Vòng thi kiến thức ngày hội học sinh cấp Trung học cơ sở môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Quận I (Có đáp án)

ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
VÒNG THI KIẾN THỨC
NGÀY HỘI HỌC SINH CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 
Năm học : 2016 – 2017
Môn thi: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2017
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1: (6,5 điểm) Giải các phương trình sau: 
 a) . 
 b).
 c) . 
Câu 2: (5,0 điểm)
 a) Giả sử thỏa mãn điều kiện: .
 Chứng minh rằng: 5y = 4x.
 b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn a – b = a3 + b3. Chứng minh rằng: a2 + b2 < 1.
 c) Cho a, b, c, d thỏa mãn a3 + b3 = 2(c3 – 8d3). Chứng minh rằng: a + b + c + d chia hết cho 3.
Câu 3: (1,0 điểm)
 Khối lớp 8 của một trường THCS có bốn lớp 81, 82, 83 và 84. Trung bình cộng số học sinh của 
 bốn lớp là 39,5. Nếu chuyển 4 em từ lớp 81 sang lớp 82 thì số học sinh của hai lớp bằng nhau. Số 
 học sinh 83 bằng trung bình cộng số học sinh hai lớp 81 và 82. Số học sinh 84 bằng trung bình cộng 
 số học sinh hai lớp 82 và 83. Tìm số học sinh ban đầu của mỗi lớp.
Câu 4: (4,0 điểm)
 Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC. Vẽ MD vuông góc với BC tại D, ME 
 vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với AB tại F.
 Đặt MD = x, ME = y, MF = z
 a) Chứng minh rằng x + y + z không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
 b) Xác định vị trí của điểm M để x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 5: (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H.
 a) Chứng minh rằng: DHED ~ DHBC 
 b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên tia đối của tia HA. Đường thẳng qua N vuông 
 góc với MH cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Chứng minh rằng: N là trung điểm của IK.
HẾT
GIẢI TÓM TẮT
Câu 1: 
a) 
b) 
Đặt thì (1) trở thành: 
• 
c) . 
Câu 2: 
a) Với , ta có 
 .
b) Với a, b > 0 và a – b = a3 + b3, ta có 
mà a – b = a3 + b3 > 0 nên 
Hoặc giả sử 
mà ab > 0 Þ (trái giả thiết a – b = a3 + b3 > 0)
c) Với a, b, c, d ta có a3 + b3 = 2(c3 – 8d3) Þ a3 + b3 + c3 + d3 = 3c3 – 15d3 chia hết cho 3
Þ a3 + b3 + c3 + d3 0(mod 3).
a . . . (mod 3)
0
1
–1
a3 . . . (mod 3)
0
1
–1
Suy ra aa3(mod 3). Tương tự bb3(mod 3); cc3(mod 3); 
dd3(mod 3) nên a + b + c + d a3 + b3 + c3 + d3 0(mod 3) hay a + b + c + d chia hết cho 3. 
Câu 3: 
Gọi số học sinh ban đầu của lớp 81, 82, 83 , 84 lần lượt là x1, x2, x3 , x4
Þ x1+ x2 + x3 + x4 = 39,5.4 = 158 (học sinh)(1)
• Ta có x1 – 4 = x2 + 4 Þ x1 = x2 + 8 •và . Thế vào (1), tính được x2 = 36 ; x1 = 44 ; x3 = 40 ; x4 = 38   
Câu 4: 
a) Gọi cạnh tam giác đều ABC là a và chiều cao là h. Ta có :
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b)• 
không đổi
Dấu ‘’=’’ xảy ra Û x = y = z Û M là giao điểm 3 đường phân giác của
DABC(M là tâm của tam giác đều ABC) 
Câu 5: 
a) • Ta có: DHEB ~ DHDC(g.g) Þ DHED ~ DHBC(c.g.c) 
b)Vẽ đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt AB, AC lần lượt tại F, G Þ FG // IK.
• Vẽ CV // MH(VBD) mà FG ^ MH Þ CV ^ FG, cho HG cắt CV tại T 
Þ HT ^ CV. 
• DHCV có hai đường cao CD và HT cắt nhau tại G Þ G là trực tâm
 Þ VG ^ CH mà BF ^ CH Þ BF // VG Þ (so le trong) . 
• DBVC có M là trung điểm của BCvà MH // CV Þ H là trung điểm của
 BV Þ HB = HV. 
• DFHB = DGHV(g.c.g) Þ HF = HG.
• HF // NI và HG // NK nên (hệ quả của định lý Ta-let) 
Có gì sai sót, kính mong Thầy Cô và các bạn thông cảm.