5
a y ay y a a−+ = ⇔ = ⇔ = ± − ≤ 
0.25 
Vậy 2 2 23 3 6; 25 , ; 25 25
5 5 5
A a a B a a AB a   − − − ⇒ = −   
   
 0.25 
Do đó 2 26 100 5 54 25 4 25
5 9 3
AB a a a= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ± (thỏa mãn đk) 0.25 
VIa.
2 
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 5 5 5 5,
3 3
x x= = − 0.25 
Điều kiện 2,n n≥ ∈ℕ 
Ta có: 
( ) ( )2 11
2
1
5 1 5
2
2( )
3 10 0
5
n
n n
n n
A C n n
n loai
n n
n
−
+
+
− = ⇔ − − =
= −
⇔ − − = ⇔ 
=
0.5 
VII
a 
Với n = 5 ta có: ( ) ( ) ( ) ( )5 105 102 25 10
0 0
1 2 1 3 2 3k lk l
k l
P x x x x x C x x C x
= =
= − + + = − +∑ ∑ 
⇒ số hạng chứa x5 là ( ) ( ) ( )4 31 2 7 5 55 10. . 2 . 3 16.5 27.120 3320x C x x C x x x− + = + = 
Vậy hệ số của x5 trong biểu thức P đã cho là 3320 
0.5 
+ Tọa độ B AB BD= ∩ là nghiệm của 
hệ phương trình: 
( )3 4 1 0 1 1; 1
2 3 0 1
x y x
B
x y y
+ + = = 
⇔ ⇒ − 
− − = = − 
+ ( ). 22 1ABCDS AB AD= = 
C
A D
B
+ Ta có: 
( )
 ( )
22 2 2
3.2 4.1 2 11
cos tan 2
25 53 4 2 1
ADABD ABD
AB
−
= = ⇒ = =
+ + −
Từ (1) và (2) ta có: AD =11; AB = 2 (3) 
0.25 VIb1 
+ Vì ( ); 2 3D BD D x x∈ ⇒ − + . Ta có: ( ) ( )11 11; 4
5
x
AD d D AB
−
= = 0.25 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 7 
Từ (3) và (4) suy ra 611 11 55
4
x
x
x
=
− = ⇔ 
= −
+ Với x = 6 ( )6;9D⇒ ⇒ phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với 
AB là : 4 3 3 0x y− + = 
3 1 38 39
; ;
5 5 5 5
A AD AB C   ⇒ = ∩ = − ⇒   
   
0.25 
+ Với x = -4 ( )4; 11D⇒ − − ⇒ phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông 
góc với AB là : 4 3 17 0x y− − = 
13 11 28 49
; ;
5 5 5 5
A AD AB C   ⇒ = ∩ = − ⇒ − −   
   
0.25 
Gọi pt Elip cần tìm là: ( )
2 2
2 2 1 0
x y
a b
a b
+ = > > với hai tiêu điểm là ( )1 ;0 ,F c− 
( )2 ;0F c ( )2 2 2 , 0c a b c= − > và hai đinh trên trục nhỏ là: ( ) ( )1 20; , 0;B b B b− 
0.25 
Theo giả thiết ta có hệ:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
3
64
32 3 3 3
2
33 2 34 12 2 3
c a b b a a
b c b c b
ca b
a b
 = − = =
  
= ⇔ = ⇔ =  
  
=+ = +  + = +
 
 0.5 
VIb
2 
Vậy (E): 
2 2
1
36 27
x y
+ = 0.25 
( )1 2 2 3 3 4 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2. 3.2 . 4.2 . ... 2 1 2 . 2013n nn n n n nC C C C n C ++ + + + +− + − + + + = (*) 
Xét khai triên: 
( )2 11 nx ++ = 0 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1... n nn n n n n nC xC x C x C x C x C+ ++ + + + + ++ + + + + + 
Đạo hàm cả hai vế của khai triển ta được: 
( )( )22 1 1 nn x+ + = ( )1 2 2 3 3 4 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12 3 4 ... 2 1 n nn n n n nC xC x C x C n x C ++ + + + ++ + + + + + 
0.5 
VII 
Thay x=-2 vào ta được: 
( )1 2 2 3 3 4 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2.2. 3.2 . 4.2 . ... 2 1 2 .n nn n n n nn C C C C n C ++ + + + ++ = − + − + + + 
Do đó (2) 2 1 2013 1006n n⇔ + = ⇔ = 
0.5 
..Hết. 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 8 
SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA 
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN 
 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013 
 Môn: Toán - Khối B 
 (Thời gian làm bài: 180 phút) 
Phần I: Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) 
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số ( )2
1
xy C
x
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Tìm m để đường thẳng ( ) : 2d y mx m= − + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 
độ dài AB nhỏ nhất. 
Câu II. (2 điểm) 
1. Giải phương trình: ( )2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
2. Giải hệ phương trình: 
2 2
4
128
x y x y
x y
 + + − =

+ =
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 9 
Câu III. (1 điểm) Giải phương trình: 
2
6 42 4 2 2
4
x
x x
x
−
+ − − =
+
Câu IV. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc 
với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích 
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a. 
Câu V. (1 điểm) Với mọi số thực x, y thỏa mãn điều kiện ( )2 22 1x y xy+ = + . 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
4 4
2 1
x yP
xy
+
=
+
Phần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần. 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VIa. (2 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2: 2 4 5 0C x y x y+ − − − = và điểm 
( )0; 1A − . Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC đều. 
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip có phương trình chính tắc ( )
2 2
: 1
25 9
x yE + = . 
Viết phương trình đường thẳng song song với Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB = 4. 
CâuVIIa. (1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton 3 12
n
x
x
 
+ 
 
, biết 
rằng 
2 1
1 4 6
n
n nA C n
−
+− = + . 
B. Theo chương trình nâng cao. 
Câu VIb. (2 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng 
: 4 0d x y− − = , đường thẳng BC, CD lần lượt đi qua điểm M(4; 0), N(0; 2). Biết tam giác AMN 
cân tại A. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD. 
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của Elip (E) biết rằng có một 
đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là 
( )12 2 3+ 
Câu VIIb. (1 điểm) Tìm số nguyên dương n sao cho: 
( )1 2 2 3 3 4 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2. 3.2 . 4.2 . ... 2 1 2 . 2013n nn n n n nC C C C n C ++ + + + +− + − + + + = 
..Hết. 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I KHỐI B 
Câu Nội dung Điểm 
+ Tập xác định: D = { }\ 1ℝ 
+ Giới hạn: lim 2
x
y
→±∞
= ⇒ y =2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
1 1
lim , lim
x x
y y
+ −→ →
= +∞ = −∞ ⇒ x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
0.25 I.1 
+ Đaọ hàm ( )2
2
' 0, 1
1
y x
x
−
= < ∀ ≠
−
. 
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ( );1 , 1;−∞ +∞ . 
BBT: 
0.5 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 10 
x - ∞ 1 + ∞ 
y’ - - 
y 2 + ∞ 
- ∞ 
2 
Hàm số không có cực trị. 
+ Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường 
tiệm cận làm tâm đối xứng. 
8
6
4
2
2
4
6
8
15 10 5 5 10 15
I
f x( ) = 2·x
x 1
O 1
0.25 
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: 
( ) 2
12 2
2 2 0(*)1
xx
mx m
g x mx mx mx
≠
= − + ⇔ 
= − + − =− 
0.25 
+ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ( ) 0g x⇔ = có hai nghiệm phân biệt khác 1 
( )
2 2
0
2 0 0
1 2 2 0
m
m m m m
g m m m
≠

⇔ ∆ = − + > ⇔ >

= − + − ≠
0.25 
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (*). Khi đó ( ) ( )1 1 2 2; 2 , ; 2A x mx m B x mx m− + − + 
Theo định lí viét, ta có: 
1 2
1 2
2
2
.
x x
m
x x
m
+ =

 −
=
( ) ( ) ( )22 2 22 1 81 1AB x x m m
m
⇒ = − + = + 
0.25 
I.2 
2 18AB m
m
 
⇒ = + 
 
Áp dụng định lí cosi cho 2 số dương m và 1
m
 ta được: 
2
min
18 16 4 1AB m AB m
m
 
= + ≥ ⇒ = ⇔ = 
 
0.25 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 11 
( ) ( )2 cos sin 2 cos sin1 1
sin cos 2 cos cos cos sin1
cos sin 2 sin cos .sin 2 sin
x x x x
pt
x x x x x x
x x x x x x
− −
⇔ = ⇔ =
−
+ −
 0.25 
Điều kiện: 
sin 2 0 2
cos sin 0
4
k
x
x
x x
x k
pi
pi
pi
 ≠≠ 
⇔ 
− ≠  ≠ +

 0.25 
Khi đó pt ( )2sin 2 2 sin cos 2
2 4
x x x x k kpi pi⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ℝ 0.25 
II.1 
Đối chiếu với điều kiện, pt đã cho có nghiệm là ( )2
4
x k kpi pi= − + ∈ℝ 0.25 
( )
( )2 2
4 1
128 2
x y x y
x y
 + + − =

+ =
Điều kiện: 
0
0
x y
x y
+ ≥

− ≥
(*) 
Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2
8
1 2 2 16 8
64 16
x
x x y x y x
x y x x
≤
⇔ + − = ⇔ − = − ⇔ 
− = − +
( )2
8
64 16 3
x
y x
≤
⇔ 
− = −
0.25 
Cộng (2) với (3) vế với vế ta được: 2 816 192 0
24
x
x x
x
=
+ − = ⇔ 
= −
(thỏa mãn x 8≤ ) 0.25 
+ Với x = 8, thay vào (2) ta được 8y =± 
+ Với x = -24, thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm 0.25 
II.2 
Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm ( ) ( ) ( ); 8;8 ; 8; 8x y = − 0.25 
Điều kiện: 2 2x− ≤ ≤ 
( )
( )
2 2
2
2 4 4 2 6 4 6 4 6 4
2 4 2 2 2 4 2 24 4
2
3
2 4 2 2 4 2
x x x x xpt
x x x xx x
x
x x x
+ − −
− − −
⇔ = ⇔ =
+ + − + + −+ +

=
⇔ 
 + + − = +
0.5 
III Giải (2): ( ) ( )( ) 22 4 4 2 4. 2 4 2 4x x x x x⇔ + + − + + − = + 
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
24. 2 4 2 2 8 0
4. 2 4 2 2 4 0
2 4. 2 4 2 4 0 2
x x x x
x x x x
x x x x x
⇔ + − − + − =
⇔ + − − − + =
⇔ − + + − + = ⇔ =
Vậy pt đã cho có hai nghiệm x = 2 và 2
3
x = 
0.5 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 12 
M H
I
E C
A
D
B
S
K
T
 Vì ( )CB AB CB SAB
CB SA
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
 SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB) 
( )( ) ( )  0, , 30SC SAB SC SB CSB⇒ = = = 0.cot 30 3 2SB BC a SA a⇒ = = ⇒ = 
0.25 
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 
3
2
.
1 1 2
. 2. ( )
3 3 3S ABCD ABCD
aV SA S a a dvtt= = = 0.25 
+ Từ C dựng CI // DE 
2
aCE DI⇒ = = và ( )/ /DE SCI 
( ) ( )( ), ,d DE SC d DE CSI⇒ = 
Từ A kẻ AK CI⊥ cắt ED tại H, cắt CI tại K 
Ta có: ( ) ( ) ( )SA CI CI SAK SCI SAK
AK CI
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
 theo giao tuyến SK 
Trong mặt phẳng (SAK) kẻ ( )HT AK HT SCI⊥ ⇒ ⊥
( ) ( )( ), ,d DE SC d H SCI HT⇒ = = 
0.25 
IV 
+ Ta có: 
2
2
3
.1 1 . 32
. .
2 2 5
2
ACI
a aCD AI aS AK CI CD AI AK
CI a
a
= = ⇒ = = =
 
+  
 
Kẻ KM//AD 1 1( )
2 3 5
HK KM aM ED HK AK
HA AD
∈ ⇒ = = ⇒ = = 
Lại c ó: 
2
2
2.
. 385
sin
1992
5
a
a
SA HT SA HKSKA HT
SK HK SK a
a
= = ⇒ = = =
+
Vậy ( ) 38,
19
d ED SC = 
0.25 
V 
Đặt t xy= . Ta có: ( )2 11 2 2 4
5
xy x y xy xy xy + = + − ≥ − ⇒ ≥ −
 
Và ( )2 11 2 2 4 .
3
xy x y xy xy xy + = − + ≥ ⇒ ≤
 
 nên 1 1 .
5 3
t− ≤ ≤ 
0.25 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 13 
Suy ra 
( )
( )
22 2 2 2 22 7 2 1
2 1 4 2 1
x y x y t tP
xy t
+ −
− + +
= =
+ +
0.25 
Xét hàm số ( ) ( )
27 2 1
4 2 1
t tf t
t
− + +
=
+
 có ( ) ( )( ) ( )
2
2
7 0
' ; ' 0
1( )2 2 1
t t tf t f t
t lt
− − =
= = ⇔ 
= −+ 
( )1 1 2 1; 0
5 3 15 4
f f f   − = = =   
   
0.25 
V 
Vậy GTLN bằng 1
4
, GTNN bằng 2
15
 0.25 
(C) có tâm I(1; 2), bán kính ( )( )
1 2 1 3 710 2 ;
2 23 2 2
H
H
x
R AI IH H
y
 = −  
= ⇒ = ⇒ ⇒  
= −  
 
(Do I là trọng tâm tam giác đều ABC, H là trung điểm BC) 
0.25 
Pt đường thẳng BC đi qua H và nhận ( )1;3AI = làm vecto pháp tuyến là: 
3 12 0x y+ − = 
0.25 
VIa
1 
Vì ( ),B C C∈ ⇒ tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình: 
2 2
7 3 7 3
2 4 5 0 2 2
3 12 0 3 3 3 3 3 3
2 2
y y
x y x y
x y
x x
 + −
= =  + − − − =  
⇔ ∨  
+ − =
− +  
= =  
Vậy 3 3 3 7 3 3 3 3 7 3; , ;
2 2 2 2
B C
   
− + + −
      
   
 hoặc ngược lại 
0.5 
Gọi pt đường thẳng song song với Oy là (d): x = a (với 0a ≠ ). Tung độ giao điểm 
của (d) và (E) là: ( )2 2 22 225 31 9. 25 525 9 25 5
a y ay y a a−+ = ⇔ = ⇔ = ± − ≤ 
0.25 
Vậy 2 2 23 3 6; 25 , ; 25 25
5 5 5
A a a B a a AB a   − − − ⇒ = −   
   
 0.25 
Do đó 2 26 100 5 54 25 4 25
5 9 3
AB a a a= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ± (thỏa mãn đk) 0.25 
VIa.
2 
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 5 5 5 5,
3 3
x x= = − 0.25 
Điều kiện 2,n n≥ ∈ℤ 
Ta có: 
( ) ( )2 11
2
1
4 6 1 4 6
2
1( )
11 12 0
12
n
n n
n n
A C n n n n
n loai
n n
n
−
+
+
− = + ⇔ − − = +
= −
⇔ − − = ⇔ 
=
0.5 
VII
a 
Với n = 12 ta có: 
( )12 12 12123 3 3 12 36 412 12
0 0
1 1 12 2 2 2
n k
kk k k k
k k
x x C x C x
x x x
−
− −
= =
     
+ = + = =     
     
∑ ∑ 
Số hạng không chứa x ứng với k = 9 là 9 312.2 1760C = 
0.5 
VIb
1 
Vì ( ); 4A d A t t∈ ⇒ − 
Do tam giác ABC cân tại A nên AM = AN 0.25 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 14 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 224 4 6 1 1; 5t t t t t A⇔ − + − = + − ⇔ = − ⇒ − − 
Giả sử pt đường thẳng BC đi qua M(4; 0) có dạng ( ) ( )2 24 0 0a x by a b− + = + ≠ 
Do CD BC⊥ và đường thẳng CD đi qua điểm N(0; 2) ( ): 2 0CD bx a y⇒ − − = 
Vì ABCD là hình vuông nên ta có: 
( ) ( )
2 2 2 2
35 5 7
, ,
3
a ba